等差數(shù)列數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)匯總
高三特長(zhǎng)班數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)——等差數(shù)列
一、知識(shí)梳理
1.數(shù)列：如果數(shù)列 的第 項(xiàng)與序號(hào)之間可以用一個(gè)式子表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式，即 .如 ，則 ______ , =______,1是該數(shù)列中的項(xiàng)么？如果是，是第幾項(xiàng)？8是不是該數(shù)列的項(xiàng)?
2、數(shù)列 中， ，求則 等于多少？
3.等差數(shù)列的概念：如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，_______________等于同一個(gè)常數(shù) ，這個(gè)數(shù)列叫做等差數(shù)列，常數(shù) 稱為等差數(shù)列的_____.
4.通項(xiàng)公式與前 項(xiàng)和公式
�、磐�(xiàng)公式____________________⑵前 項(xiàng)和公式________________或._________________
5.等差中項(xiàng): 是 與 的等差中項(xiàng) ， ， 成等差數(shù)列.
6.等差數(shù)列的判定方法
�、哦x法： （ ， 是常數(shù)） 是等差數(shù)列；
�、浦许�(xiàng)法： ( ) 是等差數(shù)列.
7.等差數(shù)列的常用性質(zhì)
(1) (2) 若 ，則_______________；
二、高考鏈接
1、.在等差數(shù)列 中, ,則
2、設(shè) 是等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和，已知 ， ，則 等于（ ）
A．13 B．35 C．49 D． 63
2、已知 是等差數(shù)列， ，其前10項(xiàng)和 ，則其公差 （ ）
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
已知等差數(shù)列 的前3項(xiàng)和為6，前8項(xiàng)和為-4。
�。á瘢┣髷�(shù)列 的通項(xiàng)公式；
三、搶分演練
1、若等差數(shù)列{ }的前三項(xiàng)和 且 ，則 等于（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2、等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 若 （ ）
A．12 B．10 C．8 D．6
3、等差數(shù)列{an}中，a1=1,a3+a5=14，其前n項(xiàng)和Sn=100,則n=（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
4、已知等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ，則
5、已知 是等差數(shù)列， ， ，則該數(shù)列前10項(xiàng)和 等于（ ）
A．64B．100C．110D．120
6、若等差數(shù)列 的前5項(xiàng)和 ，且 ，則 （ ）
A．12B．13C．14D．15
7、設(shè)等差數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ,若 ,則 . .
8、如果等差數(shù)列 中， + + =12，那么 + +…+ =
�。ˋ）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35
9、設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和 ，則 的值為
�。ˋ） 15 (B) 16 (C) 49 （D）64
10、等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若 （ ）
A．12 B．18 C．24 D．42
11、設(shè)等差數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，若 ， ，則 （ ）
A．63 B．45 C．36 D．27
12、已知數(shù)列{ }的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng) ；若它的第 項(xiàng)滿足 ，則 ．
2016屆高考數(shù)學(xué)難點(diǎn)突破復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的概念
音美班案1 導(dǎo)數(shù)的概念（理）
一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1．導(dǎo)數(shù)的概念：函數(shù)y＝ 的導(dǎo)數(shù) ，就是當(dāng)Δ 0時(shí)，函數(shù)的增量Δy與自變量的增量Δ 的比 的 ，即 ＝ ＝ ．
2．導(dǎo)函數(shù)：函數(shù)y＝ 在區(qū)間(a, b)內(nèi) 的導(dǎo)數(shù)都存在，就說(shuō) 在區(qū)間( a, b )內(nèi) ，其導(dǎo)數(shù)也是(a ,b )內(nèi)的函數(shù)，叫做 的 ，記作 或 ，函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) 在 時(shí)的函數(shù)值 ，就是 在 處的導(dǎo)數(shù).
3．導(dǎo)數(shù)的幾何意義：設(shè)函數(shù)y＝ 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么它在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值等于函數(shù)所表示曲線在相應(yīng)點(diǎn) 處的 .
4．求導(dǎo)數(shù)的方法
�。�1） ＝ ； ＝ ；(n∈Q) ＝ ， ＝
�。�2） ＝ ＝ ＝ ， ＝
�。�3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
二、典型例題
例1、一質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的方程為 。（1）求質(zhì)點(diǎn)在[1，1+Δt]這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；（2）求質(zhì)點(diǎn)在t=1時(shí)的瞬時(shí)速度
例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
�。�1）
�。�2）
變式訓(xùn)練1：求y=tanx的導(dǎo)數(shù).
例3、 已知曲線y=
�。�1）求曲線在x=2處的切線方程；
�。�2）求曲線過(guò)點(diǎn)（2，4）的切線方程.
變式訓(xùn)練2、例3中求斜率為4的曲線的切線方程。
三、課后練習(xí)
1、（全國(guó) Ⅰ新卷理3 ） 曲線 在點(diǎn)（-1，-1）處的切線方程為（ ）
（A）y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-2
2、(2009?全國(guó)Ⅰ理，9)已知直線y＝x＋1與曲線y＝ln(x＋a)相切，則a的值為( ) A．1 B．2 C．－1 D．－2
3．(2010?聊城模擬)曲線y＝ex在點(diǎn)(2，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為( ) A.94e2 B．2e2 C．e2 D.e22
4、若點(diǎn)P是曲線y＝x2－ln x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線y＝x－2的最小距離為 ( )A．1 B.2 C.22 D.3
四、小結(jié)歸納
理解平均變化率的實(shí)際意義，掌握函數(shù)在一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，熟記求導(dǎo)公式，對(duì)于復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要層層求導(dǎo).
音美班案2 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1（理）
一、基礎(chǔ)過(guò)關(guān)
1、 函數(shù)單調(diào)性：
函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù) 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 ＞0，則 為增函數(shù)；如果 ＜0，則 為減函數(shù).
如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)恒有 =0，則 為常數(shù).
2. 極值的判別方法：當(dāng)函數(shù) 在點(diǎn) 處連續(xù)時(shí)，
�、偃绻� 附近的左側(cè) ＞0，右側(cè) ＜0，那么 是極大值；
�、谌绻� 附近的左側(cè) ＜0，右側(cè) ＞0，那么 是極小值.
注：若點(diǎn) 是可導(dǎo)函數(shù) 的極值點(diǎn)，則 =0. 反之不一定成立. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn) 是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.
例：①函數(shù) ， 使 =0，但 不是極值點(diǎn).
�、诤瘮�(shù) ，在點(diǎn) 處不可導(dǎo)，但點(diǎn) 是函數(shù)的極小值點(diǎn).
3. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.
二、例題分析
例. 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+c,曲線y=f(x）在點(diǎn)x=1處的切線為l:3x-y+1=0，若x= 時(shí)，y=f(x）有極值.
�。�1）求a,b,c的值；?
（2）求y=f(x）在［-3，1］上的最大值和最小值.
變式訓(xùn)練1. 設(shè)x=1與x=2是 函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)。
�。�1）試確定常數(shù)a和b的值；
�。�2）試判斷x=1,x=2是函數(shù) 的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)，并求相應(yīng)極值。
三、課后練習(xí)
1、(2010?聊城模擬)函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )A．(0,3) B.0，32 C．(0，＋∞) D．(－∞，3)
2、若f(x)＝－12x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是減函數(shù)，則b的范圍是
A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞) C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)
3、若函數(shù)f(x)=x3-ax2+1在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 （ ）??A.a≥3 ?B.a=3 C.a≤3 D.04、設(shè) 為實(shí)數(shù)，函數(shù) 的極值為
5、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為 ,且滿足f(x)=3x2+2x ,則 =
四、歸納小結(jié)
研究可導(dǎo)函數(shù) 的單調(diào)性、極值（最值）時(shí)，應(yīng)先求出函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù) ，再找出 ＝0的x取值或 >0(<0)的x的取值范圍．
音美班教學(xué)案3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2（理）
例1. 已知f(x)=ex-ax-1.?（1）求f(x)的單調(diào)增區(qū)間；?
�。�2）若f(x）在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，求a的取值范圍；?
�。�3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上單調(diào)遞減，在［0，+∞）上單調(diào)遞增？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.
變式訓(xùn)練1. 已知函數(shù)f(x)=x3-ax-1.?
�。�1）若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；?
�。�2）是否存在實(shí)數(shù)a,使f(x)在（-1，1）上單調(diào)遞減？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由；?
（3）證明：f(x)=x3-ax-1的圖象不可能總在直線y=a的上方.?
例3. 已知函數(shù)f(x)=x2e-ax (a＞0),求函數(shù)在［1，2］上的最大值.
2016屆高考數(shù)學(xué)函數(shù)復(fù)習(xí)教案
2013高中數(shù)學(xué)精講精練 第二 函數(shù)
【知識(shí)導(dǎo)讀】
【方法點(diǎn)撥】
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要，最基礎(chǔ)的內(nèi)容之一，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)．高中函數(shù)以具體的冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)的概念，性質(zhì)和圖像為主要研究對(duì)象，適當(dāng)研究分段函數(shù)，含絕對(duì)值的函數(shù)和抽象函數(shù)；同時(shí)要對(duì)初中所學(xué)二次函數(shù)作深入理解．
1.活用“定義法”解題．定義是一切法則與性質(zhì)的基礎(chǔ)，是解題的基本出發(fā)點(diǎn)．利用定義，可直接判斷所給的對(duì)應(yīng)是否滿足函數(shù)的條，證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性等．
2.重視“數(shù)形結(jié)合思想”滲透．“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”．當(dāng)你所研究的問(wèn)題較為抽象時(shí)，當(dāng)你的思維陷入困境時(shí)，當(dāng)你對(duì)雜亂無(wú)的條感到頭緒混亂時(shí)，一個(gè)很好的建議：畫個(gè)圖像！利用圖形的直觀性，可迅速地破解問(wèn)題，乃至最終解決問(wèn)題．
3.強(qiáng)化“分類討論思想”應(yīng)用．分類討論是一種邏輯方法，是一種重要的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)也是一種重要的解題策略，它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法．進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：分類的對(duì)象是確定的，標(biāo)準(zhǔn)是統(tǒng)一的，不遺漏、不重復(fù)，科學(xué)地劃分，分清主次，不越級(jí)討論。其中最重要的一條是“不漏不重”．
4.掌握“函數(shù)與方程思想”．函數(shù)與方程思想是最重要，最基本的數(shù)學(xué)思想方法之一，它在整個(gè)高中數(shù)學(xué)中的地位與作用很高．函數(shù)的思想包括運(yùn)用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題，轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題．
第1 函數(shù)的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.在體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過(guò)集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域．
2.準(zhǔn)確理解函數(shù)的概念，能根據(jù)函數(shù)的三要素判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．設(shè)有函數(shù)組：① ， ；② ， ；③ ， ；④ ， ；⑤ ， ．其中表示同一個(gè)函數(shù)的有___②④⑤___．
2.設(shè)集合 ， ，從 到 有四種對(duì)應(yīng)如圖所示：
其中能表示為 到 的函數(shù)關(guān)系的有_____②③____．
3.寫出下列函數(shù)定義域：
(1) 的定義域?yàn)開_____________； (2) 的定義域?yàn)開_____________；
(3) 的定義域?yàn)開_____________； (4) 的定義域?yàn)開________________．
4．已知三個(gè)函數(shù):(1) ； (2) ； (3) ．寫出使各函數(shù)式有意義時(shí)， ， 的約束條：
(1)______________________； (2)______________________； (3)______________________________．
5.寫出下列函數(shù)值域：
(1) ， ；值域是 ．
(2) ； 值域是 ．
(3) ， ． 值域是 ．
【范例解析】
例1.設(shè)有函數(shù)組：① ， ；② ， ；
�、� ， ；④ ， ．其中表示同一個(gè)函數(shù)的有③④．
分析：判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，關(guān)鍵看函數(shù)的三要素是否相同．
解：在①中， 的定義域?yàn)?， 的定義域?yàn)?，故不是同一函數(shù)；在②中， 的定義域?yàn)?， 的定義域?yàn)?，故不是同一函數(shù)；③④是同一函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：兩個(gè)函數(shù)當(dāng)它們的三要素完全相同時(shí)，才能表示同一函數(shù)．而當(dāng)一個(gè)函數(shù)定義域和對(duì)應(yīng)法則確定時(shí)，它的值域也就確定，故判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)，只需判斷它的定義域和對(duì)應(yīng)法則是否相同即可．
例2.求下列函數(shù)的定義域：① ； ② ；
解：（1）① 由題意得： 解得 且 或 且 ，
故定義域?yàn)?．
�、� 由題意得： ，解得 ，故定義域?yàn)?．
例3.求下列函數(shù)的值域：
�。�1） ， ；
�。�2） ；
�。�3） ．
分析：運(yùn)用配方法，逆求法，換元法等方法求函數(shù)值域．
（1）解： ， ， 函數(shù)的值域?yàn)?；
�。�2）解法一：由 ， ，則 ， ，故函數(shù)值域?yàn)?．
解法二：由 ，則 ， ， ， ，故函數(shù)值域?yàn)?．
�。�3）解：令 ，則 ， ，
當(dāng) 時(shí)， ，故函數(shù)值域?yàn)?．
點(diǎn)評(píng)：二次函數(shù)或二次函數(shù)型的函數(shù)求值域可用配方法；逆求法利用函數(shù)有界性求函數(shù)的值域；用換元法求函數(shù)的值域應(yīng)注意新元的取值范圍．
【反饋演練】
1．函數(shù)f(x)＝ 的定義域是___________．
2．函數(shù) 的定義域?yàn)開________________．
3. 函數(shù) 的值域?yàn)開_______________．
4. 函數(shù) 的值域?yàn)開____________．
5．函數(shù) 的定義域?yàn)開____________________．
6.記函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)锳，g(x)=lg[(x－a－1)(2a－x)](a<1) 的定義域?yàn)锽．
(1) 求A；
(2) 若B A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：(1)由2－ ≥0，得 ≥0，x<－1或x≥1， 即A=(－∞，－1)∪[1，+ ∞) ．
(2) 由(x－a－1)(2a－x)>0，得(x－a－1)(x－2a)<0．
∵a<1，∴a+1>2a，∴B=(2a，a+1) ．
∵B A， ∴2a≥1或a+1≤－1，即a≥ 或a≤－2，而a<1，
∴ ≤a<1或a≤－2，故當(dāng)B A時(shí)， 實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞,－2]∪[ ,1)．
第2 函數(shù)的表示方法
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ鐖D像法，列表法，解析法）表示函數(shù)．
2.求解析式一般有四種情況：（1）根據(jù)某個(gè)實(shí)際問(wèn)題須建立一種函數(shù)關(guān)系式；（2）給出函數(shù)特征，利用待定系數(shù)法求解析式；（3）換元法求解析式；（4）解方程組法求解析式．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.設(shè)函數(shù) ， ，則 _________； __________．
2.設(shè)函數(shù) ， ,則 _____3_______； ； ．
3.已知函數(shù) 是一次函數(shù)，且 ， ,則 __15___．
4.設(shè)f(x)＝ ，則f[f( )]＝_____________．
5.如圖所示的圖象所表示的函數(shù)解析式為__________________________．
【范例解析】
例1.已知二次函數(shù) 的最小值等于4，且 ，求 的解析式．
分析：給出函數(shù)特征，可用待定系數(shù)法求解．
解法一：設(shè) ，則 解得
故所求的解析式為 ．
解法二： ， 拋物線 有對(duì)稱軸 ．故可設(shè) ．
將點(diǎn) 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
解法三：設(shè) ，由 ，知 有兩個(gè)根0，2，
可設(shè) ， ，
將點(diǎn) 代入解得 ．故所求的解析式為 ．
點(diǎn)評(píng)：三種解法均是待定系數(shù)法，也是求二次函數(shù)解析式常用的三種形式：一般式，頂點(diǎn)式，零點(diǎn)式．
例2.甲同學(xué)家到乙同學(xué)家的途中有一公園，甲從家到公園的距離與乙從家到公園的距離都是2km，甲10時(shí)出發(fā)前往乙家．如圖，表示甲從出發(fā)到乙家為止經(jīng)過(guò)的路程y（km）與時(shí)間x（分）的關(guān)系．試寫出 的函數(shù)解析式．
分析：理解題意，根據(jù)圖像待定系數(shù)法求解析式．
解：當(dāng) 時(shí)，直線方程為 ，當(dāng) 時(shí)，直線方程為 ，
點(diǎn)評(píng)：建立函數(shù)的解析式是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，把題中字語(yǔ)言描述的數(shù)學(xué)關(guān)系用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)．要注意求出解析式后，一定要寫出其定義域．
【反饋演練】
1．若 ， ，則 （ D ）
�。粒� Ｂ． Ｃ． Ｄ．
2．已知 ，且 ，則m等于________．
3. 已知函數(shù)f(x)和g(x)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)＝x2＋2x．求函數(shù)g(x)的解析式．
解：設(shè)函數(shù) 的圖象上任意一點(diǎn) 關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為 ，
則
∵點(diǎn) 在函數(shù) 的圖象上
第3 函數(shù)的單調(diào)性
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解函數(shù)單調(diào)性，最大（�。┲导捌鋷缀我饬x；
2.會(huì)運(yùn)用單調(diào)性的定義判斷或證明一些函數(shù)的增減性．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.下列函數(shù)中：
其中，在區(qū)間(0，2)上是遞增函數(shù)的序號(hào)有___②___．
2.函數(shù) 的遞增區(qū)間是___ R ___．
3.函數(shù) 的遞減區(qū)間是__________．
4.已知函數(shù) 在定義域R上是單調(diào)減函數(shù)，且 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍__________．
5.已知下列命題：
�、俣x在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 是 上的增函數(shù)；
�、诙x在 上的函數(shù) 滿足 ，則函數(shù) 在 上不是減函數(shù)；
③定義在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
�、芏x在 上的函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，在區(qū)間 上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
其中正確命題的序號(hào)有_____②______．
【范例解析】
例 . 求證：（1）函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)遞增函數(shù)；
（2）函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)遞增函數(shù)．
分析：利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，注意符號(hào)的確定．
證明：（1）對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
因?yàn)?/p>
又 ，則 ， ，得 ，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)．
�。�2）對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
因?yàn)?，
又 ，則 ， ， 得，
故 ，即 ，即 ．
所以，函數(shù) 在區(qū)間 上是單調(diào)增函數(shù)．
同理，對(duì)于區(qū)間 ，函數(shù) 是單調(diào)增函數(shù)；
所以，函數(shù) 在區(qū)間 和 上都是單調(diào)增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：利用單調(diào)性定義證明函數(shù)的單調(diào)性，一般分三步驟：（1）在給定區(qū)間內(nèi)任意取兩值 ， ；（2）作差 ，化成因式的乘積并判斷符號(hào)；（3）給出結(jié)論．
例2.確定函數(shù) 的單調(diào)性．
分析：作差后，符號(hào)的確定是關(guān)鍵．
解：由 ，得定義域?yàn)?．對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
則
又 ， ，
，即 ．
所以， 在區(qū)間 上是增函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用有理化可以對(duì)含根號(hào)的式子進(jìn)行符號(hào)的確定．
【反饋演練】
1．已知函數(shù) ，則該函數(shù)在 上單調(diào)遞__減__，（填“增”“減”）值域?yàn)開________．
2．已知函數(shù) 在 上是減函數(shù)，在 上是增函數(shù)，則 __25___.
3. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間為 .
4. 函數(shù) 的單調(diào)遞減區(qū)間為 ．
5. 已知函數(shù) 在區(qū)間 上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：設(shè)對(duì)于區(qū)間 內(nèi)的任意兩個(gè)值 ， ，且 ，
則 ，
， ， 得， ， ，即 ．
第4 函數(shù)的奇偶性
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.了解函數(shù)奇偶性的含義，能利用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性；
2.定義域?qū)ζ媾夹缘挠绊懀憾x域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要但不充分條；不具備上述對(duì)稱性的，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.給出4個(gè)函數(shù)：① ；② ；③ ；④ ．
其中奇函數(shù)的有___①④___；偶函數(shù)的有____②____；既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)的有____③____．
2. 設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)，則實(shí)數(shù) －1 ．
3.下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（ A ）
A. B. C. D.
【范例解析】
例1.判斷下列函數(shù)的奇偶性：
�。�1） ； （2） ；
（3） ； （4） ；
（5） ； （6）
分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再利用定義判斷．
解：（1）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ,
所以 為偶函數(shù)．
�。�2）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ，
，故 為奇函數(shù)．
�。�3）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ， 且 ，
所以 既為奇函數(shù)又為偶函數(shù)．
（4）定義域?yàn)?，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
（5）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ， ，則 且 ，故 既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．
�。�6）定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
， 又 ，
，故 為奇函數(shù)．
點(diǎn)評(píng)：判斷函數(shù)的奇偶性，應(yīng)首先注意其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；其次，利用定義即 或 判斷，注意定義的等價(jià)形式 或 ．
例2. 已知定義在 上的函數(shù) 是奇函數(shù)，且當(dāng) 時(shí)， ，求函數(shù) 的解析式，并指出它的單調(diào)區(qū)間．
分析：奇函數(shù)若在原點(diǎn)有定義，則 ．
解：設(shè) ，則 ， ．
又 是奇函數(shù)， ， ．
當(dāng) 時(shí)， ．
綜上， 的解析式為 ．
作出 的圖像，可得增區(qū)間為 ， ，減區(qū)間為 ， ．
點(diǎn)評(píng)：（1）求解析式時(shí) 的情況不能漏；（2）兩個(gè)單調(diào)區(qū)間之間一般不用“ ”連接；（3）利用奇偶性求解析式一般是通過(guò)“ ”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化；（4）根據(jù)圖像寫單調(diào)區(qū)間．
【反饋演練】
1．已知定義域?yàn)镽的函數(shù) 在區(qū)間 上為減函數(shù)，且函數(shù) 為偶函數(shù)，則（ D ）
A． B． C． D．
2. 在 上定義的函數(shù) 是偶函數(shù)，且 ，若 在區(qū)間 是減函數(shù)，則函數(shù) （ B ）
A.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)
B.在區(qū)間 上是增函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)
C.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是增函數(shù)
D.在區(qū)間 上是減函數(shù)，區(qū)間 上是減函數(shù)
3. 設(shè) ，則使函數(shù) 的定義域?yàn)镽且為奇函數(shù)的所有 的值為____1，3 ___．
4．設(shè)函數(shù) 為奇函數(shù)， 則 ________．
5．若函數(shù) 是定義在R上的偶函數(shù)，在 上是減函數(shù)，且 ，則使得 的x的取
值范圍是（－2，2）．
6. 已知函數(shù) 是奇函數(shù)．又 ， ,求a，b，c的值；
解：由 ，得 ，得 ．又 ，得 ，
而 ，得 ，解得 ．又 ， 或1．
若 ，則 ，應(yīng)舍去；若 ，則 ．
所以， ．
綜上，可知 的值域?yàn)?．
第5 函數(shù)的圖像
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.掌握基本初等函數(shù)的圖像特征，學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)的圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；
2.掌握畫圖像的基本方法：描點(diǎn)法和圖像變換法．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.根據(jù)下列各函數(shù)式的變換，在箭頭上填寫對(duì)應(yīng)函數(shù)圖像的變換：
�。�1） ；
（2） ．
2.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：
�。�1） ； （2） ； （3） ．
解：（1）將 的圖像向下平移1個(gè)單位，可得 的圖像．圖略；
�。�2）將 的圖像向右平移2個(gè)單位，可得 的圖像．圖略；
�。�3）由 ，將 的圖像先向右平移1個(gè)單位，得 的圖像，再向下平移1個(gè)單位，可得 的圖像．如下圖所示：
3.作出下列各個(gè)函數(shù)圖像的示意圖：
�。�1） ； （2） ； （3） ； （4） ．
解：（1）作 的圖像關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖1所示；
�。�2）作 的圖像關(guān)于x軸的對(duì)稱圖像，如圖2所示；
�。�3）作 的圖像及它關(guān)于y軸的對(duì)稱圖像，如圖3所示；
�。�4）作 的圖像，并將x軸下方的部分翻折到x軸上方，如圖4所示．
4. 函數(shù) 的圖象是（ B ）
【范例解析】
例1.作出函數(shù) 及 ， ， ， ， 的圖像．
分析：根據(jù)圖像變換得到相應(yīng)函數(shù)的圖像．
解： 與 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；
與 的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱；
將 的圖像向左平移2個(gè)單位得到 的圖像；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．圖略．
點(diǎn)評(píng)：圖像變換的類型主要有平移變換，對(duì)稱變換兩種．平移變換：左“+”右“－”，上“+”下“－”；對(duì)稱變換： 與 的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；
與 的圖像關(guān)于x軸對(duì)稱； 與 的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
保留 的圖像在x軸上方的部分，將x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去，并去掉原下方的部分；
將 的圖像在y軸右邊的部分沿y軸翻折到y(tǒng)軸的左邊部分替代原y軸左邊部分，并保留 在y軸右邊部分．
例2.設(shè)函數(shù) .
�。�1）在區(qū)間 上畫出函數(shù) 的圖像；
�。�2）設(shè)集合 . 試判斷集合 和 之間的關(guān)系，并給出證明.
分析：根據(jù)圖像變換得到 的圖像，第（3）問(wèn)實(shí)質(zhì)是恒成立問(wèn)題．
解：（1）
（2）方程 的`解分別是 和 ，由于 在 和 上單調(diào)遞減，在 和 上單調(diào)遞增，因此 .
由于 .
【反饋演練】
1．函數(shù) 的圖象是（ B ）
2. 為了得到函數(shù) 的圖象，可以把函數(shù) 的圖象向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度得到．
3．已知函數(shù) 的圖象有公共點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，則 = ．
4．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且y=f (x)的圖象關(guān)于直線 對(duì)稱，則
f (1)+ f (2)+ f (3)+ f (4)+ f (5)=_____0____ ．
5. 作出下列函數(shù)的簡(jiǎn)圖：
�。�1） ； （2） ； （3） ．
第6 二次函數(shù)
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)；
2.能結(jié)合二次函數(shù)的圖像判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知二次函數(shù) ,則其圖像的開口向__上__；對(duì)稱軸方程為 ；頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，與 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 ，最小值為 ．
2.二次函數(shù) 的圖像的對(duì)稱軸為 ,則 __－2___，頂點(diǎn)坐標(biāo)為 ，遞增區(qū)間為 ，遞減區(qū)間為 ．
3.函數(shù) 的零點(diǎn)為 ．
4.實(shí)系數(shù)方程 兩實(shí)根異號(hào)的充要條為 ；有兩正根的充要條為 ；有兩負(fù)根的充要條為 ．
5.已知函數(shù) 在區(qū)間 上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是__________．
【范例解析】
例1.設(shè) 為實(shí)數(shù)，函數(shù) ， ．
�。�1）討論 的奇偶性；
�。�2）若 時(shí)，求 的最小值．
分析：去絕對(duì)值．
解：（1）當(dāng) 時(shí)，函數(shù)
此時(shí)， 為偶函數(shù)．
當(dāng) 時(shí)， ， ，
此時(shí) 既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)．
�。�2）
由于 在 上的最小值為 ，在 內(nèi)的最小值為 ．
故函數(shù) 在 內(nèi)的最小值為 ．
點(diǎn)評(píng)：注意分類討論；分段函數(shù)求最值，先求每個(gè)區(qū)間上的函數(shù)最值，再確定最值中的最值．
例2.函數(shù) 在區(qū)間 的最大值記為 ，求 的表達(dá)式．
分析：二次函數(shù)在給定區(qū)間上求最值，重點(diǎn)研究其在所給區(qū)間上的單調(diào)性情況．
解：∵直線 是拋物線 的對(duì)稱軸，∴可分以下幾種情況進(jìn)行討論：
（1）當(dāng) 時(shí)，函數(shù) ， 的圖象是開口向上的拋物線的一段，
由 知 在 上單調(diào)遞增，故 ；
�。�2）當(dāng) 時(shí)， ， ，有 =2；
（3）當(dāng) 時(shí)，，函數(shù) ， 的圖象是開口向下的拋物線的一段，
若 即 時(shí)， ，
若 即 時(shí)， ，
若 即 時(shí)， ．
綜上所述，有 = ．
點(diǎn)評(píng)：解答本題應(yīng)注意兩點(diǎn)：一是對(duì) 時(shí)不能遺漏；二是對(duì) 時(shí)的分類討論中應(yīng)同時(shí)考察拋物線的開口方向，對(duì)稱軸的位置及 在區(qū)間 上的單調(diào)性．
【反饋演練】
1．函數(shù) 是單調(diào)函數(shù)的充要條是 ．
2．已知二次函數(shù)的圖像頂點(diǎn)為 ，且圖像在 軸上截得的線段長(zhǎng)為8，則此二次函數(shù)的解析式為 ．
3. 設(shè) ，二次函數(shù) 的圖象為下列四圖之一：
則a的值為 （ B ）
A．1B．－1C． D．
4．若不等式 對(duì)于一切 成立，則a的取值范圍是 ．
5.若關(guān)于x的方程 在 有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 ．
6.已知函數(shù) 在 有最小值，記作 ．
（1）求 的表達(dá)式；
（2）求 的最大值．
解：（1）由 知對(duì)稱軸方程為 ，
當(dāng) 時(shí)，即 時(shí)， ；
當(dāng) ，即 時(shí)， ；
當(dāng) ，即 時(shí)， ；
綜上， ．
�。�2）當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ；當(dāng) 時(shí)， ．故當(dāng) 時(shí)， 的最大值為3．
7. 分別根據(jù)下列條,求實(shí)數(shù)a的值：
�。�1）函數(shù) 在在 上有最大值2；
（2）函數(shù) 在在 上有最大值4．
解：（1）當(dāng) 時(shí)， ，令 ，則 ；
當(dāng) 時(shí)， ，令 ， （舍）；
當(dāng) 時(shí)， ，即 ．
綜上，可得 或 ．
�。�2）當(dāng) 時(shí)， ，即 ，則 ；
當(dāng) 時(shí)， ，即 ，則 ．
綜上， 或 ．
8. 已知函數(shù) ．
�。�1）對(duì)任意 ，比較 與 的大小；
（2）若 時(shí)，有 ，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）對(duì)任意 ， ，
故 ．
�。�2）又 ，得 ，即 ，
得 ，解得 ．
第7 指數(shù)式與對(duì)數(shù)式
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；
2.理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；
3.能運(yùn)用指數(shù)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)，求值，證明，并注意公式成立的前提條；
4.通過(guò)指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化以及不同底的對(duì)數(shù)運(yùn)算化為同底對(duì)數(shù)運(yùn)算．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.寫出下列各式的值：
�。� ____4____； ；
___0_____； ____1____； __－4__．
2.化簡(jiǎn)下列各式：
�。�1） ；
�。�2） ．
3.求值：（1） ___－38____；
�。�2） ____1____；
（3） _____3____．
【范例解析】
例1. 化簡(jiǎn)求值：
�。�1）若 ，求 及 的值；
（2）若 ，求 的值．
分析：先化簡(jiǎn)再求值．
解：（1）由 ，得 ，故 ；
又 ， ； ，故 ．
�。�2）由 得 ；則 ．
點(diǎn)評(píng)：解條求值問(wèn)題：（1）將已知條適當(dāng)變形后使用；（2）先化簡(jiǎn)再代入求值．
例2.（1）求值： ；
�。�2）已知 ， ，求 ．
分析：化為同底．
解：（1）原式= ；
（2）由 ，得 ；所以 ．
點(diǎn)評(píng)：在對(duì)數(shù)的求值過(guò)程中，應(yīng)注意將對(duì)數(shù)化為同底的對(duì)數(shù)．
例3. 已知 ，且 ，求c的值．
分析：將a，b都用c表示．
解：由 ，得 ， ；又 ，則 ，
得 ． ， ．
點(diǎn)評(píng)：三個(gè)方程三個(gè)未知數(shù)，消元法求解．
【反饋演練】
1．若 ，則 ．
2．設(shè) ，則 ．
3．已知函數(shù) ，若 ，則 －b．
4．設(shè)函數(shù) 若 ，則x0的取值范圍是（－∞，－1）∪（1，+∞）．
5．設(shè)已知f (x6) = log2x，那么f (8)等于 ．
6．若 ， ，則k =__－1__．
7．已知函數(shù) ，且 ．
�。�1）求實(shí)數(shù)c的值；
�。�2）解不等式 ．
解：（1）因?yàn)?，所以 ，
由 ，即 ， ．
（2）由（1）得：
由 得，當(dāng) 時(shí)，解得 ．
當(dāng) 時(shí)，解得 ，
所以 的解集為 ．
第8 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.了解冪函數(shù)的概念，結(jié)合函數(shù) ， ， ， ， 的圖像了解它們的變化情況；
2.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
3.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.指數(shù)函數(shù) 是R上的單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
2.把函數(shù) 的圖像分別沿x軸方向向左，沿y軸方向向下平移2個(gè)單位，得到 的圖像，則 ．
3.函數(shù) 的定義域?yàn)開__R__；單調(diào)遞增區(qū)間 ；值域 ．
4.已知函數(shù) 是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值 ．
5.要使 的圖像不經(jīng)過(guò)第一象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍 ．
6.已知函數(shù) 過(guò)定點(diǎn)，則此定點(diǎn)坐標(biāo)為 ．
【范例解析】
例1.比較各組值的大小：
�。�1） ， ， ， ；
�。�2） ， ， ，其中 ；
�。�3） ， ．
分析：同指不同底利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性．
解：（1） ，而 ，
�。�2） 且 ， ．
（3） ．
點(diǎn)評(píng)：比較同指不同底可利用冪函數(shù)的單調(diào)性，同底不同指可利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；另注意通過(guò)0，1等數(shù)進(jìn)行間接分類．
例2.已知定義域?yàn)?的函數(shù) 是奇函數(shù),求 的值；
解：因?yàn)?是奇函數(shù)，所以 =0，即
又由f（1）= －f（－1）知
例3.已知函數(shù) ，求證：
�。�1）函數(shù) 在 上是增函數(shù)；
�。�2）方程 沒(méi)有負(fù)根．
分析：注意反證法的運(yùn)用．
證明：（1）設(shè) ， ，
， ，又 ，所以 ， ， ，則
故函數(shù) 在 上是增函數(shù)．
�。�2）設(shè)存在 ，滿足 ，則 ．又 ，
即 ，與假設(shè) 矛盾，故方程 沒(méi)有負(fù)根．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考察指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)和方程的內(nèi)在聯(lián)系．
【反饋演練】
1．函數(shù) 對(duì)于任意的實(shí)數(shù) 都有（ C ）
A． B．
C． D．
2．設(shè) ，則（ A ）
A．－2<x<－1 B．－3<x<－2 C．－1<x<0 D．0<x<1
3．將y=2x的圖像 ( D ) 再作關(guān)于直線y=x對(duì)稱的圖像，可得到函數(shù) 的圖像．
A．先向左平行移動(dòng)1個(gè)單位B．先向右平行移動(dòng)1個(gè)單位
C．先向上平行移動(dòng)1個(gè)單位D． 先向下平行移動(dòng)1個(gè)單位
4．函數(shù) 的圖象如圖，其中a、b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ C ）
A． B．
C． D．
5．函數(shù) 在 上的最大值與最小值的和為3，則 的值為___2__．
6．若關(guān)于x的方程 有實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解：由 得， ，
7．已知函數(shù) ．
�。�1）判斷 的奇偶性；
�。�2）若 在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解：（1）定義域?yàn)镽，則 ，故 是奇函數(shù)．
�。�2）設(shè) ， ，
當(dāng) 時(shí)，得 ，即 ；
當(dāng) 時(shí)，得 ，即 ；
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
第9 對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念和意義，能畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；
2.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；
3.熟練運(yùn)用分類討論思想解決指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1. 函數(shù) 的單調(diào)遞增區(qū)間是 ．
2. 函數(shù) 的單調(diào)減區(qū)間是 ．
【范例解析】
例1. （1）已知 在 是減函數(shù)，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是_________．
�。�2）設(shè)函數(shù) ，給出下列命題：
�、� 有最小值； ②當(dāng) 時(shí)， 的值域?yàn)?；
�、郛�(dāng) 時(shí)， 的定義域?yàn)?；
�、苋� 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
則其中正確命題的序號(hào)是_____________．
分析：注意定義域，真數(shù)大于零．
解：（1） ， 在 上遞減，要使 在 是減函數(shù)，則 ；又 在 上要大于零，即 ，即 ；綜上， ．
（2）① 有無(wú)最小值與a的取值有關(guān)；②當(dāng) 時(shí)， ，成立；
③當(dāng) 時(shí)，若 的定義域?yàn)?，則 恒成立，即 ，即 成立；④若 在區(qū)間 上單調(diào)遞增，則 解得 ，不成立．
點(diǎn)評(píng)：解決對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)問(wèn)題首先要考慮定義域，并能結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖像分析解決．
例3.已知函數(shù) ，求函數(shù) 的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.
