八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)北師大版
引導(dǎo)語(yǔ)：考試是教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，考試的檢測(cè)與反饋功能是教育目標(biāo)管理的主要手段。以下是八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)要點(diǎn)(北師大版)，供同學(xué)們參考：
認(rèn)識(shí)無(wú)理數(shù)
1.無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù)無(wú)限小數(shù)分：為無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù)，其中無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，只有無(wú)限不循環(huán)的小數(shù)才是無(wú)理數(shù)。
2.無(wú)理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)和零。受思維習(xí)慣的影響，有些同學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)為正無(wú)理數(shù)與負(fù)無(wú)理數(shù)之間應(yīng)有零，零也是無(wú)理數(shù)，其實(shí)零是一個(gè)有理數(shù)，因此，無(wú)理數(shù)只分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù)兩類。
3.帶根號(hào)的數(shù)是無(wú)理數(shù)。是有理數(shù)2， 是有理數(shù)-2，可見(jiàn)帶根號(hào)的數(shù)不一定是無(wú)理數(shù)。
4.無(wú)理數(shù)是用根號(hào)形式表示的數(shù)。是無(wú)理數(shù)，但并不是用根號(hào)形式表示的，再如：0.1010010001(兩個(gè)1之間依次多一個(gè))，亦為不帶根號(hào)的無(wú)理數(shù)。
5.無(wú)理數(shù)是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)。無(wú)理數(shù)并非由開(kāi)方的結(jié)果來(lái)定義的，事實(shí)上，如 ，0.232232223，等無(wú)理數(shù)，都不是由開(kāi)方得到的。
6.兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和、差、積、商仍是無(wú)理數(shù)。兩個(gè)無(wú)理數(shù)的和，差，積，商不一定是無(wú)理數(shù)，如：等都是有理數(shù)。
7.無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的乘積是無(wú)理數(shù)。這種說(shuō)法是錯(cuò)誤的!由 等似乎易見(jiàn)無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的積是無(wú)理數(shù)，就下肯定結(jié)論，錯(cuò)了!如 等足以推翻以上結(jié)論。8.有些無(wú)理數(shù)是分?jǐn)?shù)。因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)屬于有理數(shù)，且無(wú)理數(shù)與有理數(shù)是兩類不同的數(shù)，所以說(shuō)，無(wú)理數(shù)不可能寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，當(dāng)然，有些無(wú)理數(shù)可以借助分?jǐn)?shù)線來(lái)表示。如 ，但一定要注意它并不是分?jǐn)?shù)。
9.無(wú)理數(shù)比有理數(shù)少。這種說(shuō)法錯(cuò)誤，無(wú)理數(shù)在人們生產(chǎn)和生活中使用的少一些，但并不是說(shuō)無(wú)理數(shù)就少一些，我們平常的計(jì)算中沒(méi)有特別需要時(shí)，習(xí)慣地把一些無(wú)理數(shù)按要求通過(guò)取近似值的方法用有理數(shù)來(lái)表示，這樣似乎就覺(jué)得使用無(wú)理數(shù)少一些，實(shí)際上，無(wú)理數(shù)也有無(wú)限個(gè)且比有理數(shù)多得多。
10.一個(gè)無(wú)理數(shù)的平方一定是有理數(shù)。這種說(shuō)法錯(cuò)誤，不要誤認(rèn)為只有 等無(wú)理數(shù)，如 等也是無(wú)理數(shù)，顯然 等不是有理數(shù)。
平方根
如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根。0的平方根是0。負(fù)數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不能開(kāi)平方，只有在正數(shù)范圍內(nèi)，才可以開(kāi)平方根。例如：-1的平方根為i，-9的平方根為3i。
平方根包含了算術(shù)平方根，算術(shù)平方根是平方根中的一種。
平方根和算術(shù)平方根都只有非負(fù)數(shù)才有。
被開(kāi)方數(shù)是乘方運(yùn)算里的冪。
求平方根可通過(guò)逆運(yùn)算平方來(lái)求。
開(kāi)平方：求一個(gè)非負(fù)數(shù)a的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方，其中a叫做被開(kāi)方數(shù)。
若x的平方等于a，那么x就叫做a的平方根，即√a=x
立方根
1、平方根的意義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根(或二次方根)。
注意：這樣的數(shù)常常有兩個(gè)。
2、平方根的性質(zhì)：
(1)一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);如9的平方根是±3。
(2)0的平方根是0本身;
(3)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。
3.平方根的表示方法: 正數(shù)a的平方根表示為“±
4.算術(shù)平方根:正數(shù)a的正的平方根也叫做a的算術(shù)平方根。記作根號(hào)a。0的平方根0，也叫做0的算術(shù)平方根。
6.立方根和開(kāi)立方同平方根開(kāi)平方的概念類似。
易犯錯(cuò)誤：
1.算術(shù)平方根與平方根混淆，例如出現(xiàn)100的平方根等于10的錯(cuò)誤.
