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小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié)
小學奧數(shù)是針對小學生進行的數(shù)學奧林匹克訓練，涉及超出課本范圍的數(shù)學問題和解題技巧，旨在鍛煉學生的思維能力和創(chuàng)造力。下面是小編收集整理的小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié)，希望對大家有所幫助。
小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié) 1
任何學問都有基本的脈絡、綱要，把握住這些綱領性知識，不管考題怎么變化，“萬變不離其宗”。小學奧數(shù)同樣如此，現(xiàn)將小學奧數(shù)中必須掌握的知識點整理如下：
1. 和差倍問題（和差問題 和倍問題 差倍問題）
已知條件：幾個數(shù)的和與差;幾個數(shù)的和與倍數(shù);幾個數(shù)的差與倍數(shù)。
公式適用范圍：已知兩個數(shù)的和，差，倍數(shù)關系
公式：
�。�1）(和－差)÷2=較小數(shù) 較小數(shù)＋差=較大數(shù) 和－較小數(shù)=較大數(shù)
(和＋差)÷2=較大數(shù) 較大數(shù)－差=較小數(shù) 和－較大數(shù)=較小數(shù)
�。�2）和÷(倍數(shù)＋1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 和－小數(shù)=大數(shù)
�。�3）差÷(倍數(shù)-1)=小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)=大數(shù) 小數(shù)＋差=大數(shù)
關鍵問題
求出同一條件下的和與差 和與倍數(shù) 差與倍數(shù)
2．年齡問題的三個基本特征：
①兩個人的年齡差是不變的；
�、趦蓚�人的年齡是同時增加或者同時減少的；
�、蹆蓚�人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；
3．歸一問題的基本特點：
問題中有一個不變的量，一般是那個“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”……等詞語來表示。
關鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；
4．植樹問題
基本類型
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹
在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹
在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹
封閉曲線上植樹
基本公式
棵數(shù)=段數(shù)＋1
棵距×段數(shù)=總長
棵數(shù)=段數(shù)－1
棵距×段數(shù)=總長
棵數(shù)=段數(shù)
棵距×段數(shù)=總長
關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關系
5．雞兔同籠問題
基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；
基本思路：
�、偌僭O，即假設某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：
�、诩僭O后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；
③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個差的原因；
�、茉俑鶕�(jù)這兩個差作適當?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差。
基本公式：
�、侔阉须u假設成兔子：雞數(shù)＝（兔腳數(shù)×總頭數(shù)－總腳數(shù)）÷（兔腳數(shù)－雞腳數(shù)）
②把所有兔子假設成雞：兔數(shù)＝（總腳數(shù)一雞腳數(shù)×總頭數(shù)）÷（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）
關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。
6．盈虧問題
基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標準分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標準不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關系求對象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭浚?/p>
基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結(jié)果的.變化，根據(jù)這個關系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對象的總量．
基本題型：
①一次有余數(shù)，另一次不足；
基本公式：總份數(shù)＝（余數(shù)＋不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差
�、诋攦纱味加杏鄶�(shù)；
基本公式：總份數(shù)＝（較大余數(shù)一較小余數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差
�、郛攦纱味疾蛔悖�
基本公式：總份數(shù)＝（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）÷兩次每份數(shù)的差
基本特點：對象總量和總的組數(shù)是不變的。
關鍵問題：確定對象總量和總的組數(shù)。
小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié) 2
1.奇偶性
問題
奇+奇=偶奇×奇=奇
奇+偶=奇奇×偶=偶
偶+偶=偶偶×偶=偶
2.位值原則
形如：abc=100a+10b+c
3.數(shù)的整除特征：
整除數(shù)特征
2末尾是0、2、4、6、8
3各數(shù)位上數(shù)字的和是3的倍數(shù)
5末尾是0或5
9各數(shù)位上數(shù)字的和是9的倍數(shù)
11奇數(shù)位上數(shù)字的和與偶數(shù)位上數(shù)字的和，兩者之差是11的倍數(shù)
4和25末兩位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)
8和125末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)
7、11、13末三位數(shù)與前幾位數(shù)的.差是7(或11或13)的倍數(shù)
4.整除性質(zhì)
�、偃绻鹀|a、c|b，那么c|(ab)。
②如果bc|a，那么b|a，c|a。
�、廴绻鸼|a，c|a，且(b,c)=1,那么bc|a。
�、苋绻鹀|b,b|a,那么c|a.
