高三數(shù)學(xué)幾何復(fù)習(xí)指導(dǎo)
天津市第四十二中學(xué) 張鼎言
由|-|⊥|-|：x1x2+y1y2
=-=0
3m2=2b2(k2+1) (*)
lOD：y=--x
-
x2+y2=-+-
=-=-
由(*) 3g-=2b2
x2+y2=-gb2
若k→∞→|x1|=|y1|
由原方程-+-=1
x12=-b2，D(x1，0)在軌跡上
若k=0
-+-=1，y22=-b2，D(0，y2)
∴D也在軌跡上
注：本題(Ⅱ)是過兩點(diǎn)的直線與橢圓相交，設(shè)直線方程一般不用二點(diǎn)式，而采用y=kx+m形式。這是涉及兩個(gè)參數(shù)k、m，消參的過程就是把幾何條件(這里是|-|⊥|-|)變成等量關(guān)系，通過等量關(guān)系(這里是3m2=2b2(k2+1))減少參數(shù)個(gè)數(shù)。
2. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上，l是AB的垂直平分線。
(Ⅰ)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí)，直線l經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的'結(jié)論;
(Ⅱ)當(dāng)直線l的斜率為2時(shí)，求l在y軸上截距的取值范圍。
解：(Ⅰ)x2=-y，F(xiàn)(0，-)，準(zhǔn)線方程y=--
∵A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，l垂直平分AB且過焦點(diǎn)F，
∴|FA|=|FB|
由拋物線定義：|FA|=y1-(--)=|FB|=y2-(--)
∴y1=y2，2x12=2x22，2(x1+x2)(x1-x2)=0，
∵A、B是兩個(gè)不同點(diǎn)，∴x1≠x2
∴x1+x2=0是所求結(jié)論。
(Ⅱ) l：y=2x+b，求b的范圍?
這里直線l與拋物線沒有直接的關(guān)系，因此l必須借助直線lAB，l是線段AB垂直平分線，把l與lAB連接起來，由lAB與拋物線關(guān)系，再回到直線l上來。
lAB：y=--x+m，且過(-，-)
-
△=-+8m0，m--
x1+x2=--，-=--，
y1+y2=--(x1+x2)+2m，-=-+m
又(-，-)在直線上，-+m=--+b，
b=m+---+-=-
注：本題難點(diǎn)是由l轉(zhuǎn)化為lAB，反過來再由lAB回到l上來。本例提示了一條有普遍意義的規(guī)律，有關(guān)系較遠(yuǎn)的兩個(gè)“元素”之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為關(guān)系較近的“元素”之間的關(guān)系，再回到原來“元素”之間的關(guān)系。
3. 雙曲線C與橢圓-+-=1有相同的焦點(diǎn)，直線y=-x為C的一條漸近線。
(1)求雙曲線C的方程;
(2)過點(diǎn)P(0，4)的直線l，交雙曲線C于A、B兩點(diǎn)，交x軸于Q點(diǎn)(Q點(diǎn)與C的頂點(diǎn)不重合)。當(dāng)-=λ1-=λ2-，且λ1+λ2=--時(shí)，求Q點(diǎn)的坐標(biāo)。
解：(Ⅰ)由-+-=1→c=2， 又-=-
∴雙曲線C的方程為x2--=1
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