2018屆高三數(shù)學(xué)(理)第一次月考模擬試卷及答案
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2018屆高三數(shù)學(xué)(理)第一次月考模擬試卷題目
一、選擇題(本題共12道小題，每小題5分，共60分)
1.已知全集U=R，A={x|x2﹣2x<0}，B={x|x≥1}，則A∪(∁UB)=( )
A.(0，+∞) B.(﹣∞，1) C.(﹣∞，2) D.(0，1)
2.已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x﹣2，x∈A}，則A∩B=( )
A.{1} B.{4} C.{1，3} D.{1，4}
3.在△ABC中，“ >0”是“△ABC為銳角三角形”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
4.下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.命題“若x2﹣4x+3=0，則x=3”的逆否命題是：“若x≠3，則x2﹣4x+3≠0”
B.“x>1”是“|x|>0”的充分不必要條件
C.若p且q為假命題，則p、q均為假命題
D.命題p：“∃x∈R使得x2+x+1<0”，則¬p：“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”
5.已知0
A.a2>2a>log2a B.2a>a2>log2a C.log2a>a2>2a D.2a>log2a>a2
6.函數(shù)y=loga(x+2)﹣1(a>0，a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m>0，n>0，則 + 的最小值為( )
A.3+2 B.3+2 C.7 D.11
7.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，在[0，+∞)上是增函數(shù)，若a=f(sin )，b=f(cos )，c=f(tan )，則( )
A.a>b>c B.c>a>b C.b>a>c D.c>b>a
8.若函數(shù)y=f(x)對(duì)x∈R滿足f(x+2)=f(x)，且x∈[-1 ，1]時(shí)，f(x)=1﹣x2，
g(x)= ，則函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在區(qū)間x∈[-5 ，11]內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A.8 B.10 C.12 D.14
9設(shè)f(x)是定義在R上的恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，若a1= ，an=f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是( )
A.[ ，2) B.[ ，2] C.[ ，1) D.[ ，1]
10.如圖所示，點(diǎn)P從點(diǎn)A處出發(fā)，按逆時(shí)針方向沿邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC運(yùn)動(dòng)一周，O為ABC的中心，設(shè)點(diǎn)P走過的路程為x，△OAP的面積為f(x)(當(dāng)A、O、P三點(diǎn)共線時(shí)，記面積為0)，則函數(shù)f(x)的圖象大致為( )
A . B.
C. D.
11.設(shè)函數(shù)f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b，a，b∈R，則下列敘述中，正確的序號(hào)是( )
�、賹�(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y=f(x)在R上是單調(diào)函數(shù);
②對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y=f(x)在R上都不是單調(diào)函數(shù);
�、蹖�(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，函數(shù)y=f(x)的圖象都是中心對(duì)稱圖象;
④存在實(shí)數(shù)a，b，使得函數(shù)y=f(x)的圖象不是中心對(duì)稱圖象.
A.①③ B.②③ C.①④ D.③④
12.已知函數(shù) ，如在區(qū)間(1，+∞)上存在n(n≥2)個(gè)不同的數(shù)x1，x2，x3，…，xn，使得比值 = =…= 成立，則n的取值集合是( )
A.{2，3，4，5} B.{2，3} C.{2，3，5} D.{2，3，4}
第II卷(非選擇題)
二、填空題(本題共4道小題，每小題5分，共20分)
13.命題：“∃x∈R，x2﹣x﹣1<0”的否定是 .
14.定義在R上的奇函數(shù)f(x)以2為周期，則f(1)= .
15.設(shè)有兩個(gè)命題，p：關(guān)于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0};q：函數(shù)y=lg(ax2﹣x+a)的定義域?yàn)镽.如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 .
16.在下列命題中
�、俸瘮�(shù)f(x)= 在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù);
�、谝阎x在R上周期為4的函數(shù)f(x)滿足f(2﹣x)=f(2+x)，則f(x)一定為偶函數(shù);
�、廴鬴(x)為奇函數(shù)，則 f(x)dx=2 f(x)dx(a>0);
④已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，則a+b+c=0是f(x)有極值的充分不必要條件;
⑤已知函數(shù)f(x)=x﹣sinx，若a+b>0，則f(a)+f(b)>0.
