一般解決臨界問題的基本解決方法及例題介紹

　　1.演繹法:以原理、定理和定律為依據(jù),先找出所研究問題的一般規(guī)律和一般解,然后分析討論其特殊規(guī)律和特殊解,即采用從一般到特殊的推理方法。

　　2.臨界法:以原理、定理或定律為依據(jù),直接從臨界狀態(tài)和相應(yīng)的臨界量入手,求出所研究問題的特殊規(guī)律和特殊解,以此對(duì)一般情況進(jìn)行分析討論和推理,即采用林特殊到一般的推理方法。

　　由于臨界狀態(tài)比一般狀態(tài)簡(jiǎn)單,故解決臨界問題時(shí)用臨界法比演繹法簡(jiǎn)捷。在找臨界狀態(tài)和臨界量時(shí),常常用到極限分析法:即通過恰當(dāng)?shù)剡x取某個(gè)物理量(臨界物理量)推向極端(“極大”和“極小”,“極左”和“極右”等),從而把隱蔵的臨界現(xiàn)象(或“各種可能性”)暴露出來,找到解決問題的“突破口”。因此,先分析臨界條件

　　物理學(xué)中臨界問題題1 如圖所示,細(xì)桿的一端與一小球相連,可繞過O點(diǎn)的水平軸自由轉(zhuǎn)動(dòng)�，F(xiàn)給小球一初速度,使它做圓周運(yùn)動(dòng),圖中a、b分別表示小球軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn),則桿對(duì)球的作用力可能是

　　A.處為拉力,為拉力

　　B.處為拉力,為推力

　　C.處為推力,為拉力

　　D.處為推力,為推力

　　解析 因?yàn)閳A周運(yùn)動(dòng)的物體,向心力指向圓心,小球在最低點(diǎn)時(shí)所需向心力沿桿由a指向O,向心力是桿對(duì)小球的拉力與小球重力的合力,而重力方向向下,故桿必定給球向上的拉力,小球在最高點(diǎn)時(shí)若桿恰好對(duì)球沒有作用力,即小球的重力恰好對(duì)球沒有作用力,即小球的重力恰好提供向心力,設(shè)此時(shí)小球速度為vb,則:mg = m vb =

　　當(dāng)小球在最高點(diǎn)的速度vvb時(shí),所需的向心力Fmg,桿對(duì)小球有向下的拉力;若小球的速度vvb時(shí),桿對(duì)小球有向上推力,故選A、B正確

　　評(píng)析 本題關(guān)鍵是明確越過臨界狀態(tài)vb = 時(shí),桿對(duì)球的作用力方向?qū)�發(fā)生變化。

　　題2 在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B,質(zhì)量分別為m和2m,當(dāng)兩球心間距離大于L(L比2r大得多)時(shí),兩球之間無相互作用力;當(dāng)兩球心間距離等于或小于L時(shí),兩球間存在相互作用的恒定斥力F。設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以速度v0沿兩球連心線向原來靜止的B球運(yùn)動(dòng),如圖所示,欲使兩球不發(fā)生接觸,v0必須滿足什么條件

　　臨界解析 據(jù)題意,當(dāng)A、B兩球球心間距離小于L時(shí),兩球間存在相互作用的恒定斥力F。故A減速而B加速。當(dāng)vAvB時(shí),A、B間距離減小;當(dāng)vAvB時(shí),A、B間距離增大。可見,當(dāng)vA = vB時(shí),A、B相距最近。若此時(shí)A、B間距離x2r,則A、B不發(fā)生接觸(圖12-3)。上述狀態(tài)即為所尋找的臨界狀態(tài),vA = vB時(shí)x2r則為臨界條件。

　　兩球不接觸的條件是:vA = vB (1)

　　L+sB?sA2r (2)

　　其中vA、vB為兩球間距離最小時(shí),A、B球的速度;sA、sB為兩球間距離從L變至最小的過程中,A、B球通過的路程。

　　設(shè)v0為A球的初速度,由動(dòng)量守恒定律得:m v0 = mvA + 2mvB (3)

　　由動(dòng)能定律得 F ? sA = mv02 ? mvA2 (4)

　　F ? sB = (2m)vB2 (5)

　　聯(lián)立解得:v0

　　評(píng)析 本題的關(guān)鍵是正確找出兩球“不接觸”的臨界狀態(tài),為vA = vB且此時(shí)x2r

　　物理學(xué)題3 一帶電質(zhì)點(diǎn),質(zhì)量為m電量為q,以平行于ox軸的速度v從y軸上的a點(diǎn)射入圖示的第Ⅰ象限區(qū)域,為了使該質(zhì)點(diǎn)能從x軸上的b點(diǎn)以垂直于ox軸的速度射出,可在適當(dāng)?shù)牡胤郊右粋�(gè)垂直于xy平面、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng),若此磁場(chǎng)僅分布在一個(gè)圓形區(qū)域內(nèi),試求這圓形磁場(chǎng)區(qū)域的最小半徑. 重力忽略不計(jì).

