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綜合法與分析法證明不等式
綜合法是一種推理方式，那它是怎么來證明不等式的呢?下面就是學(xué)習(xí)啦小編給大家整理的綜合法證明不等式內(nèi)容，希望大家喜歡。
綜合法r如何證明不等式
若正數(shù)a，b滿足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?
解：ab-3=a+b>=2根號ab
令T=根號ab,
T^2-2T-3>=0
T>=3 or T<=-1(舍)
即，根號ab>=3，
故，ab>=9 (當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3是取等號)
已知a，b，c為正實數(shù)，用綜合法證明
2(a^3 + b^3 +c^3)≥a^2 (b+c)+b^2 (a+c)+c^2 (a+b)
證明：a>0,b>0--->a+b>0,(a-b)^2>=0
--->(a+b)(a-b)^2>=0
--->(a^2-b^2)(a-b)>=0
--->a^3-a^2*b-ab^2+b^3>=0
--->a^3+b^3>=ba^2+ab^2
同理b^3+c^3>=cb^2+bc^2,c^3+a^3>=ac^2+ca^2
三同向的不等式的兩邊相加得到
2a^3+2b^3+2c^3>=a^2*b+a^2*c+b^2*a+b^2*c+c^2*a+c^2*b
就是2(a^3+b^3+c^3)>=(b+c)a^2+(c+a)b^2+(a+b)c^2.證完
1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)
2.設(shè)x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
對滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是
1.若a，b∈R，則lg(a^2+1)
解：lg(a^2+1)
<==>a^2+1
<==>a^2
<==>|a|<|b|≠=>a
且a|a|<|b|,
∴lg(a^2+1)
2.設(shè)x>1，則x/(1+x)+1/2與1的大小關(guān)系為
解：x/(1+x)+1/2-1
=(x-1)/[2(x+1)]>0,
∴x/(1+x)+1/2>1.
3.不等式
1/(a-b) + 1/(b-c) + β/(c-a) ≥0，
對滿足a>b>c恒成立，則β的取值范圍是
解：注意a-b+b-c=a-c,原不等式化為
β<=(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]恒成立,
而(a-c)^2/[(a-b)(b-c)]>=4,
∴β的取值范圍是(-∞，4]。
綜合法是不等式證明的一種方法，這種方法是：根據(jù)不等式的性質(zhì)和已經(jīng)證明過的不等式來進(jìn)行。 綜合法.從已知(已經(jīng)成立)的不等式或定理出發(fā)，逐步推出(由因?qū)Ч?所證的不等式成立.例如要證 ，我們從 ，得 ，移項得 .綜合法的證明過程表現(xiàn)為一連串的“因為……所以……”，可用一連串的“ ”來代替.
綜合法的證明過程是下一節(jié)課學(xué)習(xí)的不等式的.證明的又一必須掌握的方法——分析法的思考過程的逆推，而分析法的證明過程恰恰是綜合法的思考過程。 實際上在前面兩個重要的不等式平方不等式和均值定理的證明及不等式的性質(zhì)證明當(dāng)中，我們已經(jīng)運(yùn)用了綜合法，但當(dāng)時只是沒有提出或采用這個名字而已。本節(jié)課是不等式的證明的每第二節(jié)課，由于立方不等式已移至閱讀材料當(dāng)中，故例題只有一個，是運(yùn)用平方不等式來作為基礎(chǔ)工具。
綜合法與分析法
一.比較法
所謂比較法，就是通過兩個實數(shù)a與b的差或商的符號(范圍)確定a與b大小關(guān)系的方法，即通過
來確定a,b大小關(guān)系的方法。
前者為作差法，后者為作商法。但要注意作差法適用范圍較廣;作商法再用時注意符號問題，如果同為正的話是沒有問題的，同為負(fù)的話記得改變不等式的符號。
二.分析法和綜合
這兩個方法我們一般會一起使用，分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析這個不等式成立的充分條件，把證明這個不等式的問題轉(zhuǎn)化為證明這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以判定所證的不等式成立。綜合法是從已知或證明過的不等式出發(fā)，根據(jù)不等式的性質(zhì)及公理推導(dǎo)出欲證的不等式。
我們來看一個例題，已知
如果要用綜合法或者分析法的話，對于過程上需要寫明，即證，所以要證，也就是說，即等價于……一些轉(zhuǎn)化的語句來過渡我們的題目，當(dāng)然這兩個方法我們經(jīng)常一起用，因為分析完條件，分析結(jié)論，兩個一起分析做題速度更快一些呢。
三.反證法
從否定結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的`。這個方法其實是按照集合的補(bǔ)集理論來的，正難則反，但是要注意用反證法證明不等式時，必須將命題結(jié)論的反面的各種情形都要考慮到，不能少的。
反證法證明一個命題的思路及步驟：
1) 假定命題的結(jié)論不成立;
2) 進(jìn)行推理，在推理中出現(xiàn)下列情況之一：與已知條件矛盾;與公理或定理矛盾;
3) 由于上述矛盾的出現(xiàn)，可以斷言，原來的假定“結(jié)論不成立”是錯誤的;
4) 肯定原來命題的結(jié)論是正確的。
不等式知識點(diǎn)歸納
不等式知識點(diǎn)一、高考數(shù)學(xué)中不等式考試要點(diǎn)
在解決問題時，要依據(jù)題設(shè)與結(jié)論的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、內(nèi)在聯(lián)系、選擇適當(dāng)?shù)慕鉀Q方案，最終歸結(jié)為不等式的求解或證明。高考數(shù)學(xué)中不等式的應(yīng)用范圍十分廣泛，它始終貫串在整個中學(xué)數(shù)學(xué)之中。諸如集合問題，方程(組)的解的討論，函數(shù)單調(diào)性的研究，函數(shù)定義域的確定，三角、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何中的最大值、最小值問題，無一不與不等式有著密切的聯(lián)系，許多問題，最終都可歸結(jié)為不等式的求解或證明。
(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明。
(2)掌握兩個(不擴(kuò)展到三個)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會簡單的應(yīng)用。
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。
(4)掌握簡單不等式的解法。
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。
高考數(shù)學(xué)不等式知識點(diǎn)二、高考數(shù)學(xué)中不等式證明方法
1、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之比較法
包括比差和比商兩種方法。
2、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之綜合法
證明不等式時，從命題的已知條件出發(fā)，利用公理、定理、法則等，逐步推導(dǎo)出要證明的命題的方法稱為綜合法，它是由因?qū)Ч姆椒ā?/p>
3、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之分析法
證明不等式時，從待證命題出發(fā)，分析使其成立的充分條件，利用已知的一些基本原理，逐步探索，最后將命題成立的條件歸結(jié)為一個已經(jīng)證明過的定理、簡單事實或題設(shè)的條件，這種證明的方法稱為分析法，它是執(zhí)果索因的.方法。
4、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之放縮法
證明不等式時，有時根據(jù)需要把需證明的不等式的值適當(dāng)放大或縮小，使其化繁為簡，化難為易，達(dá)到證明的目的，這種方法稱為放縮法。
5、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之?dāng)?shù)學(xué)歸納法
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，要注意兩步一結(jié)論。
在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。
6、高考數(shù)學(xué)不等式證明方法之反證法
證明不等式時，首先假設(shè)要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結(jié)合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡單事實相矛盾的結(jié)論，以此說明原假設(shè)的結(jié)論不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立的方法稱為反證法。
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