⑤a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。
5.帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)(b≠0),那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，0≤r
當r=0時，我們稱a能被b整除。
當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商(亦簡稱為商)。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q……r,0≤r
小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié) 3
數(shù)列求和：
等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列。
基本概念：首項：等差數(shù)列的'第一個數(shù)，一般用a1表示;
項數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個數(shù)，一般用n表示;
公差：數(shù)列中任意相鄰兩個數(shù)的差，一般用d表示;
通項：表示數(shù)列中每一個數(shù)的公式，一般用an表示;
數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用Sn表示。
基本思路：等差數(shù)列中涉及五個量：a1，an，d，n，sn，通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可求出第四個;求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。
基本公式：通項公式：an=a1+(n-1)d;
通項=首項+(項數(shù)一1)×公差;
數(shù)列和公式：sn，=(a1+an)×n÷2;
數(shù)列和=(首項+末項)×項數(shù)÷2;
項數(shù)公式：n=(an+a1)÷d+1;
項數(shù)=(末項-首項)÷公差+1;
公差公式：d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末項-首項)÷(項數(shù)-1);
關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式
小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié) 4
鳥頭定理即共角定理。
燕尾定理即共邊定理的一種。
共角定理：
若兩三角形有一組對應角相等或互補，則它們的面積比等于對應角兩邊乘積的比。
共邊定理：
有一條公共邊的三角形叫做共邊三角形。
共邊定理：設直線AB與PQ交與M則S△PAB/S△QAB=PM/QM
這幾個定理大都利用了相似圖形的'方法，但小學階段沒有學過相似圖形，而小學奧數(shù)中，常常要引入這些，實在有點難為孩子。
為了避開相似，我們用相應的底，高的比來推出三角形面積的比。
例如燕尾定理，一個三角形ABC中，D是BC上三等分點，靠近B點。連接AD，E是AD上一點，連接EB和EC，就能得到四個三角形。
很顯然，三角形ABD和ACD面積之比是1：2
因為共邊，所以兩個對應高之比是1：2
而四個小三角形也會存在類似關系
三角形ABE和三角形ACE的面積比是1：2
三角形BED和三角形CED的面積比也是1：2
所以三角形ABE和三角形ACE的面積比等于三角形BED和三角形CED的面積比，這就是傳說中的燕尾定理。
以上是根據(jù)共邊后，高之比等于三角形面積之比證明所得。
必須要強記，只要理解，到時候如何變形，你都能會做。至于鳥頭定理，也不要死記硬背，掌握原理，用起來就會得心應手。
小學奧數(shù)必須掌握的30個知識模塊小結(jié) 5
(1)個位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)都能被2整除;反過來，個位數(shù)字是1、3、5、7、9的數(shù)都不能被2整除。