分析：利用定義證明復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性．
解：x須滿足 所以函數(shù) 的定義域?yàn)椋ǎ?，0）∪（0，1）.
因?yàn)楹瘮?shù) 的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)的任意x，有
，所以 是奇函數(shù).
研究 在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2∈（0，1），且設(shè)x1<x2 ，則
得 >0，即 在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，
由于 是奇函數(shù)，所以 在（－1，0）內(nèi)單調(diào)遞減.
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考察復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷及證明，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決問(wèn)題的能力．
【反饋演練】
1．給出下列四個(gè)數(shù)：① ；② ；③ ；④ .其中值最大的序號(hào)是___④___.
2．設(shè)函數(shù) 的圖像過(guò)點(diǎn) ， ，則 等于___5_ _．
3．函數(shù) 的圖象恒過(guò)定點(diǎn) ，則定點(diǎn) 的坐標(biāo)是 ．
4．函數(shù) 上的最大值和最小值之和為a，則a的值為 ．
5．函數(shù) 的圖象和函數(shù) 的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有___3___個(gè).
6．下列四個(gè)函數(shù)：① ； ② ；③ ；
�、� .其中，函數(shù)圖像只能是如圖所示的序號(hào)為___②___.
7．求函數(shù) , 的最大值和最小值．
解：
令 ， ，則 ，
即求函數(shù) 在 上的最大值和最小值．
故函數(shù) 的最大值為0，最小值為 ．
8．已知函數(shù) ．
（1）求 的定義域；（2）判斷 的奇偶性；（3）討論 的單調(diào)性，并證明．
解：（1）解：由 ，故的定義域?yàn)?．
（2） ，故 為奇函數(shù)．
（3）證明：設(shè) ，則 ，
當(dāng) 時(shí)， ，故 在 上為減函數(shù)；同理 在 上也為減函數(shù)；
當(dāng) 時(shí)， ，故 在 ， 上為增函數(shù)．
第10 函數(shù)與方程
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.能利用二次函數(shù)的圖像與判別式的正負(fù)，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系．
2.能借助計(jì)算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的實(shí)質(zhì)．
3.體驗(yàn)并理解函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.函數(shù) 在區(qū)間 有_____1 ___個(gè)零點(diǎn)．
2.已知函數(shù) 的圖像是連續(xù)的，且 與 有如下的對(duì)應(yīng)值表：
123456
－2.33.40－1.3－3.43.4
則 在區(qū)間 上的零點(diǎn)至少有___3__個(gè)．
【范例解析】
例1. 是定義在區(qū)間[－c，c]上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令 ，
則下列關(guān)于函數(shù) 的結(jié)論：
�、偃鬭<0，則函數(shù) 的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
�、谌鬭=－1，－2<b<0，則方程 =0有大于2的實(shí)根；
③若a≠0， ，則方程 =0有兩個(gè)實(shí)根；
④若 ， ，則方程 =0有三個(gè)實(shí)根．
其中，正確的結(jié)論有___________．
分析：利用圖像將函數(shù)與方程進(jìn)行互化．
解：當(dāng) 且 時(shí)， 是非奇非偶函數(shù)，①不正確；當(dāng) ， 時(shí)， 是奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，③不正確；當(dāng) ， 時(shí)， ，由圖知，當(dāng) 時(shí)， 才有三個(gè)實(shí)數(shù)根，故④不正確；故選②．
點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考察函數(shù)與方程思想，突出考察分析和觀察能力；題中只給了圖像特征，因此，應(yīng)用其圖，察其形，舍其次，抓其本．
例2.設(shè) ，若 ， ， ．
求證：（1） 且 ；
（2）方程 在 內(nèi)有兩個(gè)實(shí)根．
分析：利用 ， ， 進(jìn)行消元代換．
證明：（1） ， ，由 ，得 ，代入 得：
，即 ，且 ，即 ，即證．
�。�2） ，又 ， ．則兩根分別在區(qū)間 ， 內(nèi)，得證．
點(diǎn)評(píng)：在證明第（2）問(wèn)時(shí)，應(yīng)充分運(yùn)用二分法求方程解的方法，選取 的中點(diǎn) 考察 的正負(fù)是首選目標(biāo)，如不能實(shí)現(xiàn) ，則應(yīng)在區(qū)間內(nèi)選取其它的值．本題也可選 ，也可利用根的分布做．
【反饋演練】
1．設(shè) ， 為常數(shù)．若存在 ，使得 ，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
2．設(shè)函數(shù) 若 ， ，則關(guān)于x的方程 解的個(gè)數(shù)為（ C ）
A．1B．2C．3D．4
3．已知 ，且方程 無(wú)實(shí)數(shù)根，下列命題：
�、俜匠� 也一定沒(méi)有實(shí)數(shù)根；②若 ，則不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立；
�、廴� ，則必存在實(shí)數(shù) ，使
�、苋� ，則不等式 對(duì)一切實(shí)數(shù) 都成立．
其中正確命題的序號(hào)是 ①②④ ．
4．設(shè)二次函數(shù) ，方程 的兩根 和 滿足 ．求實(shí)數(shù) 的取值范圍．
解：令 ，
則由題意可得 ．
故所求實(shí)數(shù) 的取值范圍是 ．
5．已知函數(shù) 是偶函數(shù),求k的值；
解： 是偶函數(shù)，
由于此式對(duì)于一切 恒成立，
6．已知二次函數(shù) ．若a>b>c， 且f（1）=0，證明f（x）的圖象與x軸有2個(gè)交點(diǎn).
證明：
的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn).
第11 函數(shù)模型及其應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1.能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的情境建立函數(shù)模型，結(jié)合對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，給出問(wèn)題的解答．
2.理解數(shù)據(jù)擬合是用對(duì)事物的發(fā)展規(guī)律進(jìn)行估計(jì)的一種方法，會(huì)根據(jù)條借助計(jì)算工具解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．
3.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)地分析問(wèn)題，探索問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力．
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1今有一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：
1.993.04.05.16.12
1.54.047.51218.01
現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，
其中最接近的一個(gè)的序號(hào)是______③_______．
2.某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為1.2萬(wàn)元/輛，年銷售量為1000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x(0 < x < 1)，則出廠價(jià)相應(yīng)的提高比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤(rùn) = (出廠價(jià)－投入成本)×年銷售量.
(Ⅰ)寫出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的關(guān)系式；
(Ⅱ)為使本年度的年利潤(rùn)比上年有所增加，問(wèn)投入成本增加的比例x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
解：（Ⅰ）由題意得y = [ 1.2×(1+0.75x)－1×(1 + x) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）
整理得 y = －60x2 + 20x + 200（0 < x < 1）.
�。á颍┮ＷC本年度的利潤(rùn)比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)
即 解不等式得 .
答：為保證本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，投入成本增加的比例x應(yīng)滿足0 < x < 0.33.
【范例解析】
例. 某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場(chǎng)行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場(chǎng)售價(jià)與上市時(shí)間的關(guān)系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時(shí)間的關(guān)系用圖二的拋物線段表示．
(Ⅰ)寫出圖一表示的市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式p=f(t)；寫出圖二表示的種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式Q=g(t)；
(Ⅱ)認(rèn)定市場(chǎng)售價(jià)減去種植成本為純收益，問(wèn)何時(shí)上市的西紅柿純收益最大？
(注：市場(chǎng)售價(jià)和種植成本的單位：元/102kg，時(shí)間單位：天)
解：(Ⅰ)由圖一可得市場(chǎng)售價(jià)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為
由圖二可得種植成本與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系為
g(t)= (t－150)2+100，0≤t≤300．
(Ⅱ)設(shè)t時(shí)刻的純收益為h(t)，則由題意得
h(t)=f(t)－g(t)，
即
當(dāng)0≤t≤200時(shí)，配方整理得
h(t)=－ (t－50)2+100，
所以，當(dāng)t=50時(shí)，h(t)取得區(qū)間[0，200]上的最大值100；
當(dāng)200<t≤300時(shí)，配方整理得：h(t)=－ (t－350)2+100，
所以，當(dāng)t=300時(shí)，h(t)取得區(qū)間（200，300]上的最大值87.5．
綜上:由100>87.5可知，h(t)在區(qū)間[0，300]上可以取得最大值100，此時(shí)t=50，即從二月一日開始的第50天時(shí)，上市的西紅柿純收益最大
【反饋演練】
1．把長(zhǎng)為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個(gè)正三角形，則這兩個(gè)正三角形面積之和的最小值是___________ ．
2．某地高上溫度從腳起每升高100m降低0.7℃，已知頂?shù)臏囟仁?4.1℃，腳的溫度是26℃，則此的高度為_____17_____m．
3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(rùn)（單位：萬(wàn)元）分別為L(zhǎng)1=5.06x－0.15 x 2和L2=2 x，其中x為銷售量（單位：輛）.若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤(rùn)為____45.6___萬(wàn)元．
4．某單位用木料制作如圖所示的框架，框架的下部是邊長(zhǎng)分別為x，y(單位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架圍成的總面積8cm2. 問(wèn)x、y分別為多少時(shí)用料最省?
解：由題意得 xy+ x2=8，∴y= = (0<x<4 ).
則框架用料長(zhǎng)度為l=2x+2y+2( )=( + )x+ ≥4 .
當(dāng)( + )x= ,即x=8－4 時(shí)等號(hào)成立.
此時(shí)，x=8－4 ， ，
故當(dāng)x為8－4 m，y為 m時(shí)，用料最省.
2016屆高考數(shù)學(xué)數(shù)列復(fù)習(xí)教案
2013高中數(shù)學(xué)精講精練 第五 數(shù)列
【知識(shí)圖解】
【方法點(diǎn)撥】
1．學(xué)會(huì)從特殊到一般的觀察、分析、思考，學(xué)會(huì)歸納、猜想、驗(yàn)證．
2．強(qiáng)化基本量思想，并在確定基本量時(shí)注重設(shè)變量的技巧與解方程組的技巧．
3．在重點(diǎn)掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，會(huì)針對(duì)可化為等差（比）數(shù)列的比較簡(jiǎn)單的數(shù)列進(jìn)行化歸與轉(zhuǎn)化．
4．一些簡(jiǎn)單特殊數(shù)列的求通項(xiàng)與求和問(wèn)題，應(yīng)注重通性通法的復(fù)習(xí)．如錯(cuò)位相減法、迭加法、迭乘法等．
5．增強(qiáng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)，會(huì)針對(duì)有關(guān)應(yīng)用問(wèn)題，建立數(shù)學(xué)模型，并求出其解．
第1 數(shù)列的概念
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．了解數(shù)列（含等差數(shù)列、等比數(shù)列）的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖象、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù)；
2．理解數(shù)列的通項(xiàng)公式的意義和一些基本量之間的關(guān)系；
3．能通過(guò)一些基本的轉(zhuǎn)化解決數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 項(xiàng)和的問(wèn)題。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1.已知數(shù)列 滿足 ，則 = 。
分析:由a1=0, 得 由此可知: 數(shù)列 是周期變化的,且三個(gè)一循環(huán),所以可得:
2．在數(shù)列 中，若 ， ，則該數(shù)列的通項(xiàng) 2n-1 。
3．設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ， ，且 ，則 ____2__.
4．已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ，則其通項(xiàng) ．
【范例導(dǎo)析】
例1．設(shè)數(shù)列 的通項(xiàng)公式是 ，則
（1）70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)嗎？如果是，是第幾項(xiàng)？
�。�2）寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)，并作出前5項(xiàng)的圖象；
�。�3）這個(gè)數(shù)列所有項(xiàng)中有沒(méi)有最小的項(xiàng)？如果有，是第幾項(xiàng)？
分析：70是否是數(shù)列的項(xiàng)，只要通過(guò)解方程 就可以知道；而作圖時(shí)則要注意數(shù)列與函數(shù)的區(qū)別，數(shù)列的圖象是一系列孤立的點(diǎn)；判斷有無(wú)最小項(xiàng)的問(wèn)題可以用函數(shù)的觀點(diǎn)解決，一樣的是要注意定義域問(wèn)題。
解：（1）由 得： 或
所以70是這個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)，是第13項(xiàng)。
�。�2）這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)是 ；（圖象略）
�。�3）由函數(shù) 的單調(diào)性： 是減區(qū)間， 是增區(qū)間，
所以當(dāng) 時(shí)， 最小，即 最小。
點(diǎn)評(píng)：該題考察數(shù)列通項(xiàng)的定義，會(huì)判斷數(shù)列項(xiàng)的歸屬，要注重函數(shù)與數(shù)列之間的聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)解決數(shù)列的問(wèn)題有時(shí)非常方便。
例2．設(shè)數(shù)列 的前n項(xiàng)和為 ，點(diǎn) 均在函數(shù)y＝3x－2的圖像上,求數(shù)列 的通項(xiàng)公式。
分析：根據(jù)題目的條利用 與 的關(guān)系： ，（要特別注意討論n=1的情況）求出數(shù)列 的通項(xiàng)。
解：依題意得， 即 。
當(dāng)n≥2時(shí)， ;
當(dāng)n=1時(shí)， 所以 。
例3．已知數(shù)列｛a ｝滿足 ,
（Ⅰ）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
�。á颍┤魯�(shù)列 滿足 ,證明： 是等差數(shù)列;
分析：本題第1問(wèn)采用構(gòu)造等比數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題，第2問(wèn)依然是構(gòu)造問(wèn)題。
解：（I）
是以 為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。
即
（II）
�、冢�，得 即 ③
�、郏�，得 即 是等差數(shù)列。
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列、不等式等基本知識(shí)，考查化歸的數(shù)學(xué)思想方法，考查綜合解題能力。
【反饋演練】
1．若數(shù)列 前8項(xiàng)的值各異，且 對(duì)任意n∈N*都成立，則下列數(shù)列中可取遍 前8項(xiàng)值的數(shù)列為 （2） 。
�。�1） （2） （3） （4）
2．設(shè)Sn是數(shù)列 的前n項(xiàng)和，且Sn=n2，則 是 等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列 。
3．設(shè)f（n）= （n∈N），那么f（n+1）－f（n）等于 。
4．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查結(jié)果，預(yù)測(cè)某種家用商品從年初開始的n個(gè)月內(nèi)累積的需求量Sn（萬(wàn)）近似地滿足Sn= （21n－n2－5）（n=1，2，……，12）.按此預(yù)測(cè)，在本年度內(nèi)，需求量超過(guò)1.5萬(wàn)的月份是 7月、8月 。
5．在數(shù)列 中， 則 505 。
6．?dāng)?shù)列 中，已知 ，
（1）寫出 ， ， ； （2） 是否是數(shù)列中的項(xiàng)？若是，是第幾項(xiàng)？
解：（1）∵ ，∴ ，
（2）令 ，解方程得 ，
∵ ，∴ ， 即 為該數(shù)列的第15項(xiàng)。
第2 等差、等比數(shù)列
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．掌握等差、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前 項(xiàng)和公式，能運(yùn)用公式解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題；
2．理解等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，了解等差、等比數(shù)列與函數(shù)之間的關(guān)系；
3．注意函數(shù)與方程思想方法的運(yùn)用。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．在等差數(shù)列{an}中，已知a5＝10，a12＝31，首項(xiàng)a1= -2 ，公差d= 3 。
2．一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)與第4項(xiàng)分別是12與18，則它的第1項(xiàng)是 ，第2項(xiàng)是 8 。
3．設(shè) 是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若 ， ，則 。
4．公差不為0的等差數(shù)列{an}中，a2，a3，a6依次成等比數(shù)列，則公比等于 3 。
【范例導(dǎo)析】
例1．（1）若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)的和為34，最后3項(xiàng)的和為146，且所有項(xiàng)的和為390，則這個(gè)數(shù)列有
13 項(xiàng)。
（2）設(shè)數(shù)列{an}是遞增等差數(shù)列，前三項(xiàng)的和為12，前三項(xiàng)的積為48，則它的首項(xiàng)是 2 。
解：（1）答案：13
法1：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
∴n＝13
法2：設(shè)這個(gè)數(shù)列有n項(xiàng)
又 ∴n＝13
�。�2）答案：2 因?yàn)榍叭?xiàng)和為12，∴a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝ ＝4
又a1a2a3＝48， ∵a2＝4，∴a1a3＝12，a1＋a3＝8，
把a(bǔ)1，a3作為方程的兩根且a1＜a3，
∴x2－8x＋12＝0，x1＝6，x2＝2，∴a1＝2，a3＝6，∴選B.