2.根號(hào)a表示的正數(shù)a的平方根。蘊(yùn)含條件a≥0。
估算
估算的方法
1.四舍五入
例題:2的算數(shù)平方根(保留到0.01)
解:根號(hào)2=1.414.....≈1.41
2.進(jìn)一法
例題:一支筆2.6元，四支需多少錢(qián)(保留到整數(shù))
解:2.6*4=10.4元≈11元
如果四舍五入的話是10元，是不夠的，所以是要進(jìn)上去的
3.去尾法
例題:有20元，買3元一支的筆，可賣多少支?
解:20/3=6.6666....支≈6支
如果四舍五入的話是7支，買不到，所以是要去掉的
按照一般方法就是把854估做840，840除以7等于120.但這樣在尺度上讓學(xué)生不好把握.我們可以直接算出854除以7等于122.再看122最接近那個(gè)整十或整百數(shù).我們不難看出122字接近120，所以估算結(jié)果等于120.這樣學(xué)生通過(guò)求除法的準(zhǔn)確值，再找出商最接近的整十或整百數(shù)就容易多了
比如2個(gè)數(shù)或多個(gè)數(shù)相乘或則相加、相減、相除，我們不能很快且正確的算出來(lái)，就是只有打開(kāi)的算出來(lái)。
實(shí)數(shù)
實(shí)數(shù)，是有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的總稱。數(shù)學(xué)上，實(shí)數(shù)定義為與數(shù)軸上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的數(shù)。實(shí)數(shù)可以直觀地看作有限小數(shù)與無(wú)限小數(shù)，它們能把數(shù)軸“填滿”。但僅僅以列舉的方式不能描述實(shí)數(shù)的整體。實(shí)數(shù)和虛數(shù)共同構(gòu)成復(fù)數(shù)。
1、實(shí)數(shù)的分類：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)
2、數(shù)軸：規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫數(shù)軸.實(shí)數(shù)和數(shù)軸上點(diǎn)一一對(duì)應(yīng).
3、相反數(shù)：符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)，叫做互為相反數(shù).a的相反數(shù)是-a，0的相反數(shù)是0. (若a與b護(hù)衛(wèi)相反數(shù)，則a+b=0)
4、絕對(duì)值：在數(shù)軸上表示數(shù)a的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫數(shù)a的絕對(duì)值，記作∣a∣，正數(shù)的絕對(duì)值是它本身;負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù);0的絕對(duì)值是0.
5、倒數(shù)：乘積為1的兩個(gè)數(shù)
6、乘方：求相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫乘方，乘方運(yùn)算的結(jié)果叫冪.(平方和立方)
7、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根(也叫做二次方根).一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù);0只有一個(gè)平方根，它是0本身;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.(算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0.)
