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(優(yōu)秀)拋物線(xiàn)的基本知識(shí)點(diǎn)
在平日的學(xué)習(xí)中,是不是聽(tīng)到知識(shí)點(diǎn),就立刻清醒了?知識(shí)點(diǎn)在教育實(shí)踐中,是指對(duì)某一個(gè)知識(shí)的泛稱(chēng)。還在為沒(méi)有系統(tǒng)的知識(shí)點(diǎn)而發(fā)愁嗎?以下是小編整理的拋物線(xiàn)的基本知識(shí)點(diǎn),歡迎閱讀,希望大家能夠喜歡。
重點(diǎn):熟練掌握拋物線(xiàn)的定義及四種不同的標(biāo)準(zhǔn)方程形式,會(huì)根據(jù)拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程研究得出性質(zhì),會(huì)由幾何性質(zhì)確定拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。 熟練運(yùn)用坐標(biāo)法,理解數(shù)形結(jié)合思想,掌握相關(guān)代數(shù)知識(shí)、平面幾何知識(shí)的運(yùn)用。
難點(diǎn):把幾何條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)語(yǔ)言,進(jìn)而把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”。 選擇合理、簡(jiǎn)捷的運(yùn)算途徑,并實(shí)施正確的運(yùn)算。 靈活利用概念、平面幾何知識(shí)。
1. 拋物線(xiàn)及其性質(zhì)的基本思路
求拋物線(xiàn)方程時(shí),若由已知條件可知方程的形式,一般用待定系數(shù)法;若由已知條件可知?jiǎng)狱c(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,一般用軌跡法;凡涉及拋物線(xiàn)的弦長(zhǎng)、弦的中點(diǎn)、弦的斜率問(wèn)題時(shí)要注意運(yùn)用韋達(dá)定理;解決焦點(diǎn)弦問(wèn)題,拋物線(xiàn)的定義有廣泛的應(yīng)用,還應(yīng)注意焦點(diǎn)弦的幾何性質(zhì),針對(duì)y2=2px(p>0),設(shè)焦點(diǎn)弦為x=my+■,既方便消元,又可避免斜率不存在的情況;可能的情況下,注意平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,達(dá)到“不算而解”的目的。
2. 拋物線(xiàn)及其性質(zhì)的基本策略
(1)求拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程
、俣x法:根據(jù)條件確定動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足的幾何特征,從而確定p的值,得到拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程。
、诖ㄏ禂(shù)法:先定位,后定量。根據(jù)條件設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程,再確定參數(shù)p的值,這里要注意拋物線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程有四種形式,從簡(jiǎn)單化角度出發(fā),焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)為y2=ax(a≠0);焦點(diǎn)在y軸上,設(shè)為x2=by(b≠0).
(2)焦點(diǎn)弦問(wèn)題和焦半徑
、俳拱霃剑簰佄锞(xiàn)y2=2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0,y0)到焦點(diǎn)F■,0的距離PF=x0+■.
、谕◤剑哼^(guò)焦點(diǎn)F■,0且與x軸垂直的弦PQ叫通徑,PQ=2p.
③焦點(diǎn)弦的性質(zhì):過(guò)F■,0的弦AB所在的直線(xiàn)方程為y=kx-■(k不存在時(shí)為通徑).
、芟议L(zhǎng):AB=x1+x2+p=■(θ為弦AB的傾斜角);x1·x2=■,y1·y2= -p2;■+■=■;以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線(xiàn)相切。
在拋物線(xiàn)y2=4x上找一點(diǎn)M,使MA+MF最小,其中A(3,2),F(1,0),求點(diǎn)M的坐標(biāo)及此時(shí)的最小值。
思索 “看準(zhǔn)線(xiàn)想焦點(diǎn),看焦點(diǎn)想準(zhǔn)線(xiàn)”,可根據(jù)拋物線(xiàn)的定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化從而獲得簡(jiǎn)捷、直觀(guān)的求解。 數(shù)形結(jié)合是靈活解題的一條捷徑。
破解:如圖1,點(diǎn)A在拋物線(xiàn)y2=4x的內(nèi)部,由拋物線(xiàn)的定義可知,MA+MF=MA+MH,其中MH為M到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離,過(guò)A作拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于M1,垂足為B,則MA+MF=MA+MH≥AB=4,當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)M在M1的位置時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為(1,2).
