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數(shù)學(xué)圓錐曲線最經(jīng)典題型教案
第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查
1、(2010遼寧理數(shù))設(shè)雙曲線的個(gè)焦點(diǎn)為F;虛軸的個(gè)端點(diǎn)為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸
近線垂直，那么此雙曲線的離心率為
(A) (B) (C) (D)
【答案】D
2、(2010遼寧理數(shù))設(shè)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PAl,A為垂足.如果直線AF的斜率為 ,那么|PF|=
(A) (B)8 (C) (D) 16
【答案】B
3、(2010上海文數(shù))8.動(dòng)點(diǎn) 到點(diǎn) 的距離與它到直線 的距離相等，則 的軌跡方程為 y28x 。
4、(2010全國卷2理數(shù))(15)已知拋物線 的準(zhǔn)線為 ，過 且斜率為 的直線與 相交于點(diǎn) ，與 的一個(gè)交點(diǎn)為 .若 ，則 .
若雙曲線 - =1(b0)的漸近線方程式為y= ，則b等于。
【答案】1
5、已知橢圓 的兩焦點(diǎn)為 ,點(diǎn) 滿足 ,則| |+ |的取值范圍為_______，直線 與橢圓C的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)_____。
6、已知點(diǎn)P是雙曲線 右支上一點(diǎn)， 、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，I為 的內(nèi)心，若 成立，則雙曲線的離心率為(▲ )
A.4 B. C.2 D.
8、(2010重慶理數(shù))(10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點(diǎn)，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是
A. 直線 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線
解析：排除法 軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點(diǎn) ，排除B
9、(2010四川理數(shù))橢圓 的右焦點(diǎn) ，其右準(zhǔn)線與 軸的交點(diǎn)為A，在橢圓上存在點(diǎn)P滿足線段AP的垂直平分線過點(diǎn) ，則橢圓離心率的取值范圍是
(A) (B) (C) (D)
解析：由題意，橢圓上存在點(diǎn)P，使得線段AP的垂直平分線過點(diǎn) ，
即F點(diǎn)到P點(diǎn)與A點(diǎn)的距離相等
而|FA|=
|PF|[a-c,a+c]
于是 [a-c,a+c]
即ac-c2 ac+c2
又e(0,1)
故e
答案：D
10、(2010福建理數(shù))若點(diǎn)O和點(diǎn) 分別是雙曲線 的中心和左焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線右支上的任意一點(diǎn),則 的取值范圍為 ( )
A. B. C. D.
【答案】B
11、(北京市海淀區(qū)2010年4月高三第一次模擬考試?yán)砜圃囶})已知有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上，左右焦點(diǎn)分別為 ，且它們在第一象限的交點(diǎn)為P， 是以 為底邊的等腰三角形.若 ，雙曲線的離心率的取值范圍為 .則該橢圓的離心率的取值范圍是 .
12、(2010年4月北京市西城區(qū)高三抽樣測試?yán)砜? 已知雙曲線 的左頂點(diǎn)為 ，右焦點(diǎn)為 ， 為雙曲線右支上一點(diǎn)，則 的最小值為___________.
13、(北京市東城區(qū)2010屆高三第二學(xué)期綜合練習(xí)理科)直線 過雙曲線 的右焦點(diǎn)且與雙曲線的兩條漸近線分別交于 ， 兩點(diǎn)，若原點(diǎn)在以 為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是 .
14、(2010全國卷1文數(shù))已知 、 為雙曲線C: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上， = ， (A)2 (B)4 (C) 6 (D) 8
15、(2010全國卷1理數(shù))(9)已知 、 為雙曲線C: 的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上， P = ，則P到x軸的距離為
(A) (B) (C) (D)
16、(2010重慶理數(shù))(14)已知以F為焦點(diǎn)的拋物線 上的兩點(diǎn)A、B滿足 ,則弦AB的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為___________.
解析：設(shè)BF=m,由拋物線的定義知
中，AC=2m,AB=4m,
直線AB方程為
與拋物線方程聯(lián)立消y得
所以AB中點(diǎn)到準(zhǔn)線距離為
17、(2010上海文數(shù))已知橢圓 的方程為 ， 、 和 為 的三個(gè)頂點(diǎn).
(1)若點(diǎn) 滿足 ，求點(diǎn) 的坐標(biāo);
(2)設(shè)直線 交橢圓 于 、 兩點(diǎn)，交直線 于點(diǎn) .若 ，證明： 為 的中點(diǎn);
(3)設(shè)點(diǎn) 在橢圓 內(nèi)且不在 軸上，如何構(gòu)作過 中點(diǎn) 的直線 ，使得 與橢圓 的兩個(gè)交點(diǎn) 、 滿足 ?令 ， ，點(diǎn) 的坐標(biāo)是(-8，-1)，若橢圓 上的點(diǎn) 、 滿足 ，求點(diǎn) 、 的坐標(biāo).
解析：(1) ;
(2) 由方程組 ，消y得方程 ，
因?yàn)橹本� 交橢圓 于 、 兩點(diǎn)，
所以0，即 ，
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0)，
則 ，
由方程組 ，消y得方程(k2k1)xp，
又因?yàn)?，所以 ，
故E為CD的中點(diǎn);
(3) 因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓內(nèi)且不在x軸上，所以點(diǎn)F在橢圓內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由 知F為P1P2的中點(diǎn)，根據(jù)(2)可得直線l的斜率 ，從而得直線l的方程.
