提高數(shù)學(xué)成績(jī)的方法
試卷是我們學(xué)習(xí)成果的直接體現(xiàn)，那么總結(jié)試卷就是對(duì)我們?nèi)秉c(diǎn)的直接呈現(xiàn)，如何提高數(shù)學(xué)成績(jī)？請(qǐng)讓小編帶你學(xué)數(shù)學(xué)�！ �
總結(jié)試卷 提高數(shù)學(xué)成績(jī)
文章摘要：我在高一高二的時(shí)候，數(shù)學(xué)成績(jī)并不突出，總是120多分，很少上130分。我也一度為此十分苦惱，因?yàn)樽约侯}沒(méi)少做，成績(jī)卻始終難以提高。我想會(huì)有很多人和我有相似的經(jīng)歷。到了高三，我開(kāi)始總結(jié)試卷。我把專(zhuān)題復(fù)習(xí)的卷子和綜合復(fù)習(xí)的卷子分門(mén)別類(lèi)，每一份試卷都進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的總結(jié)，挑出其中含金量最高的題，同時(shí)，“…
侯艷麗（北京大學(xué)外國(guó)語(yǔ)學(xué)院）道：數(shù)學(xué)這一學(xué)科是重頭戲，也是令很多學(xué)生最頭痛的。數(shù)學(xué)成績(jī)突出，無(wú)疑會(huì)占據(jù)絕對(duì)優(yōu)勢(shì)。?
我在高一高二的時(shí)候，數(shù)學(xué)成績(jī)并不突出，總是120多分，很少上130分。我也一度為此十分苦惱，因?yàn)樽约侯}沒(méi)少做，成績(jī)卻始終難以提高。我想會(huì)有很多人和我有相似的經(jīng)歷。到了高三，我開(kāi)始總結(jié)試卷。我把專(zhuān)題復(fù)習(xí)的卷子和綜合復(fù)習(xí)的卷子分門(mén)別類(lèi)，每一份試卷都進(jìn)行認(rèn)真細(xì)致的總結(jié)，挑出其中含金量最高的題，同時(shí)，“旁征博引”，把曾經(jīng)遇到過(guò)的相關(guān)的題目總結(jié)到一起，一道也不放過(guò)。長(zhǎng)期下來(lái)，感覺(jué)自己對(duì)各類(lèi)題型都能夠了如指掌，對(duì)出題者的出題角度也有了準(zhǔn)確的把握。同時(shí)也得出一個(gè)結(jié)論，好多題其實(shí)大同小異，所考查的知識(shí)點(diǎn)是一樣的，只不過(guò)是換了一種形式。通過(guò)對(duì)上百份試卷的細(xì)致歸納總結(jié)，使我在接下來(lái)的數(shù)學(xué)綜合考試中有一種“輕車(chē)熟路”的感覺(jué)，而且每次考試我都十分自信，也不再像以前考數(shù)學(xué)那樣緊張慌亂了。我的數(shù)學(xué)成績(jī)也由原來(lái)的120多分上到了140多分，有幾次還是滿(mǎn)分。
希望大家能從我這個(gè)方法中有所借鑒。另外需要強(qiáng)調(diào)的是在總結(jié)試卷的過(guò)程中一定要深入下去，千萬(wàn)不能走形式，只有深入方能有所收獲。在深入的過(guò)程中不要在乎時(shí)間，有時(shí)候，你在總結(jié)一道大題時(shí)，會(huì)把相關(guān)的題型總結(jié)到一起，這項(xiàng)工作其實(shí)是相當(dāng)繁雜的，絕不等同于弄懂一道題。而你做這項(xiàng)工作的收益也將是巨大的。所以，即使用一個(gè)晚上來(lái)做這件事也非常值得。千萬(wàn)不要心情急躁，看見(jiàn)別人一道接一道的做題而不安。
以上是我在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中最有心得的一個(gè)方法，高考數(shù)學(xué)隨著改革的深入，已經(jīng)突破了偏、難、怪的誤區(qū)，更加注重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的全面掌握和靈活運(yùn)用。對(duì)此，我覺(jué)得平時(shí)的學(xué)習(xí)要注意以下幾點(diǎn)：
1.按部就班。數(shù)學(xué)是環(huán)環(huán)相扣的一門(mén)學(xué)科，哪一個(gè)環(huán)節(jié)脫節(jié)都會(huì)影響整個(gè)學(xué)習(xí)的進(jìn)程。所以，平時(shí)學(xué)習(xí)不應(yīng)貪快，要一章一章過(guò)關(guān)，不要輕易留下自己不明白或者理解不深刻的問(wèn)題。?