其中正確命題的序號(hào)為 (寫出所有正確命題的序號(hào)).
三、解答題(本題共7道小題,第1題12分,第2題12分,第3題12分,第4題12分,第5題12分,第6題10分,第7題10分,共70分)
17.已知集合A={x|x2﹣4x﹣5≤0}，函數(shù)y=ln(x2﹣4)的定義域?yàn)锽.
(Ⅰ)求A∩B;
(Ⅱ)若C={x|x≤a﹣1}，且A∪(∁RB)⊆C，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
18.已知關(guān)于x的不等式ax2﹣3x+2≤0的解集為{x|1≤x≤b}.
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值;
(2)解關(guān)于x的不等式： >0(c為常數(shù)).
19.已知函數(shù)f(x)= 是定義在(﹣1，1)上的奇函數(shù)，且f( )= .
(1)確定函數(shù)f(x)的解析式;
(2)證明f(x)在(﹣1，1)上是增函數(shù);
(3)解不等式f(t﹣1)+f(t)<0.
20.已知關(guān)于x的不等式x2﹣(a2+3a+2)x+3a(a2+2)<0(a∈R).
(Ⅰ)解該不等式;
(Ⅱ)定義區(qū)間(m，n)的長(zhǎng)度為d=n﹣m，若a∈R，求該不等式解集表示的區(qū)間長(zhǎng)度的最大值.
21.設(shè)關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β(α<β)，函數(shù)
(1)證明f(x)在區(qū)間(α，β)上是增函數(shù);
(2)當(dāng)a為何值時(shí)，f(x)在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小.
選做第22或23題，若兩題均選做，只計(jì)第22題的分。
22.在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，直線C2的方程為y= ，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，
(1)求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程;
(2)若直線C2與曲線C1交于A，B兩點(diǎn)，求 + .
23.已知函數(shù)f(x)=|x|+|x+1|.
(1)解關(guān)于x的不等式f(x)>3;
(2)若∀x∈R，使得m2+3m+2f(x)≥0成立，試求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
2018屆高三數(shù)學(xué)(理)第一次月考模擬試卷答案
1-----5.CDBCB,6---10,ABDCA,11-12,AB
7.B【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.
【解答】解：根據(jù)題意，
sin =sin(2π﹣ )=﹣sin ，則a=f(sin )=f(﹣sin )，
cos =cos(π﹣ )=﹣cos ，b=f(﹣cos )，
又由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，
則a=f(sin )=f(﹣sin )=f(sin )，
b=f(﹣cos )=f(cos )，又由 < < ，
則有0
則有c>a>b;故選：B.
8.D【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.
【解答】解：函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)的零點(diǎn)，即方程函數(shù)f(x)﹣g(x)=0的根，
也就是兩個(gè)函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由f(x+2)=f(x)，
可得f(x)是周期為2的周期函數(shù)，又g(x)= ，
作出兩函數(shù)的圖象如圖：
∴函數(shù)h(x)=f(x)﹣g(x)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為14.
故選：D.
9.C【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用.
【解答】解：∵對(duì)任意x，y∈R，都有f(x)•f(y)=f(x+y)，
∴令x=n，y=1，得f(n)•f(1)=f(n+1)，即 = =f(1)= ，
∴數(shù)列{an}是以 為首項(xiàng)，以 為等比的等比數(shù)列，∴an=f(n)=( )n，
∴Sn= =1﹣( )n∈[ ，1).故選C.
10,A【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象.
【解答】解：由三角形的面積公式知，當(dāng)0≤x≤a時(shí)，f(x)= •x• • a= ax，
故在[0，a]上的圖象為線段，故排除B;當(dāng)a
11.A【考點(diǎn)】3O：函數(shù)的圖象.【分析】可先考慮函數(shù)g(x)=x|x|的單調(diào)性和圖象的對(duì)稱性，然后考慮將函數(shù)g(x)的圖象左右平移和上下平移，得到函數(shù)f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b的圖象，觀察它的上升還是下降和對(duì)稱性.
