數(shù)學(xué)證明有哪些方法和注意事項(xiàng)
在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中，大家一定要尊重遇到的每一個(gè)問(wèn)題，哪怕這個(gè)問(wèn)題非常淺顯，非常傻，不要掉以輕心，想當(dāng)年，牛頓就是受一顆掉落在他頭頂上的蘋果啟發(fā)而發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律，我不要求大家發(fā)現(xiàn)什么萬(wàn)有引力定律，但起碼要做到認(rèn)真對(duì)待每一個(gè)細(xì)微的問(wèn)題，并能發(fā)自內(nèi)心地發(fā)出真誠(chéng)而理性的思考，即使這種思考很幼稚，要知道，每一種成熟都是由幼稚走過(guò)來(lái)的。
西瓜很甜，我們便不禁發(fā)問(wèn)，西瓜為什么這么甜呢？千萬(wàn)不敢說(shuō)因?yàn)樘穑蕴�，�?huì)被人笑話的！我們應(yīng)該知道西瓜甜的原因是瓜瓤中含有大量果糖，所以才是甜的，但這個(gè)答案貌似并沒(méi)有說(shuō)出要害，有好奇的孩子會(huì)繼續(xù)追問(wèn)：“為什么有果糖，西瓜就是甜的？”這個(gè)問(wèn)題才問(wèn)對(duì)了，那是因?yàn)樘穷惙肿又泻卸嗔u基，多羥基中兩個(gè)氫原子之間有一定的距離，這個(gè)距離恰好能與舌頭上的味覺(jué)感受器形成化學(xué)吻合物，這種化學(xué)吻合物可以刺激味覺(jué)感受器，使其產(chǎn)生脈沖，進(jìn)而由神經(jīng)將脈沖傳入大腦，使人感到甜味。其實(shí)問(wèn)題還可以繼續(xù)下去，但我們沒(méi)必要再深究下去，舉這個(gè)例子只是為了讓大家知道，不管做什么事都要多問(wèn)一個(gè)為什么，然后自己尋求答案，思而不得解的可以向同學(xué)和老師求助，這種主動(dòng)思考能力對(duì)我們各方面能力的提升是非常重要的。
在數(shù)學(xué)中，不要認(rèn)為什么都是理所當(dāng)然的，就像法庭抓捕犯人，罪犯在被法官定罪之前一般都被稱為嫌疑人，只有在找到他們犯罪的證據(jù)之后，才會(huì)改口叫罪犯，一切都講究證據(jù)，沒(méi)有證據(jù)的言論，即使再激烈也蒼白無(wú)力，毫無(wú)說(shuō)服力。數(shù)學(xué)也同樣講究證據(jù)，而且每一個(gè)法則和定理都不是理所當(dāng)然的，都是前人花費(fèi)了無(wú)數(shù)心血才辛辛苦苦證明出來(lái)的。 所以說(shuō)數(shù)學(xué)的證明是一個(gè)非常嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪^(guò)程，平常我們可以嬉笑玩鬧，但在證明一個(gè)問(wèn)題的時(shí)候，我們務(wù)必要抬頭挺胸，凝氣凝神，沐浴三日，齋戒七天，端坐在陽(yáng)光明媚的窗前，拿著一只纖塵不染的晨光中性筆，拔開(kāi)筆帽，然后放在一張潔白的A4紙上，做好這一切準(zhǔn)備后，我們?cè)賮?lái)說(shuō)證明。
要證明一個(gè)命題，必須要有一定的依據(jù)，這些依據(jù)就是數(shù)學(xué)中最基本的'公理和法則以及這些公理法則推導(dǎo)出來(lái)的定理，比如加法交換律，結(jié)合律，比如兩點(diǎn)之間，直線最短，這些公理和法則無(wú)需我們?cè)俅稳プC明，只需要牢牢記住它們，然后把它們當(dāng)做最原始的工具去使用就可以了。
什么是公理呢，顧名思義，我們可以把公理簡(jiǎn)單地理解為：公共認(rèn)可的理論，而它本身的意思也差不多是這樣，公理就是根本無(wú)須證明的基本事實(shí)，這些基本事實(shí)經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期反復(fù)的實(shí)踐，不需要再加以證明了，這樣一來(lái)，我們可以把1+1=2，有理數(shù)加法法則，有理數(shù)減法法則，還有剛學(xué)習(xí)的加法交換律都叫做數(shù)學(xué)公理。定理則是根據(jù)公理推導(dǎo)歸納出來(lái)的。