2.強(qiáng)調(diào)理解。概念、定理、公式要在理解的基礎(chǔ)上記憶。我的經(jīng)驗(yàn)是，每新學(xué)一個(gè)定理，便嘗試先不看答案，做一次例題，看是否能正確運(yùn)用新定理；若不行，則對(duì)照答案，加深對(duì)定理的理解。?
3.基本訓(xùn)練。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)是不能缺少訓(xùn)練的，平時(shí)多做一些難度適中的練習(xí)，當(dāng)然莫要陷入死鉆難題的誤區(qū)，要熟悉高考的題型，訓(xùn)練要做到有的放矢。
4.重視平時(shí)考試出現(xiàn)的錯(cuò)誤。訂一個(gè)錯(cuò)題本，專(zhuān)門(mén)搜集自己的錯(cuò)題，這些往往就是自己的薄弱之處。復(fù)習(xí)時(shí)，這個(gè)錯(cuò)題本也就成了寶貴的復(fù)習(xí)資料。?
最后想談?wù)剶?shù)學(xué)這一科目的應(yīng)試技巧。概括說(shuō)來(lái)，就是“先易后難”。我們常常有這樣的體會(huì)，頭腦清醒的時(shí)候，本來(lái)一些較難的題也會(huì)輕易做出來(lái)；相反，頭腦混沌的時(shí)候，一些簡(jiǎn)單的題也會(huì)浪費(fèi)很多時(shí)間�？荚嚂r(shí)，遇到攔路虎是不可避免的，停下來(lái)有兩種可能，一是費(fèi)了九牛二虎之力終于做出來(lái)，但由于耗費(fèi)了大量時(shí)間，接下來(lái)或者不夠時(shí)間做完題目，或者擔(dān)心時(shí)間不夠，內(nèi)心焦急，一時(shí)連簡(jiǎn)單的題也做不出來(lái)了；二是還是沒(méi)有做出來(lái)，結(jié)果不僅浪費(fèi)了時(shí)間，而且連后面的題也沒(méi)做完。而先易后難，則是愈做愈有信心，頭腦始終保持清醒的狀態(tài)，或者最后把難題做出，或者至少保證了會(huì)做的題不丟分。
源自生活的有趣數(shù)學(xué)定理
文章摘要：定理是經(jīng)過(guò)受邏輯限制的證明為真的敘述，在數(shù)學(xué)中，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)敘述為猜想，當(dāng)它經(jīng)過(guò)證明后便是定理，它是定理的來(lái)源，但并非唯一來(lái)源。
【編者按】定理是經(jīng)過(guò)受邏輯限制的證明為真的敘述，在數(shù)學(xué)中，證明定理是數(shù)學(xué)的中心活動(dòng)。相信為真但未被證明的數(shù)學(xué)敘述為猜想，當(dāng)它經(jīng)過(guò)證明后便是定理，它是定理的來(lái)源，但并非唯一來(lái)源。一個(gè)從其他定理引伸出來(lái)的數(shù)學(xué)敘述可以不經(jīng)過(guò)成為猜想的過(guò)程，成為定理。下面就讓我們看看三個(gè)歡樂(lè)且有趣的數(shù)學(xué)定理。
你在這里
定理陳述：把一張地圖平鋪在地上，總能在地圖上找到一點(diǎn)，這個(gè)點(diǎn)下面的地方正好就是它在地圖上所表示的位置。
1912年，荷蘭數(shù)學(xué)家布勞威爾證明了這樣一個(gè)定理：假設(shè)D是某個(gè)圓盤(pán)中的點(diǎn)集，f是一個(gè)從D到它自身的連續(xù)函數(shù)，則一定有一個(gè)點(diǎn)x，使f（x）=x。換句話(huà)說(shuō)，讓一個(gè)圓盤(pán)里的所有點(diǎn)做連續(xù)的運(yùn)動(dòng)，則總有一個(gè)點(diǎn)可以正好回到運(yùn)動(dòng)之前的位置。這個(gè)定理叫做布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理。
在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間并構(gòu)成了一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石。這個(gè)定理也可以擴(kuò)展到三維空間中去：當(dāng)你攪拌完咖啡后，一定能在咖啡中找到一個(gè)點(diǎn)，它在攪拌前后的位置相同，雖然這個(gè)點(diǎn)在攪拌過(guò)程中可能到過(guò)別的地方。
建立布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是布勞威爾的突出貢獻(xiàn)。這個(gè)定理表明：在二維球面上，任意映到自身的連續(xù)映射，必定至少有一個(gè)點(diǎn)是不變的。布勞威爾把這一定理推廣到高維球面，尤其是在n維球內(nèi)映到自身的任意連續(xù)映射至少有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)。在定理證明的過(guò)程中，布勞威爾引進(jìn)了從一個(gè)復(fù)形到另一個(gè)復(fù)形的映射類(lèi)，以及一個(gè)映射的映射度等概念。有了這些概念，布勞威爾就能第一次處理一個(gè)流形上的向量場(chǎng)的奇點(diǎn)。
酒鬼總能找到家
定理陳述：喝醉的酒鬼總能找到回家的路，喝醉的小鳥(niǎo)卻可能永遠(yuǎn)也回不了家。
如果一個(gè)酒鬼在街道上隨機(jī)游走，假設(shè)整個(gè)城市的街道呈網(wǎng)格狀分布，酒鬼每走到一個(gè)十字路口，都會(huì)概率均等地選擇一條路（包括自己來(lái)時(shí)的那條路）繼續(xù)走下去。那么他最終能夠回到出發(fā)點(diǎn)的概率是100%。
醉酒的小鳥(niǎo)就沒(méi)這么幸運(yùn)了。假如小鳥(niǎo)飛行時(shí)，每次都從上、下、左、右、前、后概率均等地選擇一個(gè)方向，那么它很有可能永遠(yuǎn)也回不到出發(fā)點(diǎn)。也就是說(shuō)，在三維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率只有大約34%。