　　【分析】帶電粒子以速度v,沿垂直于磁場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)B時(shí),在洛侖茲力作用下,帶電粒子將做勻速圓周運(yùn)動(dòng).為了保證帶電粒子能從b點(diǎn)垂直于ox軸出射,帶電粒子必須偏轉(zhuǎn)90o角,即粒子在磁場(chǎng)中只能運(yùn)動(dòng)1 / 4圓周,而且磁場(chǎng)也不可能充滿坐標(biāo)中的第一象限.所加圓形磁場(chǎng)區(qū)域最小的含義,應(yīng)理解為能使帶電粒子完成1 / 4圓周運(yùn)動(dòng),磁場(chǎng)范圍剛好能覆蓋帶電粒子的軌跡——即1 / 4圓周.

　　【示范解答】帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)前做勻速直線運(yùn)動(dòng),進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng),圓的半徑:

　　根據(jù)向心力公式:qBv = m

　　得 R =

　　圓心在O1點(diǎn),如圖15?5?2所示.從圖中可以知道:連接這1 / 4圓弧兩個(gè)端點(diǎn)的線段就時(shí)最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的直徑.最小磁場(chǎng)區(qū)域的半徑為:

　　r = =

　　【點(diǎn)評(píng)】為達(dá)到控制帶電粒子運(yùn)動(dòng)軌跡的目的而設(shè)置一勻強(qiáng)磁場(chǎng)的問題,著重考查的是逆向思維的能力.在科研實(shí)踐當(dāng)中,這類設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)條件的問題是經(jīng)常遇到的,因此這類題目具有實(shí)際研究的意義,它必然是一種重要的習(xí)題類型,它不僅考查了學(xué)生對(duì)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)規(guī)律掌握的熟練程度,而且考查了學(xué)生的空間想象能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的能力.

　　評(píng)析 臨界值可能以極值形式出現(xiàn),也可能是邊界值(即最大值和最小值)此題中最小值是利用幾何知識(shí)判斷而得到的。A、B兩點(diǎn)及AB圓弧分別是磁場(chǎng)的邊界點(diǎn)和磁場(chǎng)內(nèi)的一段弧,是尋找最小圓形磁場(chǎng)區(qū)域的依據(jù)。

　　題4 圓筒形的薄壁玻璃容器中,盛滿某種液體,容器底部外面有光源S,試問液體折射率至少為多少時(shí),才不能通過容器壁在筒外看到光源S(壁厚不計(jì))。

　　解析 要在容器外空間看不到光源S,即要求光源S進(jìn)入液體后,射向容器壁光線的入射角?≥C(臨界角),如圖所示,由折射定律可知

　　N = sinC = (1)

　　由圖可知 ? + ? = 90? ,?≥C , ? ≤ 90? ? C (2)

　　在A點(diǎn)入射處,由折射定律有

　　n = = =

　　所以 cosC = (3)

　　由(1)(3)兩式可知C = 45?,n = =

　　由(2)式可知:? 越小越好,臨界角C也是越小越好:由sinC = 可知,n越大,C越小;而由n = 可知,當(dāng) i 一定時(shí),n越大,? 越小。

　　所以液體的折射率n≥

　　評(píng)析 本題臨界條件有兩個(gè),當(dāng)折射角為90°時(shí)的入射角為臨界角C和當(dāng)入射角為90°時(shí)?最大。一般幾何光學(xué)中習(xí)題涉及前一個(gè)臨界條件的較多,涉及后一個(gè)臨界條件的較少。而求出折射率的臨界值為,還要進(jìn)一步利用(3)式進(jìn)行討論n的范圍。該題的分析方法是從結(jié)果利用臨界值C,采取倒推的方法來求解。一般來講,凡是求范圍的物理問題都會(huì)涉及臨界條件。

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