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正定名校高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試題及答案
現(xiàn)如今，我們都不可避免地要接觸到考試題，借助考試題可以更好地對被考核者的知識才能進行考察測驗。相信很多朋友都需要一份能切實有效地幫助到自己的考試題吧？下面是小編為大家收集的正定名校高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試題及答案，歡迎大家分享。
正定名校高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試題及答案 1
一、選擇題:本大題共12小題,每小題5分,共60分.
1. 已知集合 ，則 ( )
A. B. C. D.
2.復(fù)數(shù) ( )
A. B. C. D.
3.拋物線 的焦點到準(zhǔn)線的距離為( )
A. B. C. D.
4. ( )
A. B. C.0 D.
5.曲線 在 處的切線平行于直線 ，則 點坐標(biāo)為( )
A. B. C. 或 D. 或
6.已知函數(shù) ，若將函數(shù) 的圖像向左平移 個單位后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則實數(shù) ( )
A. B. C. D.
7.已知 是不等式組 表示的平面區(qū)域內(nèi)的一點， ，O為坐標(biāo)原點，則 的最大值( )
A. B. C. D.
8.分配 名水暖工去 個不同的居民家里檢查暖氣管道. 要求 名水暖工都分配出去，且每個居民家都要有人去檢查，那么分配的方案共有( )
A. 種 B. 種 C. 種 D. 種
9. 已知 展開式中各項系數(shù)和為625，則展開式中含 項的系數(shù)為( )
A. B. C. D.
10. 一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為( )
A. B.
C. D.
11.已知雙曲線 的左、右焦點分別為 ， ，過 的直線與雙曲線 的右支相交于 兩點，若 ，且 ，則雙曲線的`離心率 ( )
A. B. C. D.
12.已知數(shù)列 滿足： ，則 ( )
A. B. C. D.
二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.
13.在正項等比數(shù)列 中，前 項和為 ___________.
14.設(shè)向量 與 的夾角為 ,且 ,則 ___________.
15.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施 個程序，其中程序 只能出現(xiàn)在第一或最后一步，程序 和 在實施時必須相鄰，則實驗順序的編排方法共有 ___________種(用數(shù)字作答).
16.已知函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)為 ，若使得 成立的 ，則實數(shù) 的取值范圍為___________.
三、解答題: (本大題共6小題，共70分.)
17.(本題滿分10分)等差數(shù)列 中,
(1)求 的通項公式;
(2)設(shè)
18.(本題滿分12分)在 中，已知角 、 、 的對邊分別為 ，且 。
(1)求 的大小;
(2)若 ，試判斷 的形狀.
19.(本題滿分12分)某校從參加高三模擬考試的學(xué)生中隨機抽取 名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))分成六組 ， ，…， 后得到如下部分頻率分布直方圖，觀察圖形的信息，回答下列問題：
(1)求分?jǐn)?shù)在 內(nèi)的頻率;
(2)估計本次考試的平均分;
(3)用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為 的學(xué)生中抽取一個容量為 的樣本，將該樣本看成一個總體，從中任取 人，求至多有 人在分?jǐn)?shù)段 內(nèi)的概率.
20.(本題滿分12分)如圖：四棱錐 中，底面 是平行四邊形， ，平面 平面 ， ， , 分別為線段 和 的中點.
(1) 求證： 平面 ;
(2)在線段 上是否存在一點 ，使得平面 和平面 所成二面角的大小為 ?若存在，試確定 的位置;若不存在，請說明理由.
21. (本題滿分12分)已知兩點 ，直線AM、BM相交于點M，且這兩條直線的斜率之積為 .
(1)求點M的軌跡方程;
(2)記點M的軌跡為曲線C，曲線C上在第一象限的點P的橫坐標(biāo)為1，過點P且斜率互為相反數(shù)的兩條直線分別交曲線C于Q、R，求△OQR的面積的最大值(其中點O為坐標(biāo)原點).