這個(gè)定理是著名數(shù)學(xué)家波利亞在1921年證明的。隨著維度的增加，回到出發(fā)點(diǎn)的概率將變得越來(lái)越低。在四維網(wǎng)格中隨機(jī)游走，最終能回到出發(fā)點(diǎn)的概率是19.3%，而在八維空間中，這個(gè)概率只有7.3%。
不能撫平的毛球
定理陳述：你永遠(yuǎn)不能理順椰子上的毛。
想象一個(gè)表面長(zhǎng)滿(mǎn)毛的球體，你能把所有的毛全部梳平，不留下任何像雞冠一樣的一撮毛或者像頭發(fā)一樣的旋嗎?拓?fù)鋵W(xué)告訴你，這是辦不到的。
這就是毛球定理，也是由布勞威爾首先證明的。用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)就是，在一個(gè)球體表面，不可能存在連續(xù)的單位向量場(chǎng)。這個(gè)定理可以推廣到更高維的空間：對(duì)于任意一個(gè)偶數(shù)維的球面，連續(xù)的單位向量場(chǎng)都是不存在的。
毛球定理在氣象學(xué)上有一個(gè)有趣的應(yīng)用：由于地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向都是連續(xù)的，因此地球上總會(huì)有一個(gè)風(fēng)速為0的地方，也就是說(shuō)氣旋和風(fēng)眼是不可避免的。
【人教版】初中數(shù)學(xué)八年級(jí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：18勾股定理
文章摘要：勾股定理是直角三角形具備的重要性質(zhì)，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)考試的�？键c(diǎn)和重點(diǎn)。本章要求學(xué)生在理解勾股定理的前提下，學(xué)會(huì)利用這個(gè)定理解決實(shí)際問(wèn)題�？梢酝ㄟ^(guò)自主學(xué)習(xí)的方式體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的.愉快感受。…
【編者按】勾股定理是直角三角形具備的重要性質(zhì)，同時(shí)也是初中數(shù)學(xué)考試的常考點(diǎn)和重點(diǎn)。本章要求學(xué)生在理解勾股定理的前提下，學(xué)會(huì)利用這個(gè)定理解決實(shí)際問(wèn)題�？梢酝ㄟ^(guò)自主學(xué)習(xí)的方式體驗(yàn)獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的愉快感受。
一、目標(biāo)與要求
1.了解勾股定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，掌握勾股定理的內(nèi)容，會(huì)用面積法證明勾股定理。
2.培養(yǎng)在實(shí)際生活中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題總結(jié)規(guī)律的意識(shí)和能力。
3.會(huì)用勾股定理進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算。
4.樹(shù)立數(shù)形結(jié)合的思想、分類(lèi)討論思想。
5.體會(huì)勾股定理的逆定理得出過(guò)程，掌握勾股定理的逆定理。
6.探究勾股定理的逆定理的證明方法。
7.理解原命題、逆命題、逆定理的概念及關(guān)系。
8.應(yīng)用勾股定理的逆定理判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形。
9.靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解綜合題。
10.進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。
二、知識(shí)框架
小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)——定義定理
文章摘要：鑒于學(xué)生處在小學(xué)階段時(shí)各方面總結(jié)、歸納、分析能力不強(qiáng)的特點(diǎn)，我們數(shù)學(xué)頻道編輯部特別把小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)到六年級(jí)所有知識(shí)點(diǎn)的概念、定義定理和計(jì)算公式統(tǒng)統(tǒng)的予以了整理和總結(jié)，為的就是讓小學(xué)生讀者把更多的時(shí)間用在問(wèn)題的思考上，取得更好的學(xué)習(xí)成績(jī)�！�
【編者按】鑒于學(xué)生處在小學(xué)階段時(shí)各方面總結(jié)、歸納、分析能力不強(qiáng)的特點(diǎn)，我們數(shù)學(xué)頻道編輯部特別把小學(xué)數(shù)學(xué)一年級(jí)到六年級(jí)所有知識(shí)點(diǎn)的概念、定義定理和計(jì)算公式統(tǒng)統(tǒng)的予以了整理和總結(jié)，為的就是讓小學(xué)生讀者把更多的時(shí)間用在問(wèn)題的思考上，取得更好的學(xué)習(xí)成績(jī)。
1.加法交換律：兩數(shù)相加交換加數(shù)的位置，和不變。
2.加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，或先把后兩個(gè)數(shù)相加，再同第三個(gè)數(shù)相加，和不變。
3.乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變。
4.乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第三個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變。
5.乘法分配律：兩個(gè)數(shù)的和同一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別同這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，結(jié)果不變。如：（2+4）×5=2×5+4×5.