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的運(yùn)用和學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。
例2．（1）已知數(shù)列 為等差數(shù)列，且
�。á瘢┣髷�(shù)列 的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）證明
分析：（1）借助 通過(guò)等差數(shù)列的定義求出數(shù)列 的公差，再求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，（2）求和還是要先求出數(shù)列 的通項(xiàng)公式，再利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求和。
解：（1）設(shè)等差數(shù)列 的公差為d，
由 即d=1。
所以 即
�。↖I）證明：因?yàn)?，
所以
點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)求通項(xiàng)公式，最終通過(guò)通項(xiàng)公式解釋復(fù)雜的不等問(wèn)題，屬于綜合性的題目，解題過(guò)程中注意觀察規(guī)律。
例3．已知數(shù)列 的首項(xiàng) （ 是常數(shù)，且 ）， （ ），數(shù)列 的首項(xiàng) ， （ ）。
（1）證明： 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列；
（2）設(shè) 為數(shù)列 的前n項(xiàng)和，且 是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù) 的值。
分析：第（1）問(wèn)用定義證明，進(jìn)一步第（2）問(wèn)也可以求出。
解：（1）∵ ∴
(n≥2)
由 得 ， ，∵ ，∴ ，
即 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列。
�。�2）
當(dāng)n≥2時(shí)，
∵ 是等比數(shù)列, ∴ (n≥2)是常數(shù)， ∴3a+4=0，即 。
點(diǎn)評(píng)：本題考查了用定義證明等比數(shù)列，分類討論的數(shù)學(xué)思想，有一定的綜合性。
【反饋演練】
1．已知等差數(shù)列 中， ，則前10項(xiàng)的和 ＝ 210 。
2．在等差數(shù)列 中，已知 則 ＝ 42 。
3．已知等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其中奇數(shù)項(xiàng)之和15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，則其公差是 3 。
4．如果 成等比數(shù)列，則 3 ， -9 。
5．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,已知a3=12,S12>0,S13<0.
(1)求公差d的取值范圍；
(2)指出S1、S2、…、S12中哪一個(gè)值最大，并說(shuō)明理由.
解：(1)依題意有：
解之得公差d的取值范圍為－ ＜d＜－3.
(2)解法一：由d＜0可知a1>a2>a3>…>a12>a13,因此，在S1，S2，…，S12中Sk為最大值的條為：ak≥0且ak+1＜0,即
∵a3=12, ∴ ， ∵d＜0, ∴2－ ＜k≤3－
∵－ ＜d＜－3,∴ ＜－ ＜4,得5.5＜k＜7.
因?yàn)閗是正整數(shù)，所以k=6,即在S1，S2，…，S12中，S6最大.
解法二：由d＜0得a1>a2>…>a12>a13，
因此若在1≤k≤12中有自然數(shù)k,使得ak≥0,且ak+1＜0,則Sk是S1，S2，…，S12中的最大值。又2a7=a1+a13= S13＜0, ∴a7＜0, a7+a6=a1+a12= S12>0, ∴a6≥－a7>0
故在S1，S2，…，S12中S6最大.
解法三：依題意得：
最小時(shí)，Sn最大；
∵－ ＜d＜－3, ∴6＜ (5－ )＜6.5.
從而，在正整數(shù)中，當(dāng)n=6時(shí)，［n－ (5－ )］2最小，所以S6最大.
點(diǎn)評(píng)：該題的第(1)問(wèn)通過(guò)建立不等式組求解屬基本要求，難度不高，入手容易.
第(2)問(wèn)難度較高，為求{Sn}中的最大值Sk（1≤k≤12）：思路之一是知道Sk為最大值的充要條是ak≥0且ak+1＜0；而思路之二則是通過(guò)等差數(shù)列的性質(zhì)等和性探尋數(shù)列的分布規(guī)律，找出“分水嶺”，從而得解；思路之三是可視Sn為n的二次函數(shù)，借助配方法可求解，它考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想、邏輯思維能力和計(jì)算能力，較好地體現(xiàn)了高考試題注重能力考查的特點(diǎn).
第3 數(shù)列的求和
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
對(duì)于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導(dǎo)等差、等比數(shù)列的和時(shí)出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見方法有：
（1）公式法：⑴ 等差數(shù)列的求和公式，⑵ 等比數(shù)列的求和公式
�。�2）分組求和法：在直接運(yùn)用公式求和有困難時(shí)常，將“和式”中的“同類項(xiàng)”先合并在一起，再運(yùn)用公式法求和（如：通項(xiàng)中含 因式，周期數(shù)列等等）
�。�3）倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列｛a ｝，與首末兩項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個(gè)和式相加，就得到了一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2
�。�4）錯(cuò)項(xiàng)相減法：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)相乘所組成，此時(shí)求和可采用錯(cuò)位相減法。
�。�5）裂項(xiàng)相消法：把一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)一些正負(fù)項(xiàng)相互抵消，于是前n項(xiàng)之和變成首尾若干少數(shù)項(xiàng)之和。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．已知公差不為0的正項(xiàng)等差數(shù)列｛an｝中,Sn為前n項(xiàng)之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，若a5=10,
則S5 = 30 。
2．已知數(shù)列｛an｝是等差數(shù)列,且a2=8,a8=26,從｛an｝中依次取出第3項(xiàng),第9項(xiàng),第27項(xiàng)…,第3n項(xiàng),按原的順序構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列｛bn｝, 則bn=__3n+1+2___
3．若數(shù)列 滿足： ，2，3….則 .
【范例導(dǎo)析】
例1.已知等比數(shù)列 分別是某等差數(shù)列的第5項(xiàng)、第3項(xiàng)、第2項(xiàng)，且
�。á瘢┣� ；
�。á颍┰O(shè) ，求數(shù)列
解：（I）依題意
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。
例2．?dāng)?shù)列 前 項(xiàng)之和 滿足：
�。�1）求證：數(shù)列 是等比數(shù)列 ；
�。�2）若數(shù)列 的公比為 ,數(shù)列 滿足： ，求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
（3）定義數(shù)列 為 ，，求數(shù)列 的前 項(xiàng)之和 。
解：（1）由 得：
兩式相減得： 即 ,
∴數(shù)列 是等比數(shù)列 。
�。�2） ，則有 ∴ 。
�。�3） ，
點(diǎn)評(píng)：本題考查了 與 之間的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項(xiàng)相消法求和問(wèn)題。
例3．已知數(shù)列 滿足 ， ．
�。á瘢┣髷�(shù)列 的通項(xiàng)公式 ； （Ⅱ）設(shè) ，求數(shù)列 的前 項(xiàng)和 ；
�。á螅┰O(shè) ，數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ．求證：對(duì)任意的 ， ．
分析：本題所給的遞推關(guān)系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對(duì)數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項(xiàng)以利于求和。
解：（Ⅰ） ， ，
又 ， 數(shù)列 是首項(xiàng)為 ，公比為 的等比數(shù)列．
， 即 .
當(dāng) 時(shí)，則
， 對(duì)任意的 ， ．
點(diǎn)評(píng)：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列 的通項(xiàng) ，第二問(wèn)分組求和法是非常常見的方法，第三問(wèn)不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會(huì)放成等差、等比數(shù)列求和，或者放縮之后可以裂項(xiàng)相消求和。
【反饋演練】
1．已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則數(shù)列 的前10項(xiàng)的和為 75 。
2．已知數(shù)列 的通項(xiàng)公式 ，其前 項(xiàng)和為 ，則 377 。
3．已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，且 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式為 。
4．已知數(shù)列 中， 且有 ，則數(shù)列 的通項(xiàng)公式為
，前 項(xiàng)和為 。
5．?dāng)?shù)列{an}滿足a1=2，對(duì)于任意的n∈N*都有an＞0, 且(n+1)an2+anan+1－nan+12=0，
又知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=2n－1+1.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及它的前n項(xiàng)和Sn；
(2)求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn；
解：(1）可解得 ，從而an=2n，有Sn=n2+n，
(2)Tn=2n+n－1.
6．?dāng)?shù)列{an}中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1－an,(n∈N*).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)Sn=｜a1｜+｜a2｜+…+｜an｜,求Sn;
(3)設(shè)bn= (n∈N*),Tn=b1+b2+……+bn(n∈N*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對(duì)任意n∈N*均有Tn＞ 成立？若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由.
解：(1）由an+2=2an+1－an an+2－an+1=an+1－an可知{an}成等差數(shù)列，?
d= =－2,∴an=10－2n.
(2)由an=10－2n≥0可得n≤5，當(dāng)n≤5時(shí)，Sn=－n2+9n，當(dāng)n＞5時(shí)，Sn=n2－9n+40，
故Sn=
(3)bn=
�。灰筎n＞ 總成立，需 ＜T1= 成立，即m＜8且m∈Z，故適合條的m的最大值為7.
第4 數(shù)列的應(yīng)用
【考點(diǎn)導(dǎo)讀】
1．能在具體的問(wèn)題情景中發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差、等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。
2．注意基本數(shù)學(xué)思想方法的運(yùn)用，構(gòu)造思想：已知數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列，轉(zhuǎn)化思想：將非等差、等比數(shù)列轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列。
【基礎(chǔ)練習(xí)】
1．若數(shù)列 中， ，且對(duì)任意的正整數(shù) 、 都有 ，則 .
2．設(shè)等比數(shù)列 的公比為 ，前 項(xiàng)和為 ，若 成等差數(shù)列，則 的值為 。
3．已知等差數(shù)列 的公差為2，若 成等比數(shù)列，則 。
【范例導(dǎo)析】
例1．已知正數(shù)組成的兩個(gè)數(shù)列 ，若 是關(guān)于 的方程 的兩根
（1）求證： 為等差數(shù)列；
�。�2）已知 分別求數(shù)列 的通項(xiàng)公式；
�。�3）求數(shù) 。
�。�1）證明：由 的兩根得：
是等差數(shù)列
�。�2）由（1）知
∴ 又 也符合該式，
�。�3） ①
�、佟诘�
點(diǎn)評(píng)：本題考查了等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，數(shù)列的構(gòu)造，數(shù)列的轉(zhuǎn)化思想，乘公比錯(cuò)項(xiàng)相減法求和等。
例2．設(shè)數(shù)列 滿足 ，且數(shù)列 是等差數(shù)列，數(shù)列 是等比數(shù)列。
（I）求數(shù)列 和 的通項(xiàng)公式；
�。↖I）是否存在 ，使 ，若存在，求出 ，若不存在，說(shuō)明理由。
解：由題意得：
由已知 得公比
（2）
，所以當(dāng) 時(shí)， 是增函數(shù)。
又 ， 所以當(dāng) 時(shí) ，
又 ， 所以不存在 ，使 。
【反饋演練】
1．制造某種產(chǎn)品，計(jì)劃經(jīng)過(guò)兩年要使成本降低 ，則平均每年應(yīng)降低成本 。
2．等比數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ， ，則 54 。
3．設(shè) 為等差數(shù)列， 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，已知 ， 為數(shù)列｛ ｝的前 項(xiàng)和，則 ．
4.已知數(shù)列
（1）求數(shù)列 的通項(xiàng)公式； （2）求證數(shù)列 是等比數(shù)列；
�。�3）求使得 的集合.
解：（1）設(shè)數(shù)列 ，由題意得：
解得：
（2）由題意知： ，
為首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列
�。�3）由
5.已知數(shù)列 的各項(xiàng)均為正數(shù)， 為其前 項(xiàng)和，對(duì)于任意 ，滿足關(guān)系 .
證明： 是等比數(shù)列；
證明：∵ ① ∴ ②
②－①，得
故:數(shù)列{an}是等比數(shù)列
不等式的解法
6.5 不等式的解法（二）
●知識(shí)梳理
1.x＞a x＞a或x＜－a（a＞0）；
x＜a －a＜x＜a（a＞0）.
2.形如x－a+x－b≥c的不等式的求解通常采用“零點(diǎn)分段討論法”.
3.含參不等式的求解，通常對(duì)參數(shù)分類討論.
4.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：
a－b≤a±b≤a+b.
思考討論
1.在x＞a x＞a或x＜－a（a＞0）、x＜a －a＜x＜a（a＞0）中的a＞0改為a∈R還成立嗎?
2.絕對(duì)值不等式的性質(zhì)中等號(hào)成立的條是什么?
●點(diǎn)擊雙基
1.設(shè)a、b是滿足ab＜0的實(shí)數(shù)，那么
A.a+b＞a－b
B.a+b＜a－b
C.a－b＜a－b
D.a－b＜a+b
解析：用賦值法.令a=1，b=－1，代入檢驗(yàn).
答案：B
2.不等式2x2－1≤1的解集為
A.{x－1≤x≤1}B.{x－2≤x≤2}
C.{x0≤x≤2}D.{x－2≤x≤0}
解析：由2x2－1≤1得－1≤2x2－1≤1.
∴0≤x2≤1，即－1≤x≤1.
答案：A
3.不等式x+log3x＜x+log3x的解集為
A.（0，1）B.（1，+∞）
C.（0，+∞）D.（－∞，+∞）
解析：∵x＞0，x與log3x異號(hào)，
∴l(xiāng)og3x＜0.∴0＜x＜1.
答案：A
4.已知不等式a≤ 對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立，則a的取值范圍是____________.
解析：要使a≤ 對(duì)x取一切負(fù)數(shù)恒成立，
令t=x＞0，則a≤ .
而 ≥ =2 ，
∴a≤2 .
答案：a≤2
5.已知不等式2x－t+t－1＜0的解集為（－ ， ），則t=____________.
解析：2x－t＜1－t，t－1＜2x－t＜1－t，
2t－1＜2x＜1，t－ ＜x＜ .
∴t=0.
答案：0
●典例剖析
【例1】 解不等式2x+1+x－2＞4.
剖析：解帶絕對(duì)值的不等式，需先去絕對(duì)值，多個(gè)絕對(duì)值的不等式必須利用零點(diǎn)分段法去絕對(duì)值求解.令2x+1=0，x－2=0，得兩個(gè)零點(diǎn)x1=－ ，x2=2.
解：當(dāng)x≤－ 時(shí)，原不等式可化為
－2x－1+2－x＞4，
∴x＜－1.
當(dāng)－ ＜x≤2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+2－x＞4，
∴x＞1.又－ ＜x≤2，
∴1＜x≤2.
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+x－2＞4，∴x＞ .
又x＞2，∴x＞2.
綜上，得原不等式的解集為{xx＜－1或1＜x}.
深化拓展
若此題再多一個(gè)含絕對(duì)值式子.如：
2x+1+x－2+x－1＞4，你又如何去解？
分析：令2x+1=0，x－2=0，x－1=0，
得x1=－ ，x2=1，x3=2.
解：當(dāng)x≤－ 時(shí)，原不等式化為
�。�2x－1+2－x+1－x＞4，∴x＜－ .
當(dāng)－ ＜x≤1時(shí)，原不等式可化為
2x+1+2－x+1－x＞4，4＞4（矛盾）.
當(dāng)1＜x≤2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+2－x+x－1＞4，∴x＞1.
又1＜x≤2，
∴1＜x≤2.
當(dāng)x＞2時(shí)，原不等式可化為
2x+1+x－2+x－1＞4，∴x＞ .
又x＞2，∴x＞2.
綜上所述，原不等式的解集為{xx＜－ 或x＞1}.
【例2】 解不等式｜x2－9｜≤x＋3.
剖析：需先去絕對(duì)值，可按定義去絕對(duì)值，也可利用x≤a －a≤x≤a去絕對(duì)值.
解法一：原不等式 （1） 或（2）
不等式（1） x＝－3或3≤x≤4；
不等式（2） 2≤x＜3.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
解法二：原不等式等價(jià)于
或x≥2 x=－3或2≤x≤4.
∴原不等式的解集是｛x｜2≤x≤4或x＝－3｝.
【例3】 （理）已知函數(shù)f（x）=xx－a（a∈R）.
�。�1）判斷f（x）的奇偶性；
�。�2）解關(guān)于x的不等式：f（x）≥2a2.
解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，
f（－x）=－x－x=－xx=－f（x），
∴f（x）是奇函數(shù).
當(dāng)a≠0時(shí)，f（a）=0且f（－a）=－2aa.
故f（－a）≠f（a）且f（－a）≠－f（a）.
∴f（x）是非奇非偶函數(shù).