，直線OF的斜率 ，直線l的斜率 ，
解方程組 ，消y：x22x480，解得P1(6,4)、P2(8,3).
18、(2010全國卷2理數(shù))(21)(本小題滿分12分)
己知斜率為1的直線l與雙曲線C： 相交于B、D兩點(diǎn)，且BD的中點(diǎn)為 .
(Ⅰ)求C的離心率;
(Ⅱ)設(shè)C的右頂點(diǎn)為A，右焦點(diǎn)為F， ，證明：過A、B、D三點(diǎn)的圓與x軸相切.
19、(2010安徽文數(shù))橢圓 經(jīng)過點(diǎn) ，對稱軸為坐標(biāo)軸，
焦點(diǎn) 在 軸上，離心率 。
(Ⅰ)求橢圓 的方程;
(Ⅱ)求 的角平分線所在直線的方程。
20、(2010全國卷1理數(shù))(21)(本小題滿分12分)
已知拋物線 的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn) 的直線 與 相交于 、 兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于 軸的對稱點(diǎn)為D.
(Ⅰ)證明：點(diǎn)F在直線BD上;
(Ⅱ)設(shè) ，求 的內(nèi)切圓M的方程 .
21、(2010江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系 中，如圖，已知橢圓 的左、右頂點(diǎn)為A、B，右焦點(diǎn)為F。設(shè)過點(diǎn)T( )的直線TA、TB與橢圓分別交于點(diǎn)M 、 ，其中m0, 。
(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足 ,求點(diǎn)P的軌跡;
(2)設(shè) ，求點(diǎn)T的坐標(biāo);
(3)設(shè) ,求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無關(guān))。
22、在直角坐標(biāo)系 中，點(diǎn)M到點(diǎn) 的距離之和是4，點(diǎn)M的軌跡是C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A，不過點(diǎn)A的直線 與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P和Q.
(I)求軌跡C的方程;
(II)當(dāng) 時(shí)，求k與b的關(guān)系，并證明直線 過 定點(diǎn).
解：(1) 的距離之和是4，
的軌跡C是長軸為4，焦點(diǎn)在x軸上焦中為 的橢圓，
其方程為 3分
(2)將 ，代入曲線C的方程，
整理得
5分
因?yàn)橹本� 與曲線C交于不同的兩點(diǎn)P和Q，
所以 ①
設(shè) ，則
�、� 7分
且 ③
顯然，曲線C與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A(-2，0)，
所以
由
將②、③代入上式，整理得 10分
所以
即 經(jīng)檢驗(yàn)，都符合條件①
當(dāng)b=2k時(shí)，直線 的方程為
顯然，此時(shí)直線 經(jīng)過定點(diǎn)(-2，0)點(diǎn).
即直線 經(jīng)過點(diǎn)A，與題意不符.
當(dāng) 時(shí)，直線 的方程為
顯然，此時(shí)直線 經(jīng)過定點(diǎn) 點(diǎn)，且不過點(diǎn)A.
綜上，k與b的關(guān)系是：
且直線 經(jīng)過定點(diǎn) 點(diǎn) 13分
23、(北京市朝陽區(qū)2010年4月高三年級第二學(xué)期統(tǒng)一考試?yán)砜?(本小題滿分13分)
已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 軸上的橢圓C的離心率為 ，且經(jīng)過點(diǎn) ，過點(diǎn)P(2，1)的直線 與橢圓C在第一象限相切于點(diǎn)M .
(1)求橢圓C的方程;
(2)求直線 的方程以及點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3))是否存過點(diǎn)P的直線 與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A、B，滿足 ?若存在，求出直線l1的方程;若不存在，請說明理由.
解(Ⅰ)設(shè)橢圓C的方程為 ，由題意得
解得 ，故橢圓C的方程為 .4分
(Ⅱ)因?yàn)檫^點(diǎn)P(2，1)的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為
由 得 . ①
因?yàn)橹本� 與橢圓 相切，所以
整理 ，得 解得 [
所以直線l方程為
將 代入①式，可以解得M點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，故切點(diǎn)M坐標(biāo)為 9分
(Ⅲ)若存在直線l1滿足條件，的方程為 ，代入橢圓C的方程得
因?yàn)橹本�l1與橢圓C相交于不同的兩點(diǎn)A，B，設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
所以
所以 .
又 ，
因?yàn)?即 ，
所以 .
即
所以 ，解得
因?yàn)锳，B為不同的兩點(diǎn)，所以 .
于是存在直線 1滿足條件，其方程為 13分
24、直線 的右支交于不同的兩點(diǎn)A、B.
(I)求實(shí)數(shù)k的取值范圍;
(II)是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F?若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.
答案：.解：(Ⅰ)將直線
�、�
依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點(diǎn)，故
(Ⅱ)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 、 ，則由①式得
②
假設(shè)存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn)F(c,0).
則由FAFB得：
整理得
�、�
把②式及 代入③式化簡得
解得
可知 使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點(diǎn).
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