6.除法的性質(zhì)：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)，商不變。0除以任何不是0的數(shù)都得0.
7.等式：等號(hào)左邊的數(shù)值與等號(hào)右邊的數(shù)值相等的式子叫做等式。
等式的基本性質(zhì)：等式兩邊同時(shí)乘以（或除以）一個(gè)相同的數(shù)，等式仍然成立。
8.方程式：含有未知數(shù)的等式叫方程式。
9.一元一次方程式：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次 數(shù)是一次的等式叫做一元一次方程式。
學(xué)會(huì)一元一次方程式的例法及計(jì)算。即例出代有χ的算式并計(jì)算。
10.分?jǐn)?shù)：把單位"1"平均分成若干份，表示這樣的一份或幾分的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。
11.分?jǐn)?shù)的加減法則：同分母的分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。異分母的分?jǐn)?shù)相加減，先通分，然后再加減。
12.分?jǐn)?shù)大小的比較：同分母的分?jǐn)?shù)相比較，分子大的大，分子小的小。
異分母的分?jǐn)?shù)相比較，先通分然后再比較；若分子相同，分母大的反而小。
13.分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變。
14.分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作為分母。
15.分?jǐn)?shù)除以整數(shù)（0除外），等于分?jǐn)?shù)乘以這個(gè)整數(shù)的倒數(shù)。
16.真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。
17.假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1.
18.帶分?jǐn)?shù)：把假分?jǐn)?shù)寫(xiě)成整數(shù)和真分?jǐn)?shù)的形式，叫做帶分?jǐn)?shù)。
19.分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以同一個(gè)數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。
20.一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，等于這個(gè)數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。
21.甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘以乙數(shù)的倒數(shù)。
小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之幾何公理、定理或性質(zhì)[1]
文章摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之幾何公理、定理或性質(zhì)，只有真正的理解和掌握了這些幾何公理、定理和性質(zhì)才能更高效的解決幾何問(wèn)題。
【直線(xiàn)公理】經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)有一條直線(xiàn)，并且只有一條直線(xiàn)。
【直線(xiàn)性質(zhì)】根據(jù)直線(xiàn)的公理，可以推出下面的性質(zhì)：
兩條直線(xiàn)相交，只有一個(gè)交點(diǎn)。
【線(xiàn)段公理】在所有連結(jié)兩點(diǎn)的線(xiàn)中，線(xiàn)段最短。（或者說(shuō)：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。）
【垂線(xiàn)性質(zhì)】
�。�1）經(jīng)過(guò)一點(diǎn)，有一條而且只有一條直線(xiàn)垂直于已知直線(xiàn)。
�。�2）直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)連結(jié)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。（也可以簡(jiǎn)單地說(shuō)成：垂線(xiàn)段最短。）
【平行公理】經(jīng)過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，有一條而且只有一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)平行。
【平行公理推論】如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)平行，那么，這兩條直線(xiàn)也相互平行。
【有關(guān)平行線(xiàn)的定理】
�。�1）如果兩條直線(xiàn)都和第三條直線(xiàn)垂直，那么這兩條直線(xiàn)平行。
�。�2）如果一條直線(xiàn)和兩條平行線(xiàn)中的一條垂直，那么，這條直線(xiàn)也和另一條垂直。
【三角形的特性】三角形有不變形的特性，一般稱(chēng)其為三角形的穩(wěn)定性。由于三角形有這一特性，所以在實(shí)踐中它有廣泛的應(yīng)用。
【三角形的性質(zhì)】三角形的性質(zhì)（或定理及定理的推論），一般有：
�。�1）三角形任意兩邊的和大于第三邊;三角形任意兩邊的差小于第三邊。
�。�2）三角形三內(nèi)角之和等于180°。
由三角形上述第（2）條性質(zhì)，還可以推出下面的兩條性質(zhì)：
①三角形的一個(gè)外角，等于它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和。如圖1.1，∠4=∠1+∠2.