（2）由題設(shè)知xx－a≥2a2，
∴原不等式等價(jià)于 ①
或 ②
由①得 x∈ .
由②得
當(dāng)a=0時(shí)，x≥0.
當(dāng)a＞0時(shí)，
∴x≥2a.
當(dāng)a＜0時(shí)，
即x≥－a.
綜上
a≥0時(shí)，f（x）≥2a2的解集為{xx≥2a}；
a＜0時(shí)，f（x）≥2a2的解集為{xx≥－a}.
（）設(shè)函數(shù)f（x）=ax+2，不等式 f（x）＜6的解集為（－1，2），試求不等式 ≤1的解集.
解：ax+2＜6，
∴（ax+2）2＜36，
即a2x2+4ax－32＜0.
由題設(shè)可得
解得a=－4.
∴f（x）=－4x+2.
由 ≤1，即 ≤1可得 ≥0.
解得x＞ 或x≤ .
∴原不等式的解集為{xx＞ 或x≤ }.
●闖關(guān)訓(xùn)練
夯實(shí)基礎(chǔ)
1.已知集合A={xa－1≤x≤a+2}，B={x3＜x＜5}，則能使A B成立的實(shí)數(shù)a的取值范圍是
A.{a3＜a≤4}B.{a3≤a≤4}
C.{a3＜a＜4}D.
解析：由題意知 得3≤a≤4.
答案：B
2.不等式x2+2x＜3的解集為____________.
解析：－3＜x2+2x＜3，即
∴－3＜x＜1.
答案：－3＜x＜1
3.不等式x+2≥x的解集是____________.
解法一：x+2≥x （x+2）2≥x2 4x+4≥0 x≥－1.
解法二： 在同一直角坐標(biāo)系下作出f（x）=x+2與g（x）=x的圖象，根據(jù)圖象可得x≥－1.
解法三：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，不等式x+2≥x表示數(shù)軸上x到－2的距離不小于到0的距離，∴x≥－1.
答案：{xx≥－1}
評(píng)述：本題的三種解法均為解絕對(duì)值不等式的基本方法，必須掌握.
4.當(dāng)0＜a＜1時(shí)，解關(guān)于x的不等式a ＜ax－2.
解：由0＜a＜1，原不等式可化為 ＞x－2.
這個(gè)不等式的解集是下面不等式組①及②的解集的并集. ①
或 ②
解不等式組①得解集為{x ≤x＜2}，
解不等式組②得解集為{x2≤x＜5}，
所以原不等式的解集為{x ≤x＜5}.
5.關(guān)于x的方程3x2－6（m－1）x+m2+1=0的兩實(shí)根為x1、x2，若x1+x2=2，求m的值.
解：x1、x2為方程兩實(shí)根，
∴Δ=36（m－1）2－12（m2+1）≥0.
∴m≥ 或m≤ .
又∵x1x2= ＞0，∴x1、x2同號(hào).
∴x1+x2=x1+x2=2m－1.
于是有2m－1=2，∴m=0或2.
∴m=0.
培養(yǎng)能力
6.解不等式 ≤ .
解：（1）當(dāng)x2－2＜0且x≠0，即當(dāng)－ ＜x＜ 且x≠0時(shí)，原不等式顯然成立．
（2）當(dāng)x2－2＞0時(shí)，原不等式與不等式組 等價(jià)．
x2－2≥｜x｜，即｜x｜2－｜x｜－2≥0.
∴｜x｜≥2.∴不等式組的解為｜x｜≥2，
即x≤－2或x≥2．
∴原不等式的解集為（－∞，－2］∪（－ ，0）∪（0， ）∪［2，＋∞）．
7.已知函數(shù)f（x）= 的定義域恰為不等式log2（x+3）+log x≤3的解集，且f（x）在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
解：由log2（x+3）+log x≤3得
x≥ ，
即f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）.
∵f（x）在定義域［ ，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x2＞x1≥ 時(shí)，f（x1）－f（x2）＞0恒成立，即有（ax1－ +2）－（ax2－ +2）＞0 a（x1－x2）－（ － ）＞0
（x1－x2）（a+ ）＞0恒成立.
∵x1＜x2，∴（x1－x2）（a+ ）＞0
a+ ＜0.
∵x1x2＞ － ＞－ ，
要使a＜－ 恒成立，
則a的取值范圍是a≤－ .
8.有點(diǎn)難度喲！
已知f（x）=x2－x+c定義在區(qū)間［0，1］上，x1、x2∈［0，1］，且x1≠x2，求證：
�。�1）f（0）=f（1）；
�。�2） f（x2）－f（x1）＜x1－x2；
�。�3） f（x1）－f（x2）＜ ；
（4） f（x1）－f（x2）≤ .
證明：（1）f（0）=c，f（1）=c，
∴f（0）=f（1）.
�。�2） f（x2）－f（x1）=x2－x1x2+x1－1.
∵0≤x1≤1，∴0≤x2≤1，0＜x1+x2＜2（x1≠x2）.
∴－1＜x1+x2－1＜1.
∴ f（x2）－f（x1）＜x2－x1.
（3）不妨設(shè)x2＞x1，由（2）知
f（x2）－f（x1）＜x2－x1.①
而由f（0）=f（1），從而
f（x2）－f（x1）= f（x2）－f（1）+f（0）－f（x1）≤ f（x2）－f（1）+ f（0）－
f（x1）＜1－x2+x1＜1－x2+x1.②
�、�+②得2 f（x2）－f（x1）＜1，
即 f（x2）－f（x1）＜ .
�。�4）f（x2）－f（x1）≤fmax－fmin=f（0）－f（ ）= .
探究創(chuàng)新
9.（1）已知a＜1，b＜1，求證： ＞1；
�。�2）求實(shí)數(shù)λ的取值范圍，使不等式 ＞1對(duì)滿足a＜1，b＜1的一切實(shí)數(shù)a、b恒成立；
（3）已知a＜1，若 ＜1，求b的取值范圍.
�。�1）證明：1－ab2－a－b2=1+a2b2－a2－b2=（a2－1）（b2－1）.
∵a＜1，b＜1，∴a2－1＜0，b2－1＜0.
∴1－ab2－a－b2＞0.
∴1－ab＞a－b，
= ＞1.
�。�2）解：∵ ＞1 1－abλ2－aλ－b2=（a2λ2－1）（b2－1）＞0.
∵b2＜1，∴a2λ2－1＜0對(duì)于任意滿足a＜1的a恒成立.
當(dāng)a=0時(shí)，a2λ2－1＜0成立；
當(dāng)a≠0時(shí)，要使λ2＜ 對(duì)于任意滿足a＜1的a恒成立，而 ＞1，
∴λ≤1.故－1≤λ≤1.
�。�3） ＜1 （ ）2＜1 （a+b）2＜（1+ab）2 a2+b2－1－a2b2＜0 （a2－1）（b2－1）＜0.
∵a＜1，∴a2＜1.∴1－b2＞0，即－1＜b＜1.
●思悟小結(jié)
1.解含有絕對(duì)值的不等式的指導(dǎo)思想是去掉絕對(duì)值.常用的方法是：（1）由定義分段討論；（2）利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)；（3）平方.
2.解含參數(shù)的不等式，如果轉(zhuǎn)化不等式的形式或求不等式的解集時(shí)與參數(shù)的取值范圍有關(guān)，就必須分類討論.注意：（1）要考慮參數(shù)的總?cè)≈捣秶?（2）用同一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)參數(shù)進(jìn)行劃分，做到不重不漏.
●教師下載中心
教學(xué)點(diǎn)睛
1.絕對(duì)值是歷年高考的重點(diǎn)，而絕對(duì)值不等式更是�？汲Ｐ�.在教學(xué)中要從絕對(duì)值的定義和幾何意義分析，絕對(duì)值的特點(diǎn)是帶有絕對(duì)值符號(hào)，如何去掉絕對(duì)值符號(hào)，一定要教給學(xué)生方法，切不可以題論題.
2.無(wú)理不等式在新程書本并未出現(xiàn)，但可以利用不等式的性質(zhì)把其等價(jià)轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式.
3.指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式能利用單調(diào)性求解.
拓展題例
【例1】 設(shè)x1、x2、y1、y2是實(shí)數(shù)，且滿足x12+x22≤1，證明不等式（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
分析：要證原不等式成立，也就是證（x1y1+x2y2－1）2－（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0.
證明：（1）當(dāng)x12+x22=1時(shí)，原不等式成立.
�。�2）當(dāng)x12+x22＜1時(shí)，聯(lián)想根的判別式，可構(gòu)造函數(shù)f（x）=（x12+x22－1）x－2（x1y1+x2y2－1）x+（y12+y22－1），其根的判別式Δ=4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
由題意x12+x22＜1，函數(shù)f（x）的圖象開口向下.
又∵f（1）=x12+x22－2x1y1－2x2y2+y12+y22=（x1－y1）2+（x2－y2）2≥0，
因此拋物線與x軸必有公共點(diǎn).
∴Δ≥0.
∴4（x1y1+x2y2－1）2－4（x12+x22－1）（y12+y22－1）≥0，
即（x1y1+x2y2－1）2≥（x12+x22－1）（y12+y22－1）.
2016屆高考數(shù)學(xué)備考復(fù)習(xí)：函數(shù)與方程思想
j.Co M
專題七：思想方法專題
第一講 函數(shù)與方程思想
【思想方法詮釋】
函數(shù)與方程都是中學(xué)數(shù)學(xué)中最為重要的內(nèi)容。而函數(shù)與方程思想更是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種基本思想，幾乎滲透到中學(xué)數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，在解題中有著廣泛的應(yīng)用，是歷年來(lái)高考考查的重點(diǎn)。
1．函數(shù)的思想
函數(shù)的思想，是用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，分析和研究數(shù)學(xué)中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用函 數(shù)的圖象和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。函數(shù)思想是對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用函數(shù)知識(shí)或函數(shù)觀點(diǎn)觀察、分析和解決問(wèn)題。經(jīng)常利用的性質(zhì)是單調(diào)性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、圖象變換等。
2．方程的思想
方程的思想，就是分析數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量間的等量關(guān)系，建立方程或方程組，或者構(gòu)造方程，通過(guò)解方程或方程組，或者運(yùn)用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問(wèn)題，使問(wèn)題獲得解決。方程的是對(duì)方程概念的本質(zhì)認(rèn)識(shí)，用于指導(dǎo)解題就是善于利用方程或方程組的觀點(diǎn)觀察處理問(wèn)題，方程思想是動(dòng)中求靜，研究運(yùn)動(dòng)中的等量關(guān)系。
3．函數(shù)思想與方程思想的聯(lián)系
函數(shù)思想與方程思想是密切相關(guān)的，如函數(shù)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題來(lái)龍去脈解決；方程問(wèn)題也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題加以解決，如解方程f(x)=0，就是求函數(shù)y=f(x)的 零點(diǎn)，解不等式f(x)>0(或f(x)<0)，就是求函數(shù)y=f(x)的正負(fù)區(qū)間，再如方程f(x)=g(x)的交點(diǎn)問(wèn)題，也可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=f(x)-g(x)與x軸交點(diǎn)問(wèn)題，方程f(x)=a有解，當(dāng)且公當(dāng)a屬于函數(shù)f(x)的值域，函數(shù)與方程的這種相互轉(zhuǎn)化關(guān)系十分重要。
4．函數(shù)與方程思想解決的相關(guān)問(wèn)題
（1）函數(shù) 思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面：
�、俳柚嘘P(guān)初等函數(shù)的性質(zhì)，解有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；
②在問(wèn)題研究中通過(guò)建立函數(shù)關(guān)系式或構(gòu)造中間函數(shù)；把研究的問(wèn)題化為討論函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，達(dá)到化難為易，化繁為簡(jiǎn)的目的。
�。�2）方程思想在解題中的應(yīng)用主要表現(xiàn)在四個(gè)方面：
�、俳夥匠袒蚪獠坏仁�；
�、趲⒆償�(shù)的方程 或不等式的討論，常涉及一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、區(qū)間根、區(qū)間上恒成立等知識(shí)應(yīng)用；
�、坌枰D(zhuǎn)化為方程的討論，如曲線的位置關(guān)系；
�、軜�(gòu)造方程或不等式求解問(wèn)題。
【核心要點(diǎn)突破】
要點(diǎn)考向1：運(yùn)用函數(shù)與方程的思想解決字母或式子的求值或取值范圍問(wèn)題
例1：若a、b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3，求ab的取值范圍。
思路精析：用a表示b→根據(jù)b＞0，求a的范圍→把a(bǔ)b看作a的函數(shù)→求此函數(shù)的值域。
解析：方法一：（看成函數(shù)的值域）
即a＞1或a＜-3.又a＞0,∴a＞1,故a-1＞0。
當(dāng)且僅當(dāng)a-1= ，即a=3時(shí)取等號(hào).
又a＞3時(shí), a-1+ +5是關(guān)于a的單調(diào)增函數(shù),
∴ab的取值范圍是[9,+∞).
方法二(看成不等式的解集)
∵a,b為正數(shù), ∴a+b≥2 ,又ab= a+b+3, ∴ab≥2 +3.
即
解得
方法三:若設(shè)ab=t,則a+b=t-3, ∴a,b可看成方程 的兩個(gè) 正根.
從而有 ,即
解得t≥9,即ab≥9.
注(1)求字母(或式子)的值問(wèn)題往往要根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建以待求字母(式子)為元的方程 (組),然后由方程 (組)求得.
(2)求參數(shù)的取值范圍是函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列、解析幾何等知識(shí)中的重要問(wèn)題。解決這類問(wèn)題一般有兩條途徑，其一，充分挖掘題設(shè)條件中的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求字母為元的不等式（組）求解；其二，充分應(yīng)用題設(shè)是的等量關(guān)系，將待求參數(shù)表示成其他變量的函數(shù)，然后，應(yīng)用函數(shù)知識(shí)求值域.
(3)當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)兩數(shù)積與這兩數(shù)和時(shí)，是構(gòu)建一元二次方程的明顯信號(hào)，構(gòu)造方程后再利用方程知識(shí)可使問(wèn)題巧妙解決.
(4)當(dāng)問(wèn)題中出現(xiàn)多個(gè)變量時(shí),往往要利用等量關(guān)系去減少變量的個(gè)數(shù),如最后能把其中一個(gè)變量表示成關(guān)于另一個(gè)變量的表達(dá)式,那么就可用研究函數(shù)的方法將問(wèn)題解決.
要點(diǎn)考向2：運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決方程問(wèn)題
例2：已知函數(shù) 或 與 的圖象在 內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)，試求 的取值范圍。
思路精析：化簡(jiǎn) 的解析式→令 = →分離 →求函數(shù)的值域→確定 的范圍
解析：
與 的圖象在 內(nèi)至少有一個(gè)公共點(diǎn)，即 有解，即令 = ，
當(dāng)且僅當(dāng) ，即cosx=0時(shí)“=”成立。
∴當(dāng)a≥2時(shí)， 與 所組成的方程組在 內(nèi)有解，即 與 的圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)。
注：（1）本例中把兩函數(shù)圖象至少有一個(gè)公共點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程有解問(wèn)題．即把函數(shù)問(wèn)題用方程的思想去解決．
（2）與本例相反的一類問(wèn)題是已知方程的解的情問(wèn)題，求參數(shù)的取值范圍．研究此類含參數(shù)的三角、指數(shù)、對(duì)數(shù)等復(fù)雜方程解的問(wèn)題的，通常有兩種處理思路：一是分離參數(shù)構(gòu)建函數(shù)，將方程有解轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域；二是換元，將復(fù)雜方程問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的二次方程；進(jìn)而利用二次方程解的分布情況構(gòu)建不等式（組）或構(gòu)造函數(shù)加以解決．
要點(diǎn)考向3：運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決不等式問(wèn)題
例3： （1）已知 且 那么（）
�。�2）設(shè)不等式 對(duì)滿足m∈[-2，2]的一切實(shí)數(shù) m都成立，求x的取值范圍．
思路精析：（1）先把它變成等價(jià)形式 再構(gòu)造輔助函數(shù) 利用函數(shù)單調(diào)性比較．
�。�2）此問(wèn)題常因?yàn)樗季S定勢(shì)，易把它看成關(guān)于x的不等式討論，若變換一個(gè)角度，以m為變量，使f(m)= ，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常函數(shù)）f(m)的值在[-2，2]內(nèi)恒負(fù)時(shí)，參數(shù)x應(yīng)滿足的條件．
解析：（1）選B．設(shè) 因?yàn)?均為R上的增函數(shù)，所以 是R上的增函數(shù)．又由 ，即 ，即x+y＞0．
(2)設(shè)f(m)= ，則不等式2x-1＞m 恒成立 恒成立．∴在 時(shí)，
即
解得 ，
故x的取值范圍是 ．
注：1．在解決值的大小比較問(wèn)題時(shí)，通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性或圖象解決是一種重要思想方法；
2．在解決不等式恒成立問(wèn)題時(shí)，一種最重要的思想方法就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)利用函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問(wèn)題．同時(shí)要注意在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問(wèn)題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問(wèn)題更明朗化，一般地，已知存在范圍的量為變量而待求范圍的量為參數(shù)．
要點(diǎn)考向3：運(yùn)用函數(shù)與方程思想解決最優(yōu)化問(wèn)題
例4：圖1是某種稱為“凹槽”的機(jī)械部件的示意圖，圖2是凹槽的橫截面（陰影部分）示意圖，其中四邊形ABCD是矩形，弧CmD是半圓，凹槽的橫截面的周長(zhǎng)為4.已知凹槽的強(qiáng)度與橫截面的面積成正比，比例系數(shù)為 ,設(shè)AB=2x,BC=y.
