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2016年南寧市中考數(shù)學(xué)試題及答案
中考，就是初中升高中的考試，是建立在九年義務(wù)教育基礎(chǔ)上的選拔。下面百分網(wǎng)小編為大帶來(lái)一份2016年南寧市中考數(shù)學(xué)試題，文末有答案，希望能對(duì)大家有幫助，更多內(nèi)容歡迎關(guān)注應(yīng)屆畢業(yè)生網(wǎng)!
一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分)
1.﹣2的相反數(shù)是( )
A.﹣2 B.0 C.2 D.4
2.把一個(gè)正六棱柱如圖1擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是( )
A. B. C. D.
3.據(jù)《南國(guó)早報(bào)》報(bào)道：2016年廣西高考報(bào)名人數(shù)約為332000人，創(chuàng)歷史新高，其中數(shù)據(jù)332000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104
4.已知正比例函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，m)，則m的值為( )
A. B.3 C.﹣ D.﹣3
5.某校規(guī)定學(xué)生的學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)滿分為100分，其中研究性學(xué)習(xí)成績(jī)占40%，期末卷面成績(jī)占60%，小明的兩項(xiàng)成績(jī)(百分制)依次是80分，90分，則小明這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)是( )
A.80分 B.82分 C.84分 D.86分
6.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD(D為底邊中點(diǎn))的長(zhǎng)是( )
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
7.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a2﹣a=a B.ax+ay=axy C.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
8.下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
9.如圖，點(diǎn)A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40°，則∠P的度數(shù)為( )
A.140° B.70° C.60° D.40°
10.超市店慶促銷，某種書包原價(jià)每個(gè)x元，第一次降價(jià)打“八折”，第二次降價(jià)每個(gè)又減10元，經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為90元，則得到方程( )
A.0.8x﹣10=90 B.0.08x﹣10=90 C.90﹣0.8x=10 D.x﹣0.8x﹣10=90
11.有3個(gè)正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于( )
A.1： B.1：2 C.2：3 D.4：9
12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y= x的圖象如圖所示，則方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能確定
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
13.若二次根式 有意義，則x的取值范圍是 .
14.如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1=50°，則∠A= .
15.分解因式：a2﹣9= .
16.如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，有3個(gè)小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意一個(gè)白色的小正方形(2016•南寧)如圖所示，反比例函數(shù)y= (k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為 .
18.觀察下列等式：
在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第 層.
三、解答題(本大題共8小題，共66分)
19.計(jì)算：|﹣2|+4cos30°﹣( )﹣3+ .
20.解不等式組 ，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)
(1)請(qǐng)畫出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1;
(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的 ，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值.
22.在圖“書香八桂，閱讀圓夢(mèng)”讀數(shù)活動(dòng)中，某中學(xué)設(shè)置了書法、國(guó)學(xué)、誦讀、演講、征文四個(gè)比賽項(xiàng)目(2016•南寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng).
24.在南寧市地鐵1號(hào)線某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的 .
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天?
(2)為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是 ，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍(1≤m≤2)，若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的幾倍?
25.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60°.
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B、C重合)，求證：BE=CF;
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15°時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離.
26.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A(1，1)，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求證：△ABC是直角三角形;
(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案與試題解析
一、選擇題(本大題共12小題，每小題3分，共36分)
1.﹣2的相反數(shù)是( )
A.﹣2 B.0 C.2 D.4
【考點(diǎn)】相反數(shù).
【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)解答.
【解答】解：﹣2的相反數(shù)是2.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相反數(shù)的定義，是基礎(chǔ)題，熟記概念是解題的關(guān)鍵.
2.把一個(gè)正六棱柱如圖1擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】平行投影.
【分析】根據(jù)平行投影特點(diǎn)以及圖中正六棱柱的擺放位置即可求解.
【解答】解：把一個(gè)正六棱柱如圖擺放，光線由上向下照射此正六棱柱時(shí)的正投影是正六邊形.
故選A.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行投影特點(diǎn)，不同位置，不同時(shí)間，影子的大小、形狀可能不同，具體形狀應(yīng)按照物體的外形即光線情況而定.
3.據(jù)《南國(guó)早報(bào)》報(bào)道：2016年廣西高考報(bào)名人數(shù)約為332000人，創(chuàng)歷史新高，其中數(shù)據(jù)332000用科學(xué)記數(shù)法表示為( )
A.0.332×106B.3.32×105C.3.32×104D.33.2×104
【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù).
【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù).確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值>1時(shí)，n是正數(shù);當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值<1時(shí)，n是負(fù)數(shù).
【解答】解：將332000用科學(xué)記數(shù)法表示為：3.32×105.
故選：B.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示方法.科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數(shù)，表示時(shí)關(guān)鍵要正確確定a的值以及n的值.