�、谌切蔚囊粋�(gè)外角，大于任何一個(gè)同它不相鄰的內(nèi)角。如圖1.1，
∠4>∠1，∠4>∠2.
【勾股定理】在直角三角形中，兩條直角邊的平方和，等于斜邊的平方。
用字母表達(dá)就是a2+b2=c2。（a、b表直角邊長(zhǎng)，c表斜邊長(zhǎng)。）
我國(guó)古代把直角三角形叫做“勾股形”，直立的一條直角邊叫做“股”，另一條直角邊叫做“勾”，斜邊叫做“弦”。所以我國(guó)將這一定理稱(chēng)為“勾股定理”。
勾股定理是我國(guó)最先發(fā)現(xiàn)的一條數(shù)學(xué)定理。而古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）較早地證明了這個(gè)定理。因此，國(guó)外常稱(chēng)它為“畢達(dá)哥拉斯定理”。
【平行四邊形的性質(zhì)】
�。�1）平行四邊形的對(duì)邊相等。
�。�2）平行四邊形的對(duì)角相等。
（3）平行四邊形鄰角的和是180°.如圖1.2，∠A+∠B=∠B+∠C=∠C+∠D=∠D+∠A=180°.
�。�4）平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分。如圖1.2，AO=CO，BO=DO。
平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)是對(duì)稱(chēng)中心。
【長(zhǎng)方形的性質(zhì)】
長(zhǎng)方形除具有平行四邊形的性質(zhì)以外，還具有下列性質(zhì)：
�。�1）長(zhǎng)方形四個(gè)角都是直角。
（2）長(zhǎng)方形對(duì)角線(xiàn)相等。
長(zhǎng)方形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形。它每一組對(duì)邊中點(diǎn)的連線(xiàn)，都是它的對(duì)稱(chēng)軸。
【菱形的性質(zhì)】菱形除具有平行四邊形的性質(zhì)以外，還具有下列性質(zhì)：
�。�1）菱形的四條邊都相等。
�。�2）菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角。例如圖1.3，AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，AC平分∠A和∠C，BD平分∠B和∠D。
菱形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，也是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它每一條對(duì)角線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸。
【正方形的性質(zhì)】正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。
文章摘要：小學(xué)數(shù)學(xué)難題解法大全之幾何公理、定理或性質(zhì)，只有真正的理解和掌握了這些幾何公理、定理和性質(zhì)才能更高效的解決幾何問(wèn)題。
【多邊形內(nèi)角和定理】n邊形的內(nèi)角的和，等于（n-2）·180°.（又稱(chēng)“求多邊形內(nèi)角和”的公式。）
例如三角形（三邊形）的內(nèi)角和是
�。�3-2）×180°=180°；
四邊形的內(nèi)角和是
�。�4-2）×180°=360°.
【多邊形內(nèi)角和定理的推論】
（1）任意多邊形的外角和等于360°.
這是因?yàn)槎噙呅蚊恳粋�(gè)內(nèi)角與它的一個(gè)鄰補(bǔ)角（多邊形外角）的和為180°，所以，n邊形n個(gè)外角的和等于n·180°-（n-2）·180°=360°.