可以這么說(shuō)，證明就是通過(guò)這些已有的公理，法則，和定理做中介，將已知條件和要證明的命題連接起來(lái)，這個(gè)連接方式可能很簡(jiǎn)單，也可能很曲折，我們不妨將這些公理法則和定理統(tǒng)一叫做連接工具。
已知條件 要證明的命題
要說(shuō)起來(lái)，證明題一共有兩種，一種是純數(shù)學(xué)的，另外一種是關(guān)于幾何圖形的。
比如這道題：5-（-2），這是一道非常簡(jiǎn)單的純數(shù)學(xué)題，但我們完全可以把它看做一道證明題，因?yàn)樗扔幸阎獥l件，又有連接工具，也有需要被證明的命題，如下：
已知條件：5-（-2）
連接工具：有理數(shù)減法法則
證明的命題：5-（-2）這個(gè)算式的結(jié)果
這個(gè)“證明題”的證明過(guò)程非常簡(jiǎn)單，只需要稍微用一下連接工具就可以求出結(jié)果，已知條件和證明的命題千變?nèi)f化，但連接工具來(lái)來(lái)回回都是那幾個(gè)，這就要求我們必須深刻理解連接工具并將它們牢牢掌握，并學(xué)會(huì)在合適的地方合理運(yùn)用它們。
像這種從已知條件出發(fā)，通過(guò)連接工具，逐步向前推進(jìn)，直到問(wèn)題解決的證明方法，我們稱之為綜合法，這種解題思路就像黑暗中的一條路，我們站在路的起點(diǎn)（已知條件），要依靠中間的馬路（連接工具），一步步向終點(diǎn)（要證明的命題）走去，行走的這個(gè)過(guò)程必須要在我們腦海經(jīng)歷，我們把經(jīng)歷的這個(gè)過(guò)程就叫順勢(shì)思維。一般簡(jiǎn)單的證明題用的都是順勢(shì)思維。
還有一種題，如：已知a+b=4，ab=3，求a+b。
這個(gè)“證明題”的證明過(guò)程相比5-（-2）要稍微復(fù)雜一點(diǎn)，在解題之前需要我們好好想一想，已知條件和要證明的命題看起來(lái)毫無(wú)關(guān)聯(lián)，證明起來(lái)無(wú)從下手，既然這樣，那我們不妨從要證明的命題反推，推啊推，最后如果能推到已知條件，那么我們?cè)夙樦赐茣r(shí)得到的線索證明出最后的結(jié)果，當(dāng)然，反推時(shí)要用到的工具自然也是連接工具，現(xiàn)在我們22
�。╝+b）-2ab的連接工具自然根據(jù)要證明的命題來(lái)進(jìn)行推導(dǎo)：a+b=（a+b）-2ab，等號(hào)的依據(jù)或者說(shuō)連接a+b和
�。╝+b）=a+2ab+b，ok，推導(dǎo)的結(jié)果都是已知條件，那我們反過(guò)來(lái)就可以得到： 就是我們熟悉的完全平方公式：222222222
2（a+b）-2ab=a2+b2，然后把a(bǔ)+b=4和ab=3帶進(jìn)去，就可以得到證明結(jié)果了。
像這種從要證明的命題出發(fā)，通過(guò)連接工具（這個(gè)連接工具需要經(jīng)過(guò)仔細(xì)推敲和選擇），一步步逆向求證下去，直到最后逆向求證的問(wèn)題都變成已知條件，我們稱之為分析法，分析法是根據(jù)結(jié)果來(lái)求原因，就像在黑暗中，站在終點(diǎn)摸索回家的路，它用到的思維方法是一種非常典型的逆向思維，對(duì)于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的題，我們可以用逆向思維去做，當(dāng)然，前提是你必須對(duì)在進(jìn)行逆向推導(dǎo)時(shí)所所用到的各個(gè)連接工具熟悉。
當(dāng)然除了，如果能將順勢(shì)思維和逆向思維聯(lián)合起來(lái)就好了，不管怎樣，在運(yùn)用它們的過(guò)程中都要用到連接工具，否則就寸步難行。
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