二次根式
1.二次根式：式子(≥0)叫做二次根式。
2.最簡(jiǎn)二次根式：
(1)最簡(jiǎn)二次根式的定義：
①被開(kāi)方數(shù)是整數(shù)，因式是整式;
②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的數(shù)或因式;
�、鄯帜钢胁缓�。
(2)最簡(jiǎn)二次根式必須同時(shí)滿足下列條件：
①被開(kāi)方數(shù)中不含開(kāi)方開(kāi)的盡的因數(shù)或因式;
�、诒婚_(kāi)方數(shù)中不含分母;
③分母中不含根式。
3.同類二次根式(可合并根式)：
幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類二次根式，即可以合并的兩個(gè)根式。
4.二次根式的性質(zhì)
(1)非負(fù)性：是一個(gè)非負(fù)數(shù).
注意：此性質(zhì)可作公式記住，后面根式運(yùn)算中經(jīng)常用到.
(2) .注意：此性質(zhì)既可正用，也可反用，反用的意義在于，可以把任意一個(gè)非負(fù)數(shù)或非負(fù)代數(shù)式寫(xiě)成完全平方的形式：
(3)注意：
�、僮帜覆灰欢ㄊ钦龜�(shù).
�、谀荛_(kāi)得盡方的因式移到根號(hào)外時(shí)，必須用它的算術(shù)平方根代替.
�、劭梢频礁�(hào)內(nèi)的因式，必須是非負(fù)因式，如果因式的值是負(fù)的，應(yīng)把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外.
(4)公式與的區(qū)別與聯(lián)系：
�、俦硎厩笠粋�(gè)數(shù)的平方的算術(shù)根，a的范圍是一切實(shí)數(shù).
�、诒硎疽粋�(gè)數(shù)的算術(shù)平方根的平方，a的范圍是非負(fù)數(shù).
�、� 和的運(yùn)算結(jié)果都是非負(fù)的.
八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末重點(diǎn)筆記
1.全等三角形：兩個(gè)三角形的形狀、大小、都一樣時(shí)，其中一個(gè)可以經(jīng)過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱等運(yùn)動(dòng)(或稱變換)使之與另一個(gè)重合，這兩個(gè)三角形稱為全等三角形。
2.三角形全等的判定公理及推論有：“邊角邊”簡(jiǎn)稱“SAS”“角邊角”簡(jiǎn)稱“ASA”“邊邊邊”簡(jiǎn)稱“SSS”“角角邊”簡(jiǎn)稱“AAS”斜邊和直角邊相等的兩直角三角形(HL)。
3.角平分線推論：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在叫的平分線上。
4.證明兩三角形全等或利用它證明線段或角的相等的基本方法步驟：
�、俅_定已知條件(包括隱含條件，如公共邊、公共角、對(duì)頂角、角平分線、中線、高、等腰三角形、等所隱含的邊角關(guān)系)
�、诨仡櫲切闻卸�，搞清我們還需要什么。
�、壅_地書(shū)寫(xiě)證明格式(順序和對(duì)應(yīng)關(guān)系從已知推導(dǎo)出要證明的問(wèn)題)。
軸對(duì)稱知識(shí)概念
1.對(duì)稱軸：如果一個(gè)圖形沿某條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個(gè)圖形叫做軸對(duì)稱圖形;這條直線叫做對(duì)稱軸。
2.性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。角平分線上的點(diǎn)到角兩邊距離相等。線段垂直平分線上的任意一點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。軸對(duì)稱圖形上對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。
3.等腰三角形的性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等，(等邊對(duì)等角)
4.等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合，簡(jiǎn)稱為“三線合一”。
5.等腰三角形的判定：等角對(duì)等邊。
6.等邊三角形角的特點(diǎn)：三個(gè)內(nèi)角相等，等于60°，
7.等邊三角形的判定：三個(gè)角都相等的三角形是等腰三角形。有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形，有兩個(gè)角是60°的三角形是等邊三角形。
8.直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。
9.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
10.同底數(shù)冪的乘法法則:冪的乘方法則：(m，n都是正數(shù))
11.整式的乘法
(1)單項(xiàng)式乘法法則:單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)、相同字母分別相乘，對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。
(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘:單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，是通過(guò)乘法對(duì)加法的分配律，把它轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，即單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，就是用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
(3)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)乘以另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。
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