�。�2）如果一個(gè)角的兩邊分別垂直于另一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。
例如圖1.4，∠1的兩邊分別垂直于∠A的兩邊，則∠1+∠A=180°，即∠1與∠A互補(bǔ)。
又∠2、∠3、∠4的兩邊也分別垂直于∠A的兩邊，則∠3和∠A也互補(bǔ)，而∠2=∠A，∠4=∠A。
【圓的一些性質(zhì)或定理】
�。�1）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓;同圓或等圓的半徑相等。
�。�2）不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。
�。�3）垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的弧。
�。�4）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等。
（5）一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。
【軸對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)】軸對(duì)稱(chēng)圖形具有下面的性質(zhì)：
�。�1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連結(jié)線(xiàn)段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分。
例如圖1.5，圖中的AA′對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連結(jié)線(xiàn)段，被對(duì)稱(chēng)軸L垂直且平分，即L⊥AA′，AP=PA′。
�。�2）兩個(gè)圖形關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，如果它們的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段或其延長(zhǎng)線(xiàn)相交，那么，交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上。
例如圖1.5中，BA與B′A′的延長(zhǎng)線(xiàn)相交，交點(diǎn)M在對(duì)稱(chēng)軸L上。
�。�3）兩個(gè)關(guān)于某直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圖形，一定是全等形。
例如，圖1.5中△ABC與△A′B′C′全等。
【中心對(duì)稱(chēng)圖形的性質(zhì)】如果把一個(gè)圖形繞著一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°后，它和另一個(gè)圖形重合，那么，這兩個(gè)圖形就是關(guān)于這個(gè)點(diǎn)的“中心對(duì)稱(chēng)圖形”。
中心對(duì)稱(chēng)圖形具有以下性質(zhì)：
�。�1）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，并且被對(duì)稱(chēng)中心平分。
例如，圖1.6中對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A與A′，B與B′，C與C′，它們的連線(xiàn)都經(jīng)過(guò)O（對(duì)稱(chēng)中心），并且OA=OA′，OB=OB′，OC=OC′。
（2）關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段平行（或在同一直線(xiàn)上）且相等。
已被證明成立的數(shù)學(xué)猜想：四色猜想[1]
文章摘要：四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一�！八纳珕�(wèn)題”的被證明不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問(wèn)題”的研究過(guò)程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧。…
四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一。
四色問(wèn)題的內(nèi)容是：“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色�！庇脭�(shù)學(xué)語(yǔ)言表示，即“將平面任意地細(xì)分為不相重疊的區(qū)域，每一個(gè)區(qū)域總可以用1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字之一來(lái)標(biāo)記，而不會(huì)使相鄰的兩個(gè)區(qū)域得到相同的數(shù)字。”這里所指的相鄰區(qū)域，是指有一整段邊界是公共的。如果兩個(gè)區(qū)域只相遇于一點(diǎn)或有限多點(diǎn)，就不叫相鄰的。因?yàn)橛孟嗤念伾o它們著色不會(huì)引起混淆。
四色猜想的誕生