【解答】解：設(shè)函數(shù)g(x)=x|x|即g(x)= ，作出g(x)的圖象，得出g(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，而f(x)=(x﹣a)|x﹣a|+b的圖象可由函數(shù)y=g(x)的圖象先向左(a<0)或向右(a>0)平移|a|個(gè)單位，再向上(b>0)或向下(b<0)平移|b|個(gè)單位得到.所以對(duì)任意的實(shí)數(shù)a，b，都有f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)，且圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱.故選：A
12.B【考點(diǎn)】分段函數(shù)的應(yīng)用.
【分析】 = =…= 的幾何意義為點(diǎn)(xn，f(xn))與原點(diǎn)的連線有相同的斜率，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.
【解答】解：∵ 的幾何意義為點(diǎn)(xn，f(xn))與原點(diǎn)的連線的斜率，
∴ = =…= 的幾何意義為點(diǎn)(xn，f(xn))與原點(diǎn)的連線有相同的斜率，函數(shù) 的圖象，在區(qū)間(1，+∞)上，與y=kx的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有1個(gè)，2個(gè)或者3個(gè)，故n=2或n=3，即n的取值集合是{2，3}.故選：B.
13.∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0. 14.0, 15. 或a≥1
【解答】解：p：關(guān)于x的不等式ax>1(a>0，且a≠1)的解集是{x|x<0}，則0
q：函數(shù)y=lg(ax2﹣x+a)的定義域?yàn)镽，a=0時(shí)不成立，a≠0時(shí)，則 ，解得 .如果p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p與q必然一真一假.
∴ ，或 ，解得 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為： 或a≥1.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的`解法、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.
16.②④⑤
【解答】解：對(duì)于①，函數(shù)f(x)= 在定義域內(nèi)的區(qū)間(﹣∞，0)和(0，+∞)上是減函數(shù)， ∴①錯(cuò)誤. 對(duì)于②，由題意得f(2﹣(x+2))=f(2+(x+2))，即f(﹣x)=f(4+x)=f(x)， ∴f(x)是偶函數(shù);∴②正確. 對(duì)于③，根據(jù)定積分的幾何意義是函數(shù)圖象與x軸所圍成的封閉圖形的面積的代數(shù)和，且被積函數(shù)f(x)是奇函數(shù)， 得 f(x)dx=0，∴③錯(cuò)誤. 對(duì)于④，∵f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)，∴f′(x)=3ax2+2bx+c;
當(dāng)a+b+c=0時(shí)，(2b)2﹣4×3a×(﹣a﹣b)=4b2+12a2+12ab=4 +3a2>0，∴f′(x)有二不等零點(diǎn)，f(x)有極值; 當(dāng)f(x)有極值時(shí)，f′(x)=3ax2+2bx+c有二不等零點(diǎn)，即4b2﹣12ac>0，不能得出a+b+c=0; ∴是充分不必要條件，④正確.
對(duì)于⑤，∵f(x)=x﹣sinx，∴f′(x)=1﹣cosx≥0，∴f(x)是增函數(shù)，∴當(dāng)a+b>0時(shí)，a>﹣b，∴f(a)>f(﹣b); 又∵f(﹣x)=﹣x﹣sin(﹣x)=﹣(x﹣sinx)=﹣f(x)，∴f(x)是奇函數(shù)，∴f(﹣b)=﹣f(b); ∴f(a)>﹣f(b)，即f(a)+f(b)>0;∴⑤正確. 綜上，正確的命題是②④⑤; 故答案為：②④⑤.
17.【考點(diǎn)】18：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用;交集及其運(yùn)算.
【解答】解：(Ⅰ)由x2﹣4x﹣5≤0，得：﹣1≤x≤5.∴集合A={x|﹣1≤x≤5}.
由x2﹣4>0，得：x>2或x<﹣2.∴集合B={x|x>2或x<﹣2}.那么：A∩B={x|2
(Ⅱ)∵集合B={x|x>2或x<﹣2}.∴∁RB={x|﹣2≤x≤2}.∴A∪(∁RB)={x﹣|2
∵C={x|x≤a﹣1}，A∪(∁RB)⊆C，∴a﹣1≥5，得：a≥6故得a的取值范圍為[6,+∞).
18.【解答】解：(1)由題意知1，b為關(guān)于x的方程ax2﹣3x+2=0的兩根，
則 ，∴a=1，b=2.
