浙江公務(wù)員考試行測：數(shù)學(xué)運算難點擊破之“同余與剩余”

　　在整數(shù)的除法中，只有能整除與不能整除兩種情況。當(dāng)不能整除時，就產(chǎn)生余數(shù)。被除數(shù)÷除數(shù)=商……余數(shù)，其中a、b、c均為整數(shù)，d為自然數(shù)。其中，余數(shù)總是小于除數(shù)，即0≤d＜b。在公務(wù)員考試中，余數(shù)一般考察同余問題與剩余問題。下面，就同余與剩余問題給大家詳細講解。

　　一、同余

　　兩個整數(shù)a、b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a、b對于m同余。

　　例如，3除以5的余數(shù)是3，18除以5的余數(shù)也是3，則稱23與18對于5同余。

　　對于同一個除數(shù)m，兩個數(shù)和的余數(shù)與余數(shù)的和同余，兩個數(shù)差的余數(shù)與余數(shù)的差同余，兩個數(shù)積的余數(shù)與余數(shù)的積同余。

　　例如，15除以7的余數(shù)是1，18除以7的余數(shù)是4

　　15+18=33，1+4=5，則33除以7的余數(shù)與5同余

　　18-15=3，4-1=3，則3除以7的余數(shù)與3同余

　　15×18=270，1×4=4，則270除以7的余數(shù)與4同余

　　【例題】

　　a除以5余1，b除以5余4，如果3a>b，那么3a-b除以5余幾？

　　A．0 B．1 C．3 D．4

　　【思路點撥】此題為很明顯的余數(shù)問題，因此可以直接利用同余的性質(zhì)解出問題。

　　【解析】a除以5余1，則3a除以5余3

　　b除以5余4，則3a-b除以5余-1

　　因為余數(shù)大于0而小于除數(shù)，-1+5=4，故所求余數(shù)為4。

　　所以正確答案為D。

　　二、剩余

　　在我國古代算書《孫子算經(jīng)》中有這樣一個問題：“今有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”意思是，一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，問這個數(shù)最小是多少？這類問題在我國稱為“孫子問題”，也稱為剩余問題。關(guān)于這一問題的解法，國際上稱為“中國剩余定理”。

　　以此題為例，下面專家為大家介紹一種常規(guī)的解題方法。

　　我們首先需要先求出三個數(shù)：

　　第一個數(shù)能同時被３和５ 整除，但除以７余１，即１５；

　　第二個數(shù)能同時被３和７ 整除，但除以５余１，即２１；

　　第三個數(shù)能同時被５和７整除， 但除以３余１，即70；

　　然后將這三個數(shù)分別乘以被７、５、３除的余數(shù)再相加，即：１５×２＋２１×３+70×２＝233。

　　最后，再減去３、５、７最小公倍數(shù)的若干倍，即：233－１０５×2＝２３。

　　【例題】

　　一個三位數(shù)除以9余7，除以5余2，除以4余3，這樣的三位數(shù)共有：

　　A.5個 B.6個C.7個 D.8個

　　【思路點撥】此題為剩余問題。此題要求的是滿足條件的三位數(shù)的個數(shù)，我們應(yīng)該首先求出滿足條件的最小自然數(shù)，然后加上4、5、9的最小公倍數(shù)的若干倍，使之成為三位數(shù)即可。

　　【解析】首先看后兩個條件，很容易看出7是滿足條件的最小的自然數(shù)，而7正好也滿足第一個條件。4、5、9的最小公倍數(shù)為180，因此滿足條件的三位數(shù)形式為7+180n，n為自然數(shù)，要使7+180n為三位數(shù)，則n=1、2、3、4、5，滿足條件的三位數(shù)有5個。所以正確答案為A。