四色猜想的提出來(lái)自英國(guó)。1852年，畢業(yè)于倫敦大學(xué)的弗南西斯·格思里來(lái)到一家科研單位搞地圖著色工作時(shí)，發(fā)現(xiàn)了一種有趣的現(xiàn)象：“看來(lái)，每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國(guó)家都被著上不同的顏色。”這個(gè)現(xiàn)象能不能從數(shù)學(xué)上加以嚴(yán)格證明呢?他和在大學(xué)讀書(shū)的弟弟格里斯決心試一試。兄弟二人為證明這一問(wèn)題而使用的稿紙已經(jīng)堆了一大疊，可是研究工作沒(méi)有進(jìn)展。
1852年10月23日，他的弟弟就這個(gè)問(wèn)題的證明請(qǐng)教了他的老師、著名數(shù)學(xué)家德·摩爾根，摩爾根也沒(méi)有能找到解決這個(gè)問(wèn)題的途徑，于是寫(xiě)信向自己的好友、著名數(shù)學(xué)家哈密頓爵士請(qǐng)教。漢密爾頓接到摩爾根的信后，對(duì)四色問(wèn)題進(jìn)行論證。但直到1865年漢密爾頓逝世為止，問(wèn)題也沒(méi)有能夠解決。
解決難題的歷程
四色問(wèn)題的提出：1872年，英國(guó)當(dāng)時(shí)最著名的數(shù)學(xué)家凱利正式向倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)提出了這個(gè)問(wèn)題，于是四色猜想成了世界數(shù)學(xué)界關(guān)注的問(wèn)題。世界上許多一流的數(shù)學(xué)家都紛紛參加了四色猜想的大會(huì)戰(zhàn)。1878～1880年兩年間，著名的律師兼數(shù)學(xué)家肯普（Alfred Kempe）和泰勒（Peter Guthrie Tait）兩人分別提交了證明四色猜想的論文，宣布證明了四色定理，大家都認(rèn)為四色猜想從此也就解決了。
肯普的證明是這樣的：首先指出如果沒(méi)有一個(gè)國(guó)家包圍其他國(guó)家，或沒(méi)有三個(gè)以上的國(guó)家相遇于一點(diǎn)，這種地圖就說(shuō)是“正規(guī)的”。如為正規(guī)地圖，否則為非正規(guī)地圖。一張地圖往往是由正規(guī)地圖和非正規(guī)地圖聯(lián)系在一起，但非正規(guī)地圖所需顏色種數(shù)一般不超過(guò)正規(guī)地圖所需的顏色，如果有一張需要五種顏色的地圖，那就是指它的正規(guī)地圖是五色的，要證明四色猜想成立，只要證明不存在一張正規(guī)五色地圖就足夠了。
肯普是用歸謬法來(lái)證明的，大意是如果有一張正規(guī)的五色地圖，就會(huì)存在一張國(guó)數(shù)最少的“極小正規(guī)五色地圖”，如果極小正規(guī)五色地圖中有一個(gè)國(guó)家的鄰國(guó)數(shù)少于六個(gè)，就會(huì)存在一張國(guó)數(shù)較少的正規(guī)地圖仍為五色的，這樣一來(lái)就不會(huì)有極小五色地圖的國(guó)數(shù)，也就不存在正規(guī)五色地圖了。這樣肯普就認(rèn)為他已經(jīng)證明了“四色問(wèn)題”，但是后來(lái)人們發(fā)現(xiàn)他錯(cuò)了。
不過(guò)肯普的證明闡明了兩個(gè)重要的概念，對(duì)以后問(wèn)題的解決提供了途徑。第一個(gè)概念是“構(gòu)形”。他證明了在每一張正規(guī)地圖中至少有一國(guó)具有兩個(gè)、三個(gè)、四個(gè)或五個(gè)鄰國(guó)，不存在每個(gè)國(guó)家都有六個(gè)或更多個(gè)鄰國(guó)的正規(guī)地圖，也就是說(shuō)，由兩個(gè)鄰國(guó)，三個(gè)鄰國(guó)、四個(gè)或五個(gè)鄰國(guó)組成的一組“構(gòu)形”是不可避免的，每張地圖至少含有這四種構(gòu)形中的一個(gè)。
證明Np=[（7+√1+48p）/2].數(shù)學(xué)家用了78年。
肯普提出的另一個(gè)概念是“可約”性�！翱杉s”這個(gè)詞的使用是來(lái)自肯普的論證。他證明了只要五色地圖中有一國(guó)具有四個(gè)鄰國(guó)，就會(huì)有國(guó)數(shù)減少的五色地圖。自從引入“構(gòu)形”，“可約”概念后，逐步發(fā)展了檢查構(gòu)形以決定是否可約的一些標(biāo)準(zhǔn)方法，能夠?qū)で罂杉s構(gòu)形的不可避免組，是證明“四色問(wèn)題”的重要依據(jù)。但要證明大的構(gòu)形可約，需要檢查大量的細(xì)節(jié)，這是相當(dāng)復(fù)雜的。
11年后，即1890年，在牛津大學(xué)就讀的年僅29歲的赫伍德以自己的精確計(jì)算指出了肯普在證明上的漏洞。他指出肯普說(shuō)沒(méi)有極小五色地圖能有一國(guó)具有五個(gè)鄰國(guó)的理由有破綻。不久，泰勒的證明也被人們否定了。人們發(fā)現(xiàn)他們實(shí)際上證明了一個(gè)較弱的命題——五色定理。就是說(shuō)對(duì)地圖著色，用五種顏色就夠了。后來(lái)，越來(lái)越多的數(shù)學(xué)家雖然對(duì)此絞盡腦汁，但一無(wú)所獲。于是，人們開(kāi)始認(rèn)識(shí)到，這個(gè)貌似容易的題目，其實(shí)是一個(gè)可與費(fèi)馬猜想相媲美的難題。