斜率為1的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)F,且與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng)。
思索:求焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)有多種方法,既要掌握運(yùn)算方法,也要考慮一些不算或少算的方法。 數(shù)形結(jié)合是解析幾何中重要的思想方法之一。 一些問(wèn)題中,充分發(fā)揮“形”的作用,可以最大限度地減少運(yùn)算,“看出結(jié)果”。 我們不妨考慮問(wèn)題的一般情形:斜率為k(傾斜角為θ)的直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F,且與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn),如何“看出”焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)?
如圖2,由圖可以看出,F(xiàn)A=p-FAcosθ,FB=FBcosθ+p,所以AB=FA+FB=■+■=■. 求解過(guò)程非常直觀(guān),在已知直線(xiàn)傾斜角的情形下,可以直接“看出”焦點(diǎn)弦的弦長(zhǎng)。 直線(xiàn)斜率存在時(shí),由k=tanθ,破解 例2中,k=1(θ=45°),p=2,所以AB=8.
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是拋物線(xiàn)C:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn),M是拋物線(xiàn)C上位于第一象限內(nèi)的任意一點(diǎn),過(guò)M,F,O三點(diǎn)的圓的圓心為Q,點(diǎn)Q到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離為■.
(1)求拋物線(xiàn)C的方程;
(2)是否存在點(diǎn)M,使得直線(xiàn)MQ與拋物線(xiàn)C相切于點(diǎn)M?若存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由。
思索 (1)由拋物線(xiàn)C的標(biāo)準(zhǔn)形式可得點(diǎn)F的坐標(biāo)和準(zhǔn)線(xiàn)方程,由圓心Q在弦OF的中垂線(xiàn)上可得點(diǎn)Q的縱坐標(biāo),再由點(diǎn)Q到拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)的距離列出方程,確定p的值。
(2)存在性問(wèn)題的常用方法是:先假設(shè)結(jié)論存在,進(jìn)行演繹推理,若推出矛盾,則否定假設(shè);若推出合理的結(jié)果,說(shuō)明假設(shè)成立。
思路1:先求切線(xiàn)MQ的方程,結(jié)合弦OF的中垂線(xiàn)方程解點(diǎn)Q的坐標(biāo),再由點(diǎn)Q在弦OM的中垂線(xiàn)上解題即可。
思路2:先由點(diǎn)Q在弦OF,OM的中垂線(xiàn)上,再結(jié)合切線(xiàn)QM斜率的不同形式表示,列出方程思考。
1. 立足課本,夯實(shí)基礎(chǔ)
掌握拋物線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),深化對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解,重視知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系,提高應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的意識(shí)和能力。
2. 熟練通法,步步過(guò)關(guān)
對(duì)相對(duì)固定的題型,如弦長(zhǎng)問(wèn)題、面積問(wèn)題等,解題思路、步驟相對(duì)固定,要以課本為例,以習(xí)題為模型,淡化技巧,理解通性通法,熟練步驟,能作出合理的算法途徑設(shè)計(jì),基本問(wèn)題運(yùn)算過(guò)關(guān),破解“想得出,算不出、算不對(duì)”的瓶頸。
3. 重視拋物線(xiàn)的綜合問(wèn)題
重視拋物線(xiàn)與直線(xiàn)、圓等的綜合研究,尤其是對(duì)性質(zhì)中的一些定點(diǎn)、定值及相關(guān)結(jié)論的深入探究。高考試題往往有對(duì)圓錐曲線(xiàn)某方面幾何性質(zhì)的考慮,對(duì)性質(zhì)深入的探究不在于知道一些結(jié)論,而是在這一過(guò)程中掌握探索的方法,理解解析幾何的基本思想方法。
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