�。á瘢⿲懗鰕關(guān)于x函數(shù)表達(dá)式，并指出x的取值范圍；
（Ⅱ）求當(dāng)x取何值時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.
解析：（Ⅰ）易知半圓CmD的半徑為x，故半圓CmD的弧長(zhǎng)為 .
所以 ，
得 ----------------------4分
依題意知： 得
所以， （ ）. ----------------------6分
�。á颍┮李}意，設(shè)凹槽的強(qiáng)度為T，橫截面的面積為S，則有
----------------------8分
. ----------------------11分
因?yàn)?,
所以，當(dāng) 時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大.
答: 當(dāng) 時(shí)，凹槽的強(qiáng)度最大. -- ------------13分
注：解析幾何、立體幾何及實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的最優(yōu)化問(wèn)題，一般是利用函數(shù)的思想解決，思路是先選擇恰當(dāng)?shù)淖兞拷⒛繕?biāo)函數(shù)，然后再利用有關(guān)知識(shí)，求函數(shù)的最值。
【跟蹤模擬訓(xùn)練】
一、選擇題（每小題6分，共36分）
1.已知正數(shù)x,y滿足xy=x+9y+7，則xy的最小值為( )
(A)32(B)43(C)49(D)60
2．方程 有解，則m的最大值為（ ）
(A)1(B)0(C)-1(D)-2
3.一個(gè)高為h0，滿缸水量為V0的魚缸的
軸截面如圖所示，其底部有一個(gè)小洞，
滿缸水從洞中流出，當(dāng)魚缸口高出水面
的高度為h時(shí)，魚缸內(nèi)剩余水的體積為V,
則函數(shù)V=f(h)的大致圖象可能是（ ）
4.對(duì)任意a∈［-1,1］，函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值總大于零，則x的取值范圍是( )
(A)1<x<3
(B)x<1或x>3
(C)1<x<2
(D)x<1或x>2
5.若正實(shí)數(shù)a,b滿足ab=ba，且a<1,則有( )
(A)a>b(B)a<b
(C)a=b(D)不能確定a,b的大小
6．已知圓 上任意一點(diǎn)P(x,y)都使不等式 恒成立，則m的取值范圍是（ ）
二、填空題（每小題6分，共18分）
7． 的定義域和值域都是[1，k]，則k=
8．已知數(shù)列 中， ，若數(shù)列的前30項(xiàng)中最大項(xiàng)是 ，最小項(xiàng)是 ，則m= ,n=
9.設(shè)f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)?g(x)+f(x)g′(x)>0,且g(-3)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是______.
三、解答題(10、11題每題15分，12題16分，共46分)
10.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù)，且a≠0)滿足條件:f(x-1)=f(3-x)且方程f(x)=2x有相等實(shí)根.
(1)求函數(shù)f( x)的解析式;
(2)是否存在實(shí)數(shù)m,n(m<n)，使f(x)的定義域和值域分別為［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m,n的值，如果不存在，說(shuō)明理由.
11.某地區(qū)要在如圖所示的一塊不規(guī)則用地規(guī)劃建成一個(gè)矩形商業(yè)樓區(qū)，余下的作為休閑區(qū)，已知AB⊥BC,OA∥BC，且AB=BC=2OA=4 km，曲線OC段是以O(shè)為頂點(diǎn)且開口向上的拋物線的一段，如果矩形的兩邊分別落在AB、BC上，且一個(gè)頂點(diǎn)在曲線OC段上，應(yīng)當(dāng)如何規(guī)劃才能使矩形商業(yè)樓區(qū)的用地面積最大？并求出最大的用地面積.
12．設(shè) 的極小值為-8，其導(dǎo)數(shù) 的圖象經(jīng)過(guò)（-2，0）， 兩點(diǎn)，如圖所示．
�。�1）求f(x)的解析式；
（2）若對(duì)x∈[-3，3]，都有 恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
參考答案
1．
2．
3．【解析】選A.設(shè)魚缸底面積為S,則V=f(h)=Sh0-Sh，故V=f(h)是一次函數(shù)且是減函數(shù).
4．【解析】選B.由f(x)=x2+(a-4)x+4-2a>0得
a(x-2)+x2-4x+4>0，
令g(a)=a(x-2)+x2-4x+4，
由不等式f(x)>0恒成立,
即g(a)>0在［-1,1］上恒成立.
5．
6．
7．
8．
9．【解析】令F(x)=f(x)g(x)，由f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，得F(x)是奇函數(shù).
又當(dāng)x<0時(shí)，f′(x)=f′（x）g(x)+f(x)g′(x)>0，
∴x<0時(shí)，F(xiàn)(x)為增函數(shù).
又F(x)為奇函數(shù)，故F(x)在［0，+∞）也是增函數(shù).
∵F(-3)=f(-3)g(-3)
=0=-F(3)，
∴F(x)<0的解集是
(-∞,-3)∪(0,3)，
如圖.
答案：（-∞,-3）∪（0，3）
10．【解析】(1)∵方程ax2+bx-2x=0有相等實(shí)根,
∴Δ=(b-2)2=0,得b=2,由f(x-1)=f(3-x)知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸
方程為x= =1,
得a=-1.故f(x)=-x2+2x.
11．【解析】以點(diǎn)O為原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
設(shè)拋物線的方程為x2=2py，
由C(2,4)代入得:p= ，
所以曲線段OC的方程為:y=x2(x∈［0,2］).
A(-2,0)，B(-2,4),設(shè)P(x,x2)(x∈［0,2］)，
過(guò)P作PQ⊥AB于Q，PN⊥BC于N,
故PQ=2+x,PN=4-x2，
則矩形商業(yè)樓區(qū)的面積S=(2+x)(4-x2)(x∈［0,2］).
S=-x3-2x2+4x+8，
12．
【備課資源】
1.已知拋物線y2=4x上一點(diǎn)A(x0,y0)，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，若y0∈［1,2］，則AF的范圍是( )
(A)［ ,1］(B)［ ,2］(C)［1,2］(D)［2，3］
【解析】選B.拋物線準(zhǔn)線方程為x=-1,則AF=x0+1,
4.已知命題p：“對(duì) x∈R， m∈R，使4x+2xm+1=0”，若命題 p是假命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( )
(A)-2≤m≤2(B)m≥2
(C)m≤-2(D)m≤-2或m≥2
【解析】選C. 由已知：命題p為真命題,
即方程4x+2xm+1=0有解,
∴-m=2x+2-x≥2，即m≤-2.
6.已知函數(shù)f(x)=ln(2x)和g(x)=2ln(2x+m-2)，m∈R的圖象在x=2處的切線互相平行.
(1)求m的值；
(2)設(shè)F(x)=g(x)-f(x).當(dāng)x∈［1,4］時(shí),F(x)≥2tln4恒成立,求t的取值范圍.
所以當(dāng)1≤x<2時(shí)，G′(x)<0，
當(dāng)20.
故G(x)在［1,2)是單調(diào)減函數(shù),在(2,4］是單調(diào)增函數(shù).
所以G(x)min=G(2)=16，G(x)max=G(1)=G(4)=18.
因?yàn)楫?dāng)x∈［1,4］時(shí)，F(xiàn)(x)≥2tln4恒成立,
所以F(x)min ≥2tln4.
即ln16≥2tln4，
解得t≤1.
綜上所述,滿足條件的t的取值范圍是(-∞,1］.
7.國(guó)際上鉆石的重量計(jì)量單位為克拉.已知某種鉆石的價(jià)值v（美元）與其重量ω（克拉）的平方成正比，且一顆重為3克拉的該種鉆石的價(jià)值為54 000美元.
�。�1）寫出v關(guān)于ω的函數(shù)關(guān)系式；
�。�2）若把一顆鉆石切割成重量比為1∶3的兩顆鉆石，求價(jià)值損失的百分率；
（3）試用你所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)證明：把一顆鉆石切割成兩顆鉆石時(shí)，按重量比為1∶1切割，價(jià)值損失的百分率最大.
【解析】（1）依題意設(shè)v=kω2,
又當(dāng)ω=3時(shí)，v=54 000，∴k=6 000.
故v=6 000 ω2.
2016屆高考數(shù)學(xué)三角函數(shù)知識(shí)導(dǎo)航復(fù)習(xí)教案
M
第五章 三角函數(shù)
高考導(dǎo)航
考試要求重難點(diǎn)擊命題展望
1.了解任意角的概念和弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化.
2.理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義.
3.能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 ，π±α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式，能畫出y＝sin x， y＝cos x ， y＝tan x的圖象，了解三角函數(shù)的周期性.
4.理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π]上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大值和最小值、圖象與x軸的交點(diǎn)等)，理解正切函數(shù)在(－ , )上的單調(diào)性.
5.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x＋cos2x＝1 ， ＝tan x.
6.了解函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的物理意義，能畫出函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，了解參數(shù)A，ω，φ對(duì)函數(shù)圖象變化的影響.
7.會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.
8.會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式，會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系，能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶).
9.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題，能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題.本章重點(diǎn)：1.角的推廣，三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式的運(yùn)用；2.三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，y＝Asin(ωx＋)
(ω＞0)的性質(zhì)、圖象及變換；3.用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題；4.以和、差、倍角公式為依據(jù)，提高推理、運(yùn)算能力；5.正、余弦定理及應(yīng)用.
本章難點(diǎn)：1.任意角的三角函數(shù)的幾何表示，圖象變換與函數(shù)解析式變換的內(nèi)在聯(lián)系；2.靈活運(yùn)用三角公式化簡(jiǎn)、求值、證明； 3.三角函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判斷，最值的求法；4.探索兩角差的余弦公式；5.把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題. 三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模型.三角函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)是高考數(shù)學(xué)必考的基礎(chǔ)知識(shí)之一.在高考中主要考查對(duì)三角函數(shù)概念的理解；運(yùn)用函數(shù)公式進(jìn)行恒等變形、化簡(jiǎn)、求值、證明三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及圖象變換、作圖、識(shí)圖等.解三角形的問(wèn)題往往與其他知識(shí)(如立體幾何、解析幾何、向量等)相聯(lián)系，考查考生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，體現(xiàn)以能力立意的高考命題原則.
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
5.1 任意角的三角函數(shù)的概念
典例精析
題型一 象限角與終邊相同的角
【例1】若α是第二象限角，試分別確定2α、 的終邊所在的象限.
【解析】因?yàn)棣潦堑诙笙藿牵?/p>
所以k 360°＋90°＜α＜k 360°＋180°(k∈Z).
因?yàn)?k 360°＋180°＜2α＜2k 360°＋360°(k∈Z)，故2α是第三或第四象限角，或角的終邊在y軸的負(fù)半軸上.
因?yàn)閗 180°＋45°＜α2＜k 180°＋90°(k∈Z)，
當(dāng)k＝2n(n∈Z)時(shí)，n 360°＋45°＜α2＜n 360°＋90°，
當(dāng)k＝2n＋1(n∈Z)時(shí)，n 360°＋225°＜α2＜n 360°＋270°.
所以α2是第一或第三象限角.
【點(diǎn)撥】已知角α所在象限，應(yīng)熟練地確定α2所在象限.
如果用α1、α2、α3、α4分別表示第一、二、三、四象限角，則α12、α22、α32、α42分布如圖，即第一象限角的半角是第一或第三象限角(其余略)，熟記右圖，解有關(guān)問(wèn)題就方便多了.
【變式訓(xùn)練1】若角2α的終邊在x軸上方，那么角α是( )
A.第一象限角 B.第一或第二象限角
C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角
【解析】由題意2kπ＜2α＜2kπ＋π，k∈Z，
得kπ＜α＜kπ＋π2，k∈Z.
當(dāng)k是奇數(shù)時(shí)，α是第三象限角.
當(dāng)k是偶數(shù)時(shí)，α是第一象限角.故選C.
題型二 弧長(zhǎng)公式，面積公式的應(yīng)用
【例2】已知一扇形的中心角是α，所在圓的半徑是R.
(1)若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧長(zhǎng)及該弧所在的弓形的面積；
(2)若扇形的周長(zhǎng)是一定值C(C＞0)，當(dāng)α為多少弧度時(shí)，該扇形的面積有最大值？并求出這個(gè)最大值.
【解析】(1)設(shè)弧長(zhǎng)為l，弓形面積為S弓，
因?yàn)棣粒?0°＝π3，R＝10 cm，所以l＝10π3 cm，
S弓＝S扇－SΔ＝12×10×10π3－12×102×sin 60°＝50(π3－32) cm2.
(2)因?yàn)镃＝2R＋l＝2R＋αR，所以R＝C2＋α，
S扇＝12αR2＝12α(C2＋α)2＝C22 αα2＋4α＋4＝C22 1α＋4α＋4≤C216，
當(dāng)且僅當(dāng)α＝4α?xí)r，即α＝2(α＝－2舍去)時(shí)，扇形的面積有最大值為C216.
【點(diǎn)撥】用弧長(zhǎng)公式l＝ α R與扇形面積公式S＝12lR＝12R2α?xí)r，α的單位必須是弧度.
【變式訓(xùn)練2】已知一扇形的面積為定值S，當(dāng)圓心角α為多少弧度時(shí)，該扇形的周長(zhǎng)C有最小值？并求出最小值.
【解析】因?yàn)镾＝12Rl，所以Rl＝2S，
所以周長(zhǎng)C＝l＋2R≥22Rl＝24S＝4S，
當(dāng)且僅當(dāng)l＝2R時(shí)，C＝4S，
所以當(dāng)α＝lR＝2時(shí)，周長(zhǎng)C有最小值4S.
題型三 三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)線的應(yīng)用
【例3】(1)已知角α的終邊與函數(shù)y＝2x的圖象重合，求sin α；(2)求滿足sin x≤32的角x的集合.
【解析】(1)由 ?交點(diǎn)為(－55，－255)或(55，255)，
所以sin α＝±255.
(2)①找終邊：在y軸正半軸上找出點(diǎn)(0，32)，過(guò)該點(diǎn)作平行于x軸的平行線與單位圓分別交于P1、P2兩點(diǎn)，連接OP1、OP2，則為角x的終邊，并寫出對(duì)應(yīng)的角.
②畫區(qū)域：畫出角x的終邊所在位置的陰影部分.
�、蹖懠希核蠼莤的集合是{x2kπ－4π3≤x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
【點(diǎn)撥】三角函數(shù)是用角α的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)定義的，因此，用定義求值，轉(zhuǎn)化為求交點(diǎn)的問(wèn)題.利用三角函數(shù)線證某些不等式或解某些三角不等式更簡(jiǎn)潔、直觀.
【變式訓(xùn)練3】函數(shù)y＝lg sin x＋cos x－12的定義域?yàn)? .
【解析】
?2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z.
所以函數(shù)的定義域?yàn)閧x2kπ＜x≤2kπ＋π3，k∈Z}.
總結(jié)提高
1.確定一個(gè)角的象限位置，不僅要看角的三角函數(shù)值的符號(hào)，還要考慮它的函數(shù)值的大小.
2.在同一個(gè)式子中所采用的量角制度必須相一致，防止出現(xiàn)諸如k?360°＋π3的錯(cuò)誤書寫.
3.三角函數(shù)線具有較好的幾何直觀性，是研究和理解三角函數(shù)的一把鑰匙.
5.2 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式
典例精析
題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)問(wèn)題
【點(diǎn)撥】運(yùn)用誘導(dǎo)公式的關(guān)鍵是符號(hào)，前提是將α視為銳角后，再判斷所求角的象限.
【變式訓(xùn)練1】已知f(x)＝1－x，θ∈(3π4，π)，則f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝ .
【解析】f(sin 2θ)＋f(－sin 2θ)＝1－sin 2θ＋1＋sin 2θ＝(sin θ－cos θ)2＋(sin θ＋cos θ)2＝sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ.
因?yàn)棣取?3π4，π)，所以sin θ－cos θ＞0，sin θ＋cos θ＜0.
所以sin θ－cos θ＋sin θ＋cos θ＝sin θ－cos θ－sin θ－cos θ＝－2cos θ.
題型二 三角函數(shù)式的求值問(wèn)題
【例2】已知向量a＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b＝(1,2).
(1)若a∥b，求tan θ的值；
(2)若a＝b，0＜θ＜π，求 θ的值.
【解析】(1)因?yàn)閍∥b，所以2sin θ＝cos θ－2sin θ，
于是4sin θ＝cos θ，故tan θ＝14.
(2)由a＝b知，sin2θ＋(cos θ－2sin θ)2＝5，
所以1－2sin 2θ＋4sin2θ＝5.
從而－2sin 2θ＋2(1－cos 2θ)＝4，即sin 2θ＋cos 2θ＝－1，
于是sin(2θ＋π4)＝－22.
又由0＜θ＜π知，π4＜2θ＋π4＜9π4，
所以2θ＋π4＝5π4或2θ＋π4＝7π4.
因此θ＝π2或θ＝3π4.
【變式訓(xùn)練2】已知tan α＝12，則2sin αcos α＋cos2α等于( )
A.45 B.85 C.65 D.2
【解析】原式＝2sin αcos α＋cos2αsin2α＋cos2α＝2tan α＋11＋tan2α＝85.故選B.
題型三 三角函數(shù)式的簡(jiǎn)單應(yīng)用問(wèn)題
【例3】已知－π2＜x＜0且sin x＋cos x＝15，求：
(1)sin x－cos x的值；
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)的值.