文章摘要：四色問(wèn)題又稱(chēng)四色猜想、四色定理，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一�！八纳珕�(wèn)題”的被證明不僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問(wèn)題”的研究過(guò)程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧�！�
進(jìn)入20世紀(jì)以來(lái)，科學(xué)家們對(duì)四色猜想的證明基本上是按照肯普的想法在進(jìn)行。1913年，美國(guó)著名數(shù)學(xué)家、哈佛大學(xué)的伯克霍夫利用肯普的想法，結(jié)合自己新的設(shè)想;證明了某些大的構(gòu)形可約。后來(lái)美國(guó)數(shù)學(xué)家富蘭克林于1939年證明了22國(guó)以下的地圖都可以用四色著色。1950年，有人從22國(guó)推進(jìn)到35國(guó)。1960年，有人又證明了39國(guó)以下的地圖可以只用四種顏色著色；隨后又推進(jìn)到了50國(guó)�？磥�(lái)這種推進(jìn)仍然十分緩慢。
計(jì)算機(jī)證明四色問(wèn)題
高速數(shù)字計(jì)算機(jī)的發(fā)明，促使更多數(shù)學(xué)家對(duì)“四色問(wèn)題”的研究。從1936年就開(kāi)始研究四色猜想的海克，公開(kāi)宣稱(chēng)四色猜想可用尋找可約圖形的不可避免組來(lái)證明。他的學(xué)生丟雷寫(xiě)了一個(gè)計(jì)算程序，海克不僅能用這程序產(chǎn)生的數(shù)據(jù)來(lái)證明構(gòu)形可約，而且描繪可約構(gòu)形的方法是從改造地圖成為數(shù)學(xué)上稱(chēng)為“對(duì)偶”形著手。
他把每個(gè)國(guó)家的首都標(biāo)出來(lái)，然后把相鄰國(guó)家的首都用一條越過(guò)邊界的鐵路連接起來(lái)，除首都（稱(chēng)為頂點(diǎn)）及鐵路（稱(chēng)為弧或邊）外，擦掉其他所有的線(xiàn)，剩下的稱(chēng)為原圖的對(duì)偶圖。到了六十年代后期，�？艘M(jìn)一個(gè)類(lèi)似于在電網(wǎng)絡(luò)中移動(dòng)電荷的方法來(lái)求構(gòu)形的不可避免組。在海克的研究中第一次以頗不成熟的形式出現(xiàn)的“放電法”，這對(duì)以后關(guān)于不可避免組的研究是個(gè)關(guān)鍵，也是證明四色定理的中心要素。
電子計(jì)算機(jī)問(wèn)世以后，由于演算速度迅速提高，加之人機(jī)對(duì)話(huà)的出現(xiàn)，大大加快了對(duì)四色猜想證明的進(jìn)程。美國(guó)伊利諾大學(xué)哈肯在1970年著手改進(jìn)“放電過(guò)程”，后與阿佩爾合作編制一個(gè)很好的程序。就在1976年6月，他們?cè)诿绹?guó)伊利諾斯大學(xué)的兩臺(tái)不同的電子計(jì)算機(jī)上，用了1200個(gè)小時(shí)，作了100億判斷，終于完成了四色定理的證明，轟動(dòng)了世界。
這是一百多年來(lái)吸引許多數(shù)學(xué)家與數(shù)學(xué)愛(ài)好者的大事，當(dāng)兩位數(shù)學(xué)家將他們的研究成果發(fā)表的時(shí)候，當(dāng)?shù)氐泥]局在當(dāng)天發(fā)出的所有郵件上都加蓋了“四色足夠”的特制郵戳，以慶祝這一難題獲得解決。
“四色問(wèn)題”的被證明僅解決了一個(gè)歷時(shí)100多年的難題，而且成為數(shù)學(xué)史上一系列新思維的起點(diǎn)。在“四色問(wèn)題”的研究過(guò)程中，不少新的數(shù)學(xué)理論隨之產(chǎn)生，也發(fā)展了很多數(shù)學(xué)計(jì)算技巧。如將地圖的著色問(wèn)題化為圖論問(wèn)題，豐富了圖論的內(nèi)容。不僅如此，“四色問(wèn)題”在有效地設(shè)計(jì)航空班機(jī)日程表，設(shè)計(jì)計(jì)算機(jī)的編碼程序上都起到了推動(dòng)作用。
不過(guò)不少數(shù)學(xué)家并不滿(mǎn)足于計(jì)算機(jī)取得的成就，他們認(rèn)為應(yīng)該有一種簡(jiǎn)捷明快的書(shū)面證明方法。直到現(xiàn)在，仍有不少數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)愛(ài)好者在尋找更簡(jiǎn)潔的證明方法。
垂徑定理
【垂徑定理】
垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，如圖：
圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的每一條直線(xiàn)都是它的對(duì)稱(chēng)軸.
【垂徑定理的推論】
推論1：
(1)平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�
(2)弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條�。�
(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧．推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等．
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