(2)個位數(shù)字是0或5的數(shù)都能被5整除;反過來，個位數(shù)字既不是0也不是5的數(shù)都不能被5整除;反過，個位數(shù)字既不是0也不是5的數(shù)都不能被5整除。
(3)末兩位數(shù)能被49或25)整除的數(shù)，必能被4(或25)整除;反過來，末兩位數(shù)不能被4(或25)整除的數(shù)，必不能被4(或25)整除。
(4)末三位數(shù)能被8(或125)整除的數(shù)，必須被8(或125)整除;反過來，末三位數(shù)不能被8(或125)整除的數(shù)，必不能被8(或125)整除。
上述各條可以綜合推廣成一條：
末n位數(shù)能被2 (或5 )整除的數(shù)，本身必能被2 (或5 )整除;反過來，末n位數(shù)不能被2 (或5 )整除的數(shù)，本身必不能被2 (或5 )整除。
例如，364789056能不能被16整除?因為16=2 ，所以只要看364789056的末四位9056能不能被16整除。從16整除9056就可知16整除364789056。
(5)各位數(shù)字之和能被3(或9)整除的數(shù)，本身也能被3(或9)整除;反過來，各位數(shù)字之和不能被3(或9)整除的數(shù)，本身也不能被3(或9)整除。
我們通過具體例子來說明其中的道理：
83256
=8×10000+3×1000+2×100+5×10+6
=8×(9999+1)+3×(999+1)+2×(99+1)+5×(9+1)+6
=(8×9999+3×999+2×99+5×9)+(8+3+2+5+6)，
因為第一個括號內(nèi)的結(jié)果是3的倍數(shù)，所以如果第二個括號內(nèi)的結(jié)果是3的倍數(shù)，那么根據(jù)整除的性質(zhì)(1)，原數(shù)就是3的倍數(shù);如果第二個括號內(nèi)的結(jié)果不是3的倍數(shù)，那么根據(jù)整除的性質(zhì)(4)，原數(shù)就不是3的倍數(shù)。現(xiàn)在第二個括號內(nèi)的結(jié)果是8+3+2+5+6=24，24是3的倍數(shù)，所以原數(shù)是3的倍數(shù)。完全類似，因為第一個括號內(nèi)的結(jié)果是9的倍數(shù)，第二個括號內(nèi)的結(jié)果不是9的倍數(shù)。所以根據(jù)整除的性質(zhì)(4)，原數(shù)不是9的倍數(shù)。
(6)能被(7(11或13)整除的數(shù)的特征：這個數(shù)的末三位數(shù)字所表示數(shù)與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差(大減小)能被7(11或13)整除。
例如判斷1265817能否分別被7、11、13整除?把1265817分成兩段：1265與817，因為1265-817=448，而7整除448，所以7整除1265817;11不整除448，所以11不整除1265817;同樣，13不整除448，所以13不整除1265817。
這是什么道理呢?
因為7×11×13=1001，所以凡是001的倍數(shù)都能被7、11、13整除。
1265817=1265×1000+817
=1265×1001-1265+817
=1265×1001-(1265-817)，
因為1001能被7整除，所以1265×1001也能被7整除。如果(1265-817)能被7整除，那么1265817也能被7整除;反過來，如果1265817能被7整除，那么(1265-817)也能被7整除。這就說明，1265817能否被7整除，完全取決于(1265-817)能否被7整除。而817與1265正是1265817的末三位數(shù)字與末三位以前的數(shù)字所表示的數(shù)。
對于11和13來說，情形完全一樣。
如果把1265817換成其它數(shù)，上述推導過程可以照樣進行，所以我們能用上述方法來判斷一個數(shù)能否被7(11或13)整除。
由此整除特征可以看到，把一個三位數(shù)連寫兩遍所得的六位數(shù)必能同時被7、11、13整除。例如382382就能同時被7、11、13整除。實際上，這樣的.數(shù)是1001的倍數(shù)，而1001=7×11×13。