【解析】(1)由已知得2sin xcos x＝－2425，且sin x＜0＜cos x，
所以sin x－cos x＝－(sin x－cos x)2＝－1－2sin xcos x＝－1＋2425＝－75.
(2)sin3(π2－x)＋cos3(π2＋x)＝cos3x－sin3x＝(cos x－sin x)(cos2x＋cos xsin x＋sin2x)
�。�75×(1－1225)＝91125.
【點(diǎn)撥】求形如sin x±cos x的值，一般先平方后利用基本關(guān)系式，再求sin x±cos x取值符號(hào).
【變式訓(xùn)練3】化簡(jiǎn)1－cos4α－sin4α1－cos6α－sin6α.
【解析】原式＝1－[(cos2α＋sin2α)2－2sin2αcos2α]1－[(cos2α＋sin2α)(cos4α＋sin4α－sin2αcos2α)]
�。�2sin2αcos2α1－[(cos2α＋sin2α)2－3sin2αcos2α]＝23.
總結(jié)提高
1.對(duì)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中“同角”的含義，只要是“同一個(gè)角”，那么基本關(guān)系式就成立，如：sin2(－2α)＋cos2(－2α)＝1是恒成立的.
2.誘導(dǎo)公式的重要作用在于：它揭示了終邊在不同象限且具有一定對(duì)稱關(guān)系的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系，從而可化負(fù)為正，化復(fù)雜為簡(jiǎn)單.
5.3 兩角和與差、二倍角的三角函數(shù)
典例精析
題型一 三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)
【例1】化簡(jiǎn) (0＜θ＜π).
【解析】因?yàn)?＜θ＜π，所以0＜θ2＜π2，
所以原式＝
�。� ＝－cos θ.
【點(diǎn)撥】先從角度統(tǒng)一入手，將θ化成θ2，然后再觀察結(jié)構(gòu)特征，如此題中sin2θ2－cos2θ2＝－cos θ.
【變式訓(xùn)練1】化簡(jiǎn)2cos4x－2cos2x＋122tan(π4－x)sin2(π4＋x).
【解析】原式＝12(2cos2x－1)22tan(π4－x)cos2(π4－x)＝cos22x4cos(π4－x)sin(π4－x)＝cos22x2sin(π2－2x)＝12cos 2x.
題型二 三角函數(shù)式的求值
【例2】已知sin x2－2cos x2＝0.
(1)求tan x的值；
(2)求cos 2x2cos(π4＋x)sin x的值.
【解析】(1)由sin x2－2cos x2＝0?tan x2＝2，所以tan x＝ ＝2×21－22＝－43.
(2)原式＝cos2x－sin2x2(22cos x－22sin x)sin x
�。�(cos x－sin x)(cos x＋sin x)(cos x－sin x)sin x＝cos x＋sin xsin x＝1tan x＋1＝(－34)＋1＝14.
【變式訓(xùn)練2】2cos 5°－sin 25°sin 65°＝ .
【解析】原式＝2cos(30°－25°)－sin 25°cos 25°＝3cos 25°cos 25°＝3.
題型三 已知三角函數(shù)值求解
【例3】已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.
【解析】因?yàn)閠an 2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan2(α－β)＝43，
所以tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan2(α－β)＋tan β1－tan 2(α－β)tan β＝1，
又tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13，
因?yàn)棣痢?0，π)，所以0＜α＜π4，
又π2＜β＜π，所以－π＜2α－β＜0，所以2α－β＝－3π4.
【點(diǎn)撥】由三角函數(shù)值求角時(shí)，要注意角度范圍，有時(shí)要根據(jù)三角函數(shù)值的符號(hào)和大小將角的范圍適當(dāng)縮小.
【變式訓(xùn)練3】若α與β是兩銳角，且sin(α＋β)＝2sin α，則α與β的大小關(guān)系是( )
A.α＝βB.α＜β
C.α＞β D.以上都有可能
【解析】方法一：因?yàn)?sin α＝sin(α＋β)≤1，所以sin α≤12，又α是銳角，所以α≤30°.
又當(dāng)α＝30°，β＝60°時(shí)符合題意，故選B.
方法二：因?yàn)?sin α＝sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＜sin α＋sin β，
所以sin α＜sin β.
又因?yàn)棣�、β是銳角，所以α＜β，故選B.
總結(jié)提高
1.兩角和與差的三角函數(shù)公式以及倍角公式等是三角函數(shù)恒等變形的主要工具.
(1)它能夠解答三類基本題型：求值題，化簡(jiǎn)題，證明題；
(2)對(duì)公式會(huì)“正用”、“逆用”、“變形使用”；
(3)掌握角的演變規(guī)律，如“2α＝(α＋β)＋(α－β)”等.
2.通過(guò)運(yùn)用公式，實(shí)現(xiàn)對(duì)函數(shù)式中角的形式、升冪、降冪、和與差、函數(shù)名稱的轉(zhuǎn)化，以達(dá)到求解的目的，在運(yùn)用公式時(shí)，注意公式成立的條件.
5.4 三角恒等變換
典例精析
題型一 三角函數(shù)的求值
【例1】已知0＜α＜π4，0＜β＜π4，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan α2＝1－tan2α2，求α＋β的值.
【解析】由4tan α2＝1－tan2α2，得tan α＝ ＝12.
由3sin β＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，
所以3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，
即2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝2tan α＝1.
又因?yàn)棣�、β�?0，π4)，所以α＋β＝π4.
【點(diǎn)撥】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的主要過(guò)程是三角變換，要善于抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系，找到解題的突破口與方向.
【變式訓(xùn)練1】如果tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )
A.1318 B.1322 C.723 D.318
【解析】因?yàn)棣粒?＝(α＋β)－(β－π4)，
所以tan(α＋π4)＝tan[(α＋β)－(β－π4)]＝tan(α＋β)－tan(β－π4)1＋tan(α＋β)tan(β－π4)＝723.
故選C.
題型二 等式的證明
【例2】求證：sin βsin α＝sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β).
【證明】證法一：
右邊＝sin [(α＋β)＋α]－2cos(α＋β)sin αsin α＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin αsin α
�。絪in [(α＋β)－α]sin α＝sin βsin α＝左邊.
證法二：sin(2α＋β)sin α－sin βsin α＝sin(2α＋β)－sin βsin α＝2cos(α＋β)sin αsin α＝2cos(α＋β)，
所以sin(2α＋β)sin α－2cos(α＋β)＝sin βsin α.
【點(diǎn)撥】證法一將2α＋β寫成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同運(yùn)算；證法二把握結(jié)構(gòu)特征，用“變更問(wèn)題法”證明，簡(jiǎn)捷而新穎.
【變式訓(xùn)練2】已知5sin α＝3sin(α－2β)，求證：tan(α－β)＋4tan β＝0.
【證明】因?yàn)?sin α＝3sin(α－2β)，所以5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，
所以5sin(α－β)cos β＋5cos(α－β)sin β＝3sin(α－β)cos β－3cos(α－β)sin β，
所以2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.
即tan(α－β)＋4tan β＝0.
題型三 三角恒等變換的應(yīng)用
【例3】已知△ABC是非直角三角形.
(1)求證：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；
(2)若A＞B且tan A＝－2tan B，求證：tan C＝sin 2B3－cos 2B；
(3)在(2)的條件下，求tan C的最大值.
【解析】(1)因?yàn)镃＝π－(A＋B)，
所以tan C＝－tan(A＋B)＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B，
所以tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，
即tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.
(2)由(1)知tan C＝－(tan A＋tan B)1－tan Atan B＝tan B1＋2tan2B＝sin Bcos Bcos2B＋2sin2B＝
＝sin 2B2(2－1＋cos 2B2)＝sin 2B3－cos 2B.
(3)由(2)知tan C＝tan B1＋2tan2B＝12tan B＋1tan B≤122＝24，
當(dāng)且僅當(dāng)2tan B＝1tan B，即tan B＝22時(shí)，等號(hào)成立.
所以tan C的最大值為24.
【點(diǎn)撥】熟練掌握三角變換公式并靈活地運(yùn)用來(lái)解決與三角形有關(guān)的問(wèn)題，要有較明確的目標(biāo)意識(shí).
【變式訓(xùn)練3】在△ABC中，tan B＋tan C＋3tan Btan C＝3，3tan A＋3tan B＋1＝tan Atan B，試判斷△ABC的形狀.
【解析】由已知得tan B＋tan C＝3(1－tan Btan C)，
3(tan A＋tan B)＝－(1－tan Atan B)，
即tan B＋tan C1－tan Btan C＝3，tan A＋tan B1－tan Atan B＝－33.
所以tan(B＋C)＝3，tan(A＋B)＝－33.
因?yàn)?＜B＋C＜π，0＜A＋B＜π，所以B＋C＝π3，A＋B＝5π6.
又A＋B＋C＝π，故A＝2π3，B＝C＝π6.
所以△ABC是頂角為2π3的等腰三角形.
總結(jié)提高
三角恒等式的證明，一般考慮三個(gè)“統(tǒng)一”：①統(tǒng)一角度，即化為同一個(gè)角的三角函數(shù)；②統(tǒng)一名稱，即化為同一種三角函數(shù)；③統(tǒng)一結(jié)構(gòu)形式.
5.5 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)
典例精析
題型一 三角函數(shù)的周期性與奇偶性
【例1】已知函數(shù)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判斷g(x)的奇偶性.
【解析】(1)f(x)＝2sin x4cos x4＋3cos x2＝sin x2＋3cos x2＝2sin(x2＋π3)，
所以f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.
(2)g(x)＝f(x＋π3)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π2)＝2cos x2.
所以g(x)為偶函數(shù).
【點(diǎn)撥】解決三角函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)問(wèn)題，常常要化簡(jiǎn)三角函數(shù).
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)y＝sin2x＋sin xcos x的最小正周期T等于( )
A.2π B.π C.π2 D.π3
【解析】y＝1－cos 2x2＋12sin 2x＝22(22sin 2x－22cos 2x)＋12
�。�22sin(2x－π4)＋12，所以T＝2π2＝π.故選B.
題型二 求函數(shù)的值域
【例2】求下列函數(shù)的值域：
(1)f(x)＝sin 2xsin x1－cos x；
(2)f(x)＝2cos(π3＋x)＋2cos x.
【解析】(1)f(x)＝2sin xcos xsin x1－cos x＝2cos x(1－cos2x)1－cos x＝2cos2x＋2cos x
�。�2(cos x＋12)2－12，
當(dāng)cos x＝1時(shí)，f(x)max＝4，但cos x≠1，所以f(x)＜4，
當(dāng)cos x＝－12時(shí)，f(x)min＝－12，所以函數(shù)的值域?yàn)閇－12，4).
(2)f(x)＝2(cos π3cos x－sin π3sin x)＋2cos x
�。�3cos x－3sin x＝23cos(x＋π6)，
所以函數(shù)的值域?yàn)閇－23，23].
【點(diǎn)撥】求函數(shù)的值域是一個(gè)難點(diǎn)，分析函數(shù)式的特點(diǎn)，具體問(wèn)題具體分析，是突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵.
【變式訓(xùn)練2】求y＝sin x＋cos x＋sin xcos x的值域.
【解析】令t＝sin x＋cos x，則有t2＝1＋2sin xcos x，即sin xcos x＝t2－12.
所以y＝f(t)＝t＋t2－12＝12(t＋1)2－1.
又t＝sin x＋cos x＝2sin(x＋π4)，所以－2≤t≤2.
故y＝f(t)＝12(t＋1)2－1(－2≤t≤2)，
從而f(－1)≤y≤f(2)，即－1≤y≤2＋12.
所以函數(shù)的值域?yàn)閇－1，2＋12].
題型三 三角函數(shù)的單調(diào)性
【例3】已知函數(shù)f(x)＝sin(ωx＋φ)(φ＞0，φ＜π)的部分圖象如圖所示.
(1)求ω，φ的值；
(2)設(shè)g(x)＝f(x)f(x－π4)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【解析】(1)由圖可知，T＝4(π2－π4)＝π，ω＝2πT＝2.
又由f(π2)＝1知，sin(π＋φ)＝1，又f(0)＝－1，所以sin φ＝－1.
因?yàn)棣眨鸡�，所以φ＝－�?.
(2)f(x)＝sin(2x－π2)＝－cos 2x.
所以g(x)＝(－cos 2x)[－cos(2x－π2)]＝cos 2xsin 2x＝12sin 4x.
所以當(dāng)2kπ－π2≤4x≤2kπ＋π2，即kπ2－π8≤x≤kπ2＋π8(k∈Z)時(shí)g(x)單調(diào)遞增.
故函數(shù)g(x)的單調(diào)增區(qū)間為[kπ2－π8，kπ2＋π8](k∈Z).
【點(diǎn)撥】觀察圖象，獲得T的值，然后再確定φ的值，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想與方法.
【變式訓(xùn)練3】使函數(shù)y＝sin(π6－2x)(x∈[0，π])為增函數(shù)的區(qū)間是( )
A.[0，π3] B.[π12，7π12]
C.[π3，5π6] D.[5π6，π]
【解析】利用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減”的原則判定，選C.
總結(jié)提高
1.求三角函數(shù)的定義域和值域應(yīng)注意利用三角函數(shù)圖象.
2.三角函數(shù)的最值都是在給定區(qū)間上得到的，因而特別要注意題設(shè)中所給的區(qū)間.
3.求三角函數(shù)的最小正周期時(shí)，要盡可能地化為三角函數(shù)的一般形式，要注意絕對(duì)值、定義域?qū)χ芷诘挠绊?
4.判斷三角函數(shù)的奇偶性，應(yīng)先判定函數(shù)定義域的對(duì)稱性.
5.6 函數(shù)y＝Asin(ωx＋ )的圖象和性質(zhì)
典例精析
題型一 “五點(diǎn)法”作函數(shù)圖象
【例1】設(shè)函數(shù)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期為π.
(1)求它的振幅、初相；
(2)用五點(diǎn)法作出它在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的閉區(qū)間上的圖象；
(3)說(shuō)明函數(shù)f(x)的圖象可由y＝sin x的圖象經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到.
【解析】(1)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx＝2(12sin ωx＋32cos ωx)＝2sin(ωx＋π3)，
又因?yàn)門＝π，所以2πω＝π，即ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x＋π3)，
所以函數(shù)f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的振幅為2，初相為π3.
(2)列出下表，并描點(diǎn)畫出圖象如圖所示.
(3)把y＝sin x圖象上的所有點(diǎn)向左平移π3個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin(x＋π3)的圖象，再把
y＝sin(x＋π3)的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的12(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)＝sin(2x＋π3)的圖象，然后把y＝sin(2x＋π3)的圖象上的所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(橫坐標(biāo)不變)，即可得到y(tǒng)＝2sin(2x＋π3)的圖象.
【點(diǎn)撥】用“五點(diǎn)法”作圖，先將原函數(shù)化為y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)形式，再令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π求出相應(yīng)的x值及相應(yīng)的y值，就可以得到函數(shù)圖象上一個(gè)周期內(nèi)的五個(gè)點(diǎn)，用平滑的曲線連接五個(gè)點(diǎn)，再向兩端延伸即可得到函數(shù)在整個(gè)定義域上的圖象.
【變式訓(xùn)練1】函數(shù)
的圖象如圖所示，則( )
A.k＝12，ω＝12，φ＝π6
B.k＝12，ω＝12，φ＝π3
C.k＝12，ω＝2，φ＝π6
D.k＝－2，ω＝12，φ＝π3
【解析】本題的函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù)，其中一個(gè)是一次函數(shù)，其圖象是一條直線，由圖象可判斷該直線的斜率k＝12.另一個(gè)函數(shù)是三角函數(shù)，三角函數(shù)解析式中的參數(shù)ω由三角函數(shù)的周期決定，由圖象可知函數(shù)的周期為T＝4×(8π3－5π3)＝4π，故ω＝12.將點(diǎn)(5π3，0)代入解析式y(tǒng)＝2sin(12x＋φ)，得12×5π3＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－5π6，k∈Z.結(jié)合各選項(xiàng)可知，選項(xiàng)A正確.
題型二 三角函數(shù)的單調(diào)性與值域
【例2】已知函數(shù)f(x)＝sin2ωx＋3sin ωxsin(ωx＋π2)＋2cos2ωx，x∈R(ω＞0)在y軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為π6.
(1)求ω的值；
(2)若將函數(shù)f(x)的圖象向右平移π6個(gè)單位后，再將得到的圖象上各點(diǎn)橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)的最大值及單調(diào)遞減區(qū)間.
【解析】(1)f(x)＝32sin 2ωx＋12cos 2ωx＋32＝sin(2ωx＋π6)＋32.
令2ωx＋π6＝π2，將x＝π6代入可得ω＝1.
(2)由(1)得f(x)＝sin(2x＋π6)＋32，經(jīng)過(guò)題設(shè)的變化得到函數(shù)g(x)＝sin(12x－π6)＋32，
當(dāng)x＝4kπ＋43π，k∈Z時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值52.
令2kπ＋π2≤12x－π6≤2kπ＋32π，
即[4kπ＋4π3，4kπ＋103π](k∈Z)為函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.
【點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用、三角函數(shù)圖象性質(zhì)及變換.
【變式訓(xùn)練2】若將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱，則φ的最小值是( )
A.π4B.π3C.π2D.3π4
【解析】將函數(shù)y＝2sin(3x＋φ)的圖象向右平移π4個(gè)單位后得到y(tǒng)＝2sin[3(x－π4)＋φ]＝2sin(3x－3π4＋φ)的圖象.