22.(本題滿分12分)
設(shè) 為實數(shù)，函數(shù)
(1)當(dāng) 時，求 在 上的最大值;
(2)設(shè)函數(shù) ，當(dāng) 有兩個極值點 時，總有 ，求實數(shù) 的值.
答案
一BACCC DDCAA DB
二13. 14. 15. 96 16.
三17.解(Ⅰ)設(shè)等差數(shù)列 的公差為d,則
因為 ,所以 .
解得, .
所以 的通項公式為 .
(Ⅱ) ,
所以 .
18.解：(1)
(2)
又
又 是等邊三角形
19.解：(1)分?jǐn)?shù)在[120，130)內(nèi)的頻率為
1-(0.1+0.15+0.15+0.25+0.05)=1-0.7=0.3.
(2)估計平均分為
=95×0.1+105×0.15+115×0.15+125×0.3+135×0.25+145×0.05=121.
(3)由題意，[110，120)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.15=9(人).
在[120，130)分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為60×0.3=18(人).
∵用分層抽樣的方法在分?jǐn)?shù)段為[110，130)的學(xué)生中抽取一個容量為6的樣本，∴需在[110，120)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取2人，并分別記為m，n;
在[120，130)分?jǐn)?shù)段內(nèi)抽取4人，并分別記為a，b，c，d;設(shè)“從樣本中任取2人，至多有1人在分?jǐn)?shù)段[120，130)內(nèi)”為事件A，則基本事件共有{m，n}，{m，a}，…，{m，d}，{n，a}，…，{n，d}，{a，b}，…，{c，d}，共15個.
則事件A包含的基本事件有{m，n}，{m，a}，{m，b}，{m，c}，{m，d}，{n，a}，{n，b}，{n，c}，{n，d}，共9個.
∴P(A)= = .
20.(1)取PA中點為H，連結(jié)CE、HE、FH，
因為H、E分別為PA、PD的中點，所以HE∥AD, ,
因為ABCD是平行四邊形，且F為線段BC的中點
所以FC∥AD,
所以HE∥FC, 四邊形FCEH是平行四邊形 所以EC∥HF
又因為
所以CE∥平面PAF ……………4分
(2)因為四邊形ABCD為平行四邊形且∠ACB=90°，
所以CA⊥AD 又由平面PAD⊥平面ABCD可得
CA⊥平面PAD 所以CA⊥PA
由PA=AD=1，PD= 可知，PA⊥AD…………5分
所以可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz
因為PA=BC=1，AB= 所以AC=1
所以
假設(shè)BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC
所成二面角的大小為60°，
設(shè)點G的坐標(biāo)為(1，a，0)，
所以
設(shè)平面PAG的法向量為
則 令
所以
又
設(shè)平面PCG的法向量為
則 令 所以
因為平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°，所以
所以 又 所以
所以線段BC上存在一點G，使得平面PAG和平面PGC所成二面角的大小為60°點G即為B點.
21.解：(1)設(shè)點 ，
整理得點M所在的曲線C的方程： ( )
(2)由題意可得點P( )
直線PQ與直線PR的斜率互為相反數(shù)
設(shè)直線PQ的方程為 ，
與橢圓方程聯(lián)立消去 ，得：
，
由于 1是方程的一個解，
所以方程的另一解為 同理
故直線RQ的斜率為 =
把直線RQ的方程 代入橢圓方程，消去 整理得
所以
原點O到直線RQ的距離為
.
22.(1)當(dāng) 時， ，
則 ，
∴當(dāng) 時， ，這時 單調(diào)遞增，
當(dāng) 時， ，這時 單調(diào)遞減，
∴ 在 的極大值是 .
(2)由題意可知 ，則 .
根據(jù)題意，方程 有兩個不同的實根 ，
∴ ，即 ，且 .