(2)不等式等價(jià)于(x﹣c)(x﹣2)>0，所以：當(dāng)c>2時(shí)解集為{x|x>c或x<2};
當(dāng)c=2時(shí)解集為{x|x≠2，x∈R};當(dāng)c<2時(shí)解集為{x|x>2或x
19.【考點(diǎn)】奇偶性與單調(diào)性的綜合.
【解答】(1)解：函數(shù)f(x)= 是定義在(﹣1，1)上的奇函數(shù)，
則f(0)=0，即有b=0，且f( )= ，則 ，解得，a=1，
則函數(shù)f(x)的解析式：f(x)= (﹣1
(2)證明：設(shè)﹣1
= ，由于﹣10，
(1+m2)(1+n2)>0，則有f(m)﹣f(n)<0，則f(x)在(﹣1，1)上是增函數(shù);
(3)解：由于奇函數(shù)f(x)在(﹣1，1)上是增函數(shù)，
則不等式f(t﹣1)+f(t)<0即為f(t﹣1)<﹣f(t)=f(﹣t)，
即有 ，解得 ，則有0
20.
【考點(diǎn)】一元二次不等式的解法.
【解答】解：(Ⅰ)原不等式可化為(x-a2-2)(x﹣3a)<0，
當(dāng)a2+2<3a，即1
當(dāng)a2+2=3a，即a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為∅;
當(dāng)a2+2>3a，即a<1或a>2時(shí)，原不等式的解為3a
綜上所述，當(dāng)1
當(dāng)a=1或a=2時(shí)，原不等式的解集為∅，
當(dāng)a<1或a>2時(shí)，原不等式的解為3a
(Ⅱ)當(dāng)a=1或a=2時(shí)，該不等式解集表示的區(qū)間長(zhǎng)度不可能最大.…
當(dāng)a≠1且a≠2時(shí)， ，a∈R.…
設(shè)t=a2+2﹣3a，a∈R，則當(dāng)a=0時(shí)，t=2，當(dāng) 時(shí)， ，當(dāng)a=4時(shí)，t=6，…
∴當(dāng)a=4時(shí)，dmax=6.…
21.【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì).
【解答】解：(1)證明：設(shè)Φ(x)=2x2﹣ax﹣2，則當(dāng)α
f′(x)= =﹣ >0，∴函數(shù)f(x)在(α，β)上是增函數(shù).
(2)由關(guān)于x的方程2x2﹣ax﹣2=0的兩根分別為α、β(α<β)，
可得α= ，β= ，f(α)= = ，f(β)= ，
即有f(α)•f(β)= =﹣4<0，
函數(shù)f(x)在[α，β]上最大值f(β)>0，最小值f(α)<0，
∴當(dāng)且僅當(dāng)f(β)=﹣f(α)=2時(shí)，
f(β)﹣f(α)=|f(β)|+|f(α)|取最小值4，
此時(shí)a=0，f(β)=2.當(dāng)a=0時(shí)，f(x)在區(qū)間[α，β]上的最大值與最小值之差最小.
22.
【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程;QH：參數(shù)方程化成普通方程.
【解答】解：(1)曲線C1的參數(shù)方程為 (α為參數(shù))，直角坐標(biāo)方程為(x﹣2)2+(y﹣2)2=1，即x2+y2﹣4x﹣4y+7=0，極坐標(biāo)方程為ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+7=0
直線C2的方程為y= ，極坐標(biāo)方程為tanθ= ;
(2)直線C2與曲線C1聯(lián)立，可得ρ2﹣(2+2 )ρ+7=0，
設(shè)A，B兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1+ρ2=2+2 ，ρ1ρ2=7，
∴ + = = .
23.【考點(diǎn)】絕對(duì)值不等式的解法;絕對(duì)值三角不等式.
【解答】解：(1)由|x|+|x+1|>3，
得： 或 或 ，
解得：x>1或x<﹣2，故不等式的解集是{x|x>1或x<﹣2};
(2)若∀x∈R，使得m2+3m+2f(x)≥0成立，
而f(x)= ，故f(x)的最小值是1，
故只需m2+3m+2≥0即可，
解得：m≥﹣1或m≤﹣2.
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