(7)能被11整除的數(shù)的特征二：這個數(shù)的奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差(大減小)能被11整除。
我們利用92587來說明其中的道理。
92587=9×10000+2×1000+5×100+8×10+7
=9×(909×11+1)+2×(91×11-1)+5×(9×11+1)+8×(11-1)+7
=(9×909×11+2×91×11+5×9×11+8×11)+(9-2+5-8+7)
因為第一括號內(nèi)的結(jié)果能被11整除，所以92587能否被11整除，完全取決于第二個括號內(nèi)的結(jié)果能否被11整除。第二個括號內(nèi)恰好就是奇位數(shù)字之和與偶位數(shù)字之和的差。
現(xiàn)在9-2+5-8+7=11，所以原數(shù)92587能被11整除。
(8)能被11整除的數(shù)的特征三(割尾減尾法)：這個數(shù)除去個位數(shù)字之外其余數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)與個位數(shù)之差被11整除。
例如：7249=724×10+9=724×11-724+9=724×11-(724-9)。
因為724×11能被11整除，所以7249能否被11整除，取決于(724-9)能否被11整除，而(724-9)正是這個數(shù)除去個位數(shù)字之外其余數(shù)位上的數(shù)字所表示的數(shù)與個位數(shù)之差。從此例就可看出這種方法為什么是正確的。
(9)如果一個數(shù)能被互質(zhì)的兩個自然數(shù)整除，那么它一定能被這兩個互質(zhì)數(shù)的積整除。
把這一性質(zhì)與前邊所學數(shù)的整除特征相聯(lián)系，我們就可以得到一大批數(shù)的整除特征。
例如，因為2和3互質(zhì)，并且2×3=6，所以一個數(shù)能被6整除的特征是這個數(shù)既能被2整除又能被3整除。又如，因為3和5互質(zhì)，并且3×5=15，所以一個數(shù)能被15整除的特征是這個數(shù)既能被3整除又能被5整除。
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一、 計算
1． 四則混合運算繁分數(shù)
⑴ 運算順序
�、� 分數(shù)、小數(shù)混合運算技巧
一般而言：
�、� 加減運算中，能化成有限小數(shù)的統(tǒng)一以小數(shù)形式；
�、� 乘除運算中，統(tǒng)一以分數(shù)形式。
�、菐Х謹�(shù)與假分數(shù)的互化
⑷繁分數(shù)的化簡
2． 簡便計算
�、艤愓枷�
�、苹鶞蕯�(shù)思想
�、橇秧椗c拆分
�、忍崛」驍�(shù)
⑸商不變性質(zhì)
�、矢淖冞\算順序
�、� 運算定律的綜合運用
�、� 連減的性質(zhì)
�、� 連除的性質(zhì)
�、� 同級運算移項的性質(zhì)
�、� 增減括號的性質(zhì)
⑥ 變式提取公因數(shù)
形如：a1 b a2 b ...... an b (a1 a2 ...... an) b
3． 估算
求某式的整數(shù)部分：擴縮法
4． 比較大小
�、� 通分
a. 通分母
b. 通分子
② 跟“中介”比
�、� 利用倒數(shù)性質(zhì) 若111mnmmnn ，則c>b>a.。形如：1 2 3，則1 2 3。 abcn1n2n3m1m2m3
5． 定義新運算
6． 特殊數(shù)列求和
運用相關公式：
n n 1 2
n n 1 2n 1 222②1 2 n 6①1 2 3 n
�、踑n n n 1 n2 n
�、�1 2 n 1 2 n 3332n2 n 1 42
�、輆bcabc abc 1001 abc 7 11 13
�、轪2 b2 a b a b
⑦1+2+3+4 （n-1）+n+（n-1）+ 4+3+2+1=n
2
二、 數(shù)論
1． 奇偶性問題
奇 奇=偶 奇×奇=奇
奇 偶=奇 奇×偶=偶
偶 偶=偶 偶×偶=偶
2． 位值原則 形如：abc=100a+10b+c
�、� 如果c|a、c|b，那么c|(a b)。
�、� 如果bc|a，那么b|a，c|a。
�、� 如果b|a，c|a，且（b,c）=1,那么bc|a。
�、� 如果c|b,b|a,那么c|a.