由 ，其中 ，
可得 ，
注意到 ，
∴上式化為 ，
即不等式 對任意的 恒成立，
(i)當(dāng) 時，不等式 恒成立， ;
(ii)當(dāng) 時， 恒成立，即 ，
令函數(shù) ，顯然， 是 上的減函數(shù)，
∴當(dāng) 時， ，∴ ，
(iii)當(dāng) 時， 恒成立，即 ，
由(ii)，當(dāng) 時， 即 ，
綜上所述， .
正定名校高二上學(xué)期數(shù)學(xué)期末考試題及答案 2
一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
已知函數(shù)\(f(x)\)在\(x = 1\)處的導(dǎo)數(shù)\(f^\prime(1)=2\)，則\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{2\Delta x}\)的值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
【答案】A
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}=f^\prime(x_0)\)，對所給式子進行變形，\(\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{2\Delta x}=\frac{1}{2}\lim\limits_{\Delta x \to 0}\frac{f(1 + \Delta x)-f(1)}{\Delta x}\)，因為\(f^\prime(1)=2\)，所以\(\frac{1}{2}\times2 = 1\)，故選 A。
圓\(C_1\)：\(x^2 + y^2 - 2x = 0\)與圓\(C_2\)：\(x^2 + y^2 + 4y = 0\)的位置關(guān)系是（ ）
A. 相離 B. 相交 C. 外切 D. 內(nèi)切
【答案】B
【分析】將圓\(C_1\)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：\((x - 1)^2 + y^2 = 1\)，圓心\(C_1(1,0)\)，半徑\(r_1 = 1\)；圓\(C_2\)方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程：\(x^2+(y + 2)^2 = 4\)，圓心\(C_2(0,-2)\)，半徑\(r_2 = 2\)。兩圓心之間的距離\(d=\sqrt{(1 - 0)^2+(0 + 2)^2}=\sqrt{5}\)，\(r_2 - r_1 = 1\)，\(r_1 + r_2 = 3\)，因為\(1\lt\sqrt{5}\lt3\)，所以兩圓相交，故選 B。
在空間直角坐標(biāo)系中，已知\(A(1,0,0)\)，\(B(0,1,0)\)，\(C(0,0,1)\)，則平面\(ABC\)的一個法向量可以是（ ）
A. \((1,1, - 1)\) B. \((1, - 1,1)\) C. \(( - 1,1,1)\) D. \(( - 1, - 1, - 1)\)
【答案】D
【分析】設(shè)平面\(ABC\)的法向量為\(\overrightarrow{n}=(x,y,z)\)，\(\overrightarrow{AB}=( - 1,1,0)\)，\(\overrightarrow{AC}=( - 1,0,1)\)。由法向量定義\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0\)且\(\overrightarrow{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0\)，即\(\begin{cases}-x + y = 0\\-x + z = 0\end{cases}\)，令\(x = - 1\)，則\(y = - 1\)，\(z = - 1\)，所以平面\(ABC\)的一個法向量可以是\(( - 1, - 1, - 1)\)，故選 D。
已知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)滿足\(a_{n + 1}=2a_n\)，\(a_1 = 1\)，則\(a_5\)的值為（ ）
A. 16 B. 8 C. 4 D. 2
【答案】A
【分析】由\(a_{n + 1}=2a_n\)，\(a_1 = 1\)可知數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)是以\(1\)為首項，\(2\)為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式\(a_n=a_1q^{n - 1}\)（\(q\)為公比），則\(a_5 = 1\times2^{5 - 1}=16\)，故選 A。
已知橢圓\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt b\gt0)\)的離心率為\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)，且過點\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)，則該橢圓的方程為（ ）