因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)(π3，0)對(duì)稱，所以2sin(3×π3－3π4＋φ)＝2sin(π4＋φ)＝0，
故有π4＋φ＝kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ－π4(k∈Z).
當(dāng)k＝0時(shí)，φ取得最小值π4，故選A.
題型三 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
【例3】已知函數(shù)y＝f(x)＝Asin2(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的最大值為2，其圖象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，并過(guò)點(diǎn)(1,2).
(1)求φ的值；
(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008).
【解析】(1)y＝Asin2(ωx＋φ)＝A2－A2cos(2ωx＋2φ)，
因?yàn)閥＝f(x)的最大值為2，又A＞0，
所以A2＋A2＝2，所以A＝2，
又因?yàn)槠鋱D象相鄰兩對(duì)稱軸間的距離為2，ω＞0，
所以12×2π2ω＝2，所以ω＝π4.
所以f(x)＝22－22cos(π2x＋2φ)＝1－cos(π2x＋2φ)，
因?yàn)閥＝f(x)過(guò)點(diǎn)(1,2)，所以cos(π2＋2φ)＝－1.
所以π2＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋π4(k∈Z)，
又因?yàn)?＜φ＜π2，所以φ＝π4.
(2)方法一：因?yàn)棣眨溅?，
所以y＝1－cos(π2x＋π2)＝1＋sin π2x，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋1＋0＋1＝4，
又因?yàn)閥＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
方法二：因?yàn)閒(x)＝2sin2(π4x＋φ)，
所以f(1)＋f(3)＝2sin2(π4＋φ)＋2sin2(3π4＋φ)＝2，
f(2)＋f(4)＝2sin2(π2＋φ)＋2sin2(π＋φ)＝2，
所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝4，
又因?yàn)閥＝f(x)的周期為4,2 008＝4×502.
所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 008)＝4×502＝2 008.
【點(diǎn)撥】函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的對(duì)稱軸由ωx＋φ＝kπ，可得x＝kπ－φω，兩相鄰對(duì)稱軸間的距離為周期的一半，解決該類問(wèn)題可畫出相應(yīng)的三角函數(shù)的圖象，借助數(shù)形結(jié)合的思想解決.
【變式訓(xùn)練3】已知函數(shù)f(x)＝Acos2ωx＋2(A＞0，ω＞0)的最大值為6，其相鄰兩條對(duì)稱軸間的距離為4，則f(2)＋f(4)＋f(6)＋…＋f(20)＝ .
【解析】f(x)＝Acos2ωx＋2＝A×1＋cos 2ωx2＋2＝Acos 2ωx2＋A2＋2，則由題意知A＋2＝6，2π2ω＝8，所以A＝4，ω＝π8，所以f(x)＝2cos π4x＋4，所以f(2)＝4，f(4)＝2，f(6)＝4，f(8)＝6，f(10)＝4，…觀察周期性規(guī)律可知f(2)＋f(4)＋…＋f(20)＝2×(4＋2＋4＋6)＋4＋2＝38.
總結(jié)提高
1.用“五點(diǎn)法”作y＝Asin(ωx＋φ)的圖象，關(guān)鍵是五個(gè)點(diǎn)的選取，一般令ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，即可得到作圖所需的五個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，同時(shí)，若要求畫出給定區(qū)間上的函數(shù)圖象時(shí)，應(yīng)適當(dāng)調(diào)整ωx＋φ的取值，以便列表時(shí)能使x在給定的區(qū)間內(nèi)取值.
2.在圖象變換時(shí)，要注意相位變換與周期變換的先后順序改變后，圖象平移的長(zhǎng)度單位是不同的，這是因?yàn)樽儞Q總是對(duì)字母x本身而言的，無(wú)論沿x軸平移還是伸縮，變化的總是x.
3.在解決y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)性質(zhì)時(shí)，應(yīng)將ωx＋φ視為一個(gè)整體x后再與基本函數(shù)
y＝sin x的性質(zhì)對(duì)應(yīng)求解.
5.7 正弦定理和余弦定理
典例精析
題型一 利用正、余弦定理解三角形
【例1】在△ABC中，AB＝2，BC＝1，cos C＝34.
(1)求sin A的值；(2)求 的值.
【解析】(1)由cos C＝34得sin C＝74.
所以sin A＝BC sin CAB＝1×742＝148.
(2)由(1)知，cos A＝528.
所以cos B＝－cos(A＋C)＝－cos Acos C＋sin Asin C
�。剑�15232＋7232＝－24.
所以 ? ＝ ?( ＋ )＝ ＋
＝－1＋1×2×cos B＝－1－12＝－32.
【點(diǎn)撥】在解三角形時(shí)，要注意靈活應(yīng)用三角函數(shù)公式及正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí).
【變式訓(xùn)練1】在△ABC中，已知a、b、c為它的三邊，且三角形的面積為a2＋b2－c24，則∠C＝ .
【解析】S＝a2＋b2－c24＝12absin C.
所以sin C＝a2＋b2－c22ab＝cos C.所以tan C＝1，
又∠C∈(0，π)，所以∠C＝π4.
題型二 利用正、余弦定理解三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題
【例2】設(shè)△ABC是銳角三角形，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)，并且sin2A＝sin(π3＋B)sin(π3－B)＋sin2B.
(1)求角A的值；
(2)若 ＝12，a＝27，求b，c(其中b＜c).
【解析】(1)因?yàn)閟in2A＝(32cos B＋12sin B)(32cos B－12sin B)＋sin2B＝34cos2B－14sin2B＋sin2B＝34，所以sin A＝±32.又A為銳角，所以A＝π3.
(2)由 ＝12可得cbcos A＝12.①
由(1)知A＝π3，所以cb＝24.②
由余弦定理知a2＝c2＋b2－2cbcos A，將a＝27及①代入得c2＋b2＝52.③
�、郏凇�2，得(c＋b)2＝100，所以c＋b＝10.
因此，c，b是一元二次方程t2－10t＋24＝0的兩個(gè)根.
又b＜c，所以b＝4，c＝6.
【點(diǎn)撥】本小題考查兩角和與差的正弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，特殊角的三角函數(shù)值，向量的數(shù)量積，利用余弦定理解三角形等有關(guān)知識(shí)，考查綜合運(yùn)算求解能力.
【變式訓(xùn)練2】在△ABC中，a、b、c分別是A、B、C的對(duì)邊，且滿足(2a－c)cos B＝
bcos C.
(1)求角B的大��；
(2)若b＝7，a＋c＝4，求△ABC的面積.
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理得
a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，
代入(2a－c)cos B＝bcos C，
整理得2sin Acos B＝sin Bcos C＋sin C cos B，
即2sin Acos B＝sin(B＋C)＝sin A，
在△ABC中，sin A＞0,2cos B＝1，
因?yàn)椤螧是三角形的內(nèi)角，所以B＝60°.
(2)在△ABC中，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B
�。�(a＋c)2－2ac－2ac cos B，
將b＝7，a＋c＝4代入整理，得ac＝3.
故S△ABC＝12acsin B＝32sin 60°＝334.
題型三 正、余弦定理在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用
【例3】(2010陜西)如圖所示，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋3)海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn).現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東45°，B點(diǎn)北偏西60°的D點(diǎn)有一艘輪船發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)南偏西60°且與B點(diǎn)相距203海里的C點(diǎn)的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為30海里/小時(shí)，則該救援船到達(dá)D點(diǎn)需要多長(zhǎng)時(shí)間？
【解析】由題意知AB＝5(3＋3)(海里)，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，所以∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB中，由正弦定理得DBsin∠DAB＝ABsin∠ADB，
所以DB＝ ＝
�。� ＝53(3＋1)3＋12＝103(海里).
又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝203海里，
在△DBC中，由余弦定理得
CD2＝BD2＋BC2－2BD BC cos∠DBC＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，
所以CD＝30(海里)，則需要的時(shí)間t＝3030＝1(小時(shí)).
所以，救援船到達(dá)D點(diǎn)需要1小時(shí).
【點(diǎn)撥】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是：
(1)根據(jù)題意，抽象地構(gòu)造出三角形；
(2)確定實(shí)際問(wèn)題所涉及的數(shù)據(jù)以及要求解的結(jié)論與所構(gòu)造的三角形的邊與角的對(duì)應(yīng)關(guān)系；
(3)選用正弦定理或余弦定理或者二者相結(jié)合求解；
(4)給出結(jié)論.
【變式訓(xùn)練3】如圖，一船在海上由西向東航行，在A處測(cè)得某島M的方位角為北偏東α角，前進(jìn)m km后在B處測(cè)得該島的方位角為北偏東β角，已知該島周圍n km范圍內(nèi)(包括邊界)有暗礁，現(xiàn)該船繼續(xù)東行，當(dāng)α與β滿足條件 時(shí)，該船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
【解析】由題可知，在△ABM中，根據(jù)正弦定理得BMsin(90°－α)＝msin(α－β)，解得BM＝mcos αsin(α－β)，要使船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn)需要BMsin(90°－β)＝mcos αcos βsin(α－β)＞n.所以α與β的關(guān)系滿足mcos αcos β＞nsin(α－β)時(shí)，船沒(méi)有觸礁危險(xiǎn).
總結(jié)提高
1.正弦定理、余弦定理體現(xiàn)了三角形中角與邊存在的一種內(nèi)在聯(lián)系，如證明兩內(nèi)角A＞B與sin A＞sin B是一種等價(jià)關(guān)系.
2.在判斷三角形的形狀時(shí)，一般將已知條件中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化，統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或統(tǒng)一轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，再用恒等變形(如因式分解、配方)求解，注意等式兩邊的公因式不要隨意約掉，否則會(huì)漏解.
3.用正弦定理求角的大小一定要根據(jù)題中所給的條件判斷角的范圍，以免增解或漏解.
5.8 三角函數(shù)的綜合應(yīng)用
典例精析
題型一 利用三角函數(shù)的性質(zhì)解應(yīng)用題
【例1】如圖，ABCD是一塊邊長(zhǎng)為100 m的正方形地皮，其中AST是一半徑為90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一開發(fā)商想在平地上建一個(gè)矩形停車場(chǎng)，使矩形的一個(gè)頂點(diǎn)P在 上，相鄰兩邊CQ、CR分別落在正方形的邊BC、CD上，求矩形停車場(chǎng)PQCR面積的最大值和最小值.
【解析】如圖，連接AP，過(guò)P作PM⊥AB于M.
設(shè)∠PAM＝α，0≤α≤π2，
則PM＝90sin α，AM＝90cos α，
所以PQ＝100－90cos α，PR＝100－90sin α，
于是S四邊形PQCR＝PQ?PR
�。�(100－90cos α)(100－90sin α)
�。�8 100sin αcos α－9 000(sin α＋cos α)＋10 000.
設(shè)t＝sin α＋cos α，則1≤t≤2，sin αcos α＝t2－12.
S四邊形PQCR＝8 100?t2－12－9 000t＋10 000
�。�4 050(t－109)2＋950 (1≤t≤2).
當(dāng)t＝2時(shí)，(S四邊形PQCR)max＝14 050－9 0002 m2；
當(dāng)t＝109時(shí)，(S四邊形PQCR)min＝950 m2.
【點(diǎn)撥】同時(shí)含有sin θcos θ，sin θ±cos θ的函數(shù)求最值時(shí)，可設(shè)sin θ±cos θ＝t，把sin θcos θ用t表示，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)的最值問(wèn)題.注意t的取值范圍.
【變式訓(xùn)練1】若0＜x＜π2，則4x與sin 3x的大小關(guān)系是( )
A.4x＞sin 3xB.4x＜sin 3x
C.4x≥sin 3xD.與x的值有關(guān)
【解析】令f(x)＝4x－sin 3x，則f′(x)＝4－3cos 3x.因?yàn)閒′(x)＝4－3cos 3x＞0，所以f(x)為增函數(shù).又0＜x＜π2，所以f(x)＞f(0)＝0，即得4x－sin 3x＞0.所以4x＞sin 3x.故選A.
題型二 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)模型的應(yīng)用
【例2】已知某海濱浴場(chǎng)的海浪高度y(米)是時(shí)間t(0≤t≤24，單位：小時(shí))的函數(shù)，記作y＝f(t).下表是某日各時(shí)的浪花高度數(shù)據(jù).
經(jīng)長(zhǎng)期觀測(cè)，y＝f(t)的曲線可近似地看成是函數(shù)y＝Acos ωt＋b.
(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求出函數(shù)y＝Acos ωt＋b的最小正周期T、振幅A及函數(shù)表達(dá)式；
(2)依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于1米時(shí)才對(duì)沖浪愛好者開放. 請(qǐng)依據(jù)(1)的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午8：00至晚上20：00之間，有多少時(shí)間可供沖浪者進(jìn)行運(yùn)動(dòng)？
【解析】(1)由表中數(shù)據(jù)知，周期T＝12，所以ω＝2πT＝2π12＝π6.
由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5，由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，
所以A＝0.5，b＝1，所以振幅為12.所以y＝12cos π6t＋1.
(2)由題知，當(dāng)y＞1時(shí)才可對(duì)沖浪者開放，
所以12cos π6t＋1＞1，所以cos π6t＞0，
所以2kπ－π2＜π6t＜2kπ＋π2，即12k－3＜t＜12k＋3.①
因?yàn)?≤t≤24，故可令①中k分別為0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.
故在規(guī)定時(shí)間上午8：00至晚上20：00之間，有6個(gè)小時(shí)時(shí)間可供沖浪者運(yùn)動(dòng)，即上午9：00至下午15：00.
【點(diǎn)撥】用y＝Asin(ωx＋φ)模型解實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵在于根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)準(zhǔn)確求出函數(shù)解析式.
【變式訓(xùn)練2】如圖，一個(gè)半徑為10 m的水輪按逆時(shí)針?lè)较蛎糠昼娹D(zhuǎn)4圈，記水輪上的點(diǎn)P到水面的距離為d m(P在水面下則d為負(fù)數(shù))，則d(m)與時(shí)間t(s)之間滿足關(guān)系式：d＝Asin(ωt＋φ)＋k(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)，且當(dāng)點(diǎn)P從水面上浮現(xiàn)時(shí)開始計(jì)算時(shí)間，有以下四個(gè)結(jié)論：①A＝10；②ω＝2π15；③φ＝π6；④k＝5.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 .
【解析】①②④.
題型三 正、余弦定理的應(yīng)用
【例3】為了測(cè)量?jī)缮巾擬、N間的距離，飛機(jī)沿水平方向在A、B兩點(diǎn)進(jìn)行測(cè)量，A、B、M、N在同一個(gè)鉛垂平面內(nèi)(如圖所示)，飛機(jī)能測(cè)量的數(shù)據(jù)有俯角和A、B之間的距離，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)方案，包括：(1)指出需測(cè)量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標(biāo)示)；(2)用文字和公式寫出計(jì)算M、N間距離的步驟.
【解析】(1)如圖所示：①測(cè)AB間的距離a；②測(cè)俯角∠MAB＝φ，∠NAB＝θ，∠MBA＝β，∠NBA＝γ.(2)在△ABM中 ，∠AMB＝π－φ－β，由正弦定理得
BM＝ABsin φsin∠AMB＝asin φsin(φ＋β)，
同理在△BAN中，BN＝ABsin θsin∠ANB＝asin θsin(θ＋γ)，
所以在△BMN中，由余弦定理得
MN＝
＝a2sin2φsin2(φ＋β)＋a2sin2θsin2(θ＋γ)－2a2sin θsin φcos(γ－β)sin(φ＋β)sin(θ＋γ).
【變式訓(xùn)練3】一船向正北方向勻速行駛，看見正西方向兩座相距10海里的燈塔恰好與該船在同一直線上，繼續(xù)航行半小時(shí)后，看見其中一座燈塔在南偏西60°方向上，另一燈塔在南偏西75°方向上，則該船的速度是 海里/小時(shí).
【解析】本題考查實(shí)際模型中的解三角形問(wèn)題.依題意作出簡(jiǎn)圖，易知AB＝10，∠OCB＝60°，∠OCA＝75°.我們只需計(jì)算出OC的長(zhǎng)，即可得出船速.在直角三角形OCA和OCB中，顯然有OBOC＝tan∠OCB＝tan 60°且OAOC＝tan∠OCA＝tan 75°，
因此易得AB＝OA－OB＝OC(tan 75°－tan 60°)，即有
OC＝ABtan 75°－tan 60°＝10tan 75°－tan 60°
＝10tan(30°＋45°)－tan 60°
�。�10tan 30°＋tan 45°1－tan 30°tan 45°－tan 60°＝1013＋11－13－3＝5.
由此可得船的速度為5海里÷0.5小時(shí)＝10海里/小時(shí).
總結(jié)提高
1.解三角形的應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意：
(1)生活中的常用名詞，如仰角，俯角，方位角，坡比等；
(2)將所有已知條件化入同一個(gè)三角形中求解；
(3)方程思想在解題中的運(yùn)用.
2.解三角函數(shù)的綜合題時(shí)應(yīng)注意：
(1)與已知基本函數(shù)對(duì)應(yīng)求解，即將ωx＋φ視為一個(gè)整體X；
(2)將已知三角函數(shù)化為同一個(gè)角的一種三角函數(shù)，如y＝Asin(ωx＋φ)＋B或y＝asin2x＋bsin x＋c；
(3)換元方法在解題中的運(yùn)用.
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