�、� a個連續(xù)自然數(shù)中必恰有一個數(shù)能被a整除。
5． 帶余除法
一般地，如果a是整數(shù)，b是整數(shù)（b≠0）,那么一定有另外兩個整數(shù)q和r，0 r＜b,使得a=b×q+r
當r=0時，我們稱a能被b整除。
當r≠0時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數(shù)，q為a除以b的不完全商（亦簡稱為商）。用帶余數(shù)除式又可以表示為a÷b=q r, 0 r＜b a=b×q+r
6. 唯一分解定理
任何一個大于1的自然數(shù)n都可以寫成質(zhì)數(shù)的連乘積，即
n= p1a1× p2a2×...×pkak
7. 約數(shù)個數(shù)與約數(shù)和定理
設自然數(shù)n的質(zhì)因子分解式如n= p1a1× p2a2×...×pkak那么：
n的約數(shù)個數(shù)：d(n)=(a1+1)(a2+1)....(ak+1)
n的所有約數(shù)和：（1+P1+P1+ p12a1）（1+P2+P2+ p22a2） （1+Pk+Pk+ pk2ak）
8. 同余定理
① 同余定義：若兩個整數(shù)a，b被自然數(shù)m除有相同的余數(shù)，那么稱a，b對于模
m同余，用式子表示為a≡b(mod m)
�、谌魞蓚�數(shù)a，b除以同一個數(shù)c得到的余數(shù)相同，則a，b的差一定能被c整除。 ③兩數(shù)的和除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)和。
�、軆蓴�(shù)的差除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)差。
�、輧蓴�(shù)的積除以m的余數(shù)等于這兩個數(shù)分別除以m的余數(shù)積。
9．完全平方數(shù)性質(zhì)
�、倨椒讲睿� A-B=（A+B）（A-B），其中我們還得注意A+B， A-B同奇偶性。 ②約數(shù)：約數(shù)個數(shù)為奇數(shù)個的是完全平方數(shù)。
約數(shù)個數(shù)為3的是質(zhì)數(shù)的平方。
③質(zhì)因數(shù)分解：把數(shù)字分解，使他滿足積是平方數(shù)。
�、芷椒胶�。
10．孫子定理（中國剩余定理）
11．輾轉(zhuǎn)相除法
12．數(shù)論解題的常用方法：
枚舉、歸納、反證、構(gòu)造、配對、估計
22
三、 幾何圖形
1． 平面圖形
�、哦噙呅蔚膬�(nèi)角和
N邊形的內(nèi)角和=(N-2)×180°
�、频确e變形（位移、割補）
�、� 三角形內(nèi)等底等高的三角形
�、� 平行線內(nèi)等底等高的三角形
�、� 公共部分的傳遞性
�、� 極值原理（變與不變）
�、侨切蚊娣e與底的正比關系
S1︰S2 =a︰b ； S1︰S2=S4︰S3 或者S1×S3=S2×S4 ⑷相似三角形性質(zhì)（份數(shù)、比例）
�、賏bch ; S1︰S2=a2︰A2
ABCH
2②S1︰S3︰S2︰S4= a︰b2︰ab︰ab ; S=（a+b）2
�、裳辔捕ɡ�
例如弦圖中長短邊長的關系。
�、探M合圖形的'思考方法
① 化整為零
�、� 先補后去
�、� 正反結(jié)合
2． 立體圖形
�、乓�(guī)則立體圖形的表面積和體積公式
�、撇灰�(guī)則立體圖形的表面積
整體觀照法
�、求w積的等積變形
①水中浸放物體：V升水=V物
�、跍y啤酒瓶容積：V=V空氣+V水
⑷三視圖與展開圖
最短線路與展開圖形狀問題
�、扇旧珕栴}
幾面染色的塊數(shù)與“芯”、棱長、頂點、面數(shù)的關系。
四、 典型應用題
1． 植樹問題
�、匍_放型與封閉型
�、陂g隔與株數(shù)的關系
2． 方陣問題
外層邊長數(shù)-2=內(nèi)層邊長數(shù)
（外層邊長數(shù)-1）×4=外周長數(shù)
外層邊長數(shù)2-中空邊長數(shù)2=實面積數(shù)
3． 列車過橋問題
�、佘囬L+橋長=速度×時間
②車長甲+車長乙=速度和×相遇時間
③車長甲+車長乙=速度差×追及時間
列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題 車長=速度和×相遇時間
車長=速度差×追及時間
4． 年齡問題
差不變原理
5． 雞兔同籠
假設法的解題思想
6． 牛吃草問題
原有草量=（牛吃速度-草長速度）×時間
7． 平均數(shù)問題
8． 盈虧問題
分析差量關系
9． 和差問題
10． 和倍問題
11． 差倍問題
12． 逆推問題
還原法，從結(jié)果入手
13． 代換問題
列表消元法
等價條件代換
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