A. \(\frac{x^2}{4}+y^2 = 1\) B. \(\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\) C. \(\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1\) D. \(\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1\)
【答案】A
【分析】因為離心率\(e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}\)（\(c\)為半焦距），即\(c=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)，又\(a^2 = b^2 + c^2\)，所以\(b^2 = a^2 - c^2 = a^2-\frac{3}{4}a^2=\frac{1}{4}a^2\)，橢圓方程可化為\(\frac{x^2}{a^2}+\frac{4y^2}{a^2}=1\)。把點\((\sqrt{3},\frac{1}{2})\)代入得\(\frac{(\sqrt{3})^2}{a^2}+\frac{4\times(\frac{1}{2})^2}{a^2}=1\)，即\(\frac{3}{a^2}+\frac{1}{a^2}=1\)，解得\(a^2 = 4\)，則\(b^2 = 1\)，所以橢圓方程為\(\frac{x^2}{4}+y^2 = 1\)，故選 A。
已知雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a\gt0,b\gt0)\)的一條漸近線方程為\(y = 2x\)，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. \(\sqrt{5}\) B. \(\frac{\sqrt{5}}{2}\) C. \(\sqrt{3}\) D. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
【答案】A
【分析】雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)，已知一條漸近線方程為\(y = 2x\)，則\(\frac{a}=2\)，即\(b = 2a\)。離心率\(e=\frac{c}{a}\)，且\(c^2 = a^2 + b^2\)，把\(b = 2a\)代入得\(c^2 = a^2 + 4a^2 = 5a^2\)，即\(c=\sqrt{5}a\)，所以離心率\(e=\frac{c}{a}=\sqrt{5}\)，故選 A。
已知拋物線\(y^2 = 2px(p\gt0)\)的焦點為\(F\)，點\(M\)在拋物線上，且\(|MF| = 5\)，若點\(M\)到\(y\)軸的距離為\(4\)，則\(p\)的值為（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【答案】A
【分析】拋物線\(y^2 = 2px(p\gt0)\)的準(zhǔn)線方程為\(x = -\frac{p}{2}\)，由拋物線定義知，拋物線上點到焦點的距離等于到準(zhǔn)線的距離。已知點\(M\)到\(y\)軸距離為\(4\)，則點\(M\)橫坐標(biāo)為\(4\)，又\(|MF| = 5\)，所以\(4+\frac{p}{2}=5\)，解得\(p = 2\)，故選 A。
已知正方體\(ABCD - A_1B_1C_1D_1\)的棱長為\(2\)，點\(E\)是棱\(CC_1\)的中點，點\(P\)在正方形\(BCC_1B_1\)內(nèi)（含邊界）運動，且\(AP\parallel\)平面\(A_1DE\)，則動點\(P\)的軌跡長度為（ ）
A. \(\sqrt{2}\) B. \(2\) C. \(2\sqrt{2}\) D. \(4\)
【答案】C
【分析】取\(BB_1\)中點\(F\)，\(BC\)中點\(G\)，連接\(AF\)，\(FG\)，\(AG\)。易證平面\(AFG\parallel\)平面\(A_1DE\)，因為\(AP\parallel\)平面\(A_1DE\)，所以點\(P\)的軌跡為線段\(FG\)。在正方形\(BCC_1B_1\)中，\(FG=\sqrt{(2\div2)^2+(2\div2)^2}=2\sqrt{2}\)，故選 C。
二、多項選擇題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。全部選對的`得 5 分，有選錯的得 0 分，部分選對的得 2 分。
已知函數(shù)\(f(x)=x^3 - 3x\)，則下列說法正確的是（ ）
A. \(f(x)\)在\(x = - 1\)處取得極大值
B. \(f(x)\)在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增
C. \(f(x)\)的圖象關(guān)于原點對稱
D. 方程\(f(x)=1\)有三個不同的實數(shù)根
【答案】ABC
【分析】對\(f(x)=x^3 - 3x\)求導(dǎo)得\(f^\prime(x)=3x^2 - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\)。令\(f^\prime(x)=0\)，得\(x=\pm1\)。當(dāng)\(x\lt - 1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增；當(dāng)\(-1\lt x\lt1\)時，\(f^\prime(x)\lt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞減；當(dāng)\(x\gt1\)時，\(f^\prime(x)\gt0\)，\(f(x)\)單調(diào)遞增，所以\(f(x)\)在\(x = - 1\)處取得極大值，A 正確，B 正確。因為\(f(-x)=(-x)^3 - 3(-x)=-(x^3 - 3x)=-f(x)\)，所以\(f(x)\)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，C 正確。\(f(-2)= - 8 + 6 = - 2\)，\(f(-1)= - 1 + 3 = 2\)，\(f(1)=1 - 3 = - 2\)，\(f(2)=8 - 6 = 2\)，作出\(y = f(x)\)圖象與\(y = 1\)圖象，可知方程\(f(x)=1\)有兩個不同實數(shù)根，D 錯誤。故選 ABC。
已知圓\(C\)：\((x - 1)^2+(y - 2)^2 = 25\)，直線\(l\)：\((2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0(m\in R)\)，則下列說法正確的是（ ）
A. 直線\(l\)恒過定點\((3,1)\)
B. 直線\(l\)與圓\(C\)恒相交
C. 直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，直線\(l\)的方程為\(2x - y - 5 = 0\)
D. 直線\(l\)被圓\(C\)截得的弦長最短時，弦長為\(4\sqrt{5}\)
【答案】ABCD
【分析】將直線\(l\)方程\((2m + 1)x+(m + 1)y - 7m - 4 = 0\)變形為\(m(2x + y - 7)+(x + y - 4)=0\)，令\(\begin{cases}2x + y - 7 = 0\\x + y - 4 = 0\end{cases}\)，解得\(\begin{cases}x = 3\\y = 1\end{cases}\)，所以直線\(l\)恒過定點\((3,1)\)，A 正確。點\((3,1)\)到圓心\((1,2)\)的距離\(d=\sqrt{(3 - 1)^2+(1 - 2)^2}=\sqrt{5}\lt5\)（圓半徑），所以點\((3,1)\)在圓內(nèi)，直線\(l\)與圓\(C\)恒相交，B 正確。當(dāng)直線\(l\)與定點\((3,1)\)和圓心\((1,2)\)連線垂直時，弦長最短。定點\((3,1)\)與圓心\((1,2)\)連線的斜率\(k=\frac{2 - 1}{1 - 3}=-\frac{1}{2}\)，則直線\(l\)的斜率為\(2\)，直線\(l\)方程為\(y - 1 = 2(x - 3)\)，即\(2x - y - 5 = 0\)，C 正確。此時弦長為\(2\sqrt{r^2 - d^2}=2\sqrt{25 - 5}=4\sqrt{5}\)，D 正確。故選 ABCD。
已知\(\overrightarrow{a}=(1, - 2,1)\)，\(\overrightarrow=( - 1,1,3)\)，\(\overrightarrow{c}=(2,x,y)\)，若\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，則（ ）
A. \(x = - 7\) B. \(x = 7\) C. \(y = 3\) D. \(y = - 3\)
【答案】AC
【分析】因為\(\overrightarrow{a}\)，\(\overrightarrow\)，\(\overrightarrow{c}\)共面，則存在實數(shù)\(m\)，\(n\)使得\(\overrightarrow{c}=m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow\)，即\((2,x,y)=m(1, - 2,1)+n(-1,1,3)\)，可得\(\begin{cases}2 = m - n\\x = - 2m + n\\y = m + 3n\end{cases}\)，由\(2 = m - n\)得\(m = n + 2\)，代入\(x = - 2m + n\)得\(x = - 2(n + 2)+n=-n - 4\)，代入\(y = m + 3n\)得\(y = n + 2 + 3n = 4n + 2\)。再將\(m = n + 2\)代入\(2 = m - n\)驗證成立，由\(2 = m - n\)與\(x = - 2m + n\)聯(lián)立消去\(m\)，\(n\)得\(x = - 7\)，再代入\(y = m + 3n\)得\(y = 3\)，故選 AC。
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