4.已知正比例函數(shù)y=3x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，m)，則m的值為( )
A. B.3 C.﹣ D.﹣3
【考點(diǎn)】一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征.
【分析】本題較為簡(jiǎn)單，把坐標(biāo)代入解析式即可求出m的值.
【解答】解：把點(diǎn)(1，m)代入y=3x，可得：m=3，
故選B
【點(diǎn)評(píng)】此題考查一次函數(shù)的問(wèn)題，利用待定系數(shù)法直接代入求出未知系數(shù)m，比較簡(jiǎn)單.
5.某校規(guī)定學(xué)生的學(xué)期數(shù)學(xué)成績(jī)滿分為100分，其中研究性學(xué)習(xí)成績(jī)占40%，期末卷面成績(jī)占60%，小明的兩項(xiàng)成績(jī)(百分制)依次是80分，90分，則小明這學(xué)期的數(shù)學(xué)成績(jī)是( )
A.80分 B.82分 C.84分 D.86分
【考點(diǎn)】加權(quán)平均數(shù).
【分析】利用加權(quán)平均數(shù)的公式直接計(jì)算即可得出答案.
【解答】解：
由加權(quán)平均數(shù)的公式可知 = = =86，
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查加權(quán)平均數(shù)的計(jì)算，掌握加權(quán)平均數(shù)的公式 = 是解題的關(guān)鍵.
6.如圖，廠房屋頂人字形(等腰三角形)鋼架的跨度BC=10米，∠B=36°，則中柱AD(D為底邊中點(diǎn))的長(zhǎng)是( )
A.5sin36°米 B.5cos36°米 C.5tan36°米 D.10tan36°米
【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用.
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到DC=BD=5米，在Rt△ABD中，利用∠B的正切進(jìn)行計(jì)算即可得到AD的長(zhǎng)度.
【解答】解：∵AB=AC，AD⊥BC，BC=10米，
∴DC=BD=5米，
在Rt△ADC中，∠B=36°，
∴tan36°= ，即AD=BD•tan36°=5tan36°(米).
故選：C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用.解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于正確理解題意的基礎(chǔ)上建立數(shù)學(xué)模型，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.
7.下列運(yùn)算正確的是( )
A.a2﹣a=a B.ax+ay=axy C.m2•m4=m6D.(y3)2=y5
【考點(diǎn)】?jī)绲某朔脚c積的乘方;合并同類項(xiàng);同底數(shù)冪的乘法.
【分析】結(jié)合選項(xiàng)分別進(jìn)行冪的乘方與積的乘方、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法等運(yùn)算，然后選擇正確答案.
【解答】解：A、a2和a不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
B、ax和ay不是同類項(xiàng)，不能合并，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;
C、m2•m4=m6，計(jì)算正確，故本選項(xiàng)正確;
D、(y3)2=y6≠y5，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了冪的乘方與積的乘方、合并同類項(xiàng)、同底數(shù)冪的乘法的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵在于掌握各知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)算法則.
8.下列各曲線中表示y是x的函數(shù)的是( )
A. B. C. D.
【考點(diǎn)】函數(shù)的概念.
【分析】根據(jù)函數(shù)的意義求解即可求出答案.
【解答】解：根據(jù)函數(shù)的意義可知：對(duì)于自變量x的任何值，y都有唯一的值與之相對(duì)應(yīng)，故D正確.
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)的定義.注意函數(shù)的意義反映在圖象上簡(jiǎn)單的判斷方法是：做垂直x軸的直線在左右平移的過(guò)程中與函數(shù)圖象只會(huì)有一個(gè)交點(diǎn).
9.如圖，點(diǎn)A，B，C，P在⊙O上，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40°，則∠P的度數(shù)為( )
A.140° B.70° C.60° D.40°
【考點(diǎn)】圓周角定理.
【分析】先根據(jù)四邊形內(nèi)角和定理求出∠DOE的度數(shù)，再由圓周角定理即可得出結(jié)論.
【解答】解：∵CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D，E，∠DCE=40°，
∴∠DOE=180°﹣40°=140°，
∴∠P= ∠DOE=70°.
故選B.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵.
10.超市店慶促銷，某種書包原價(jià)每個(gè)x元，第一次降價(jià)打“八折”，第二次降價(jià)每個(gè)又減10元，經(jīng)兩次降價(jià)后售價(jià)為90元，則得到方程( )
A.0.8x﹣10=90 B.0.08x﹣10=90 C.90﹣0.8x=10 D.x﹣0.8x﹣10=90
【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程.
【分析】設(shè)某種書包原價(jià)每個(gè)x元，根據(jù)題意列出方程解答即可.
【解答】解：設(shè)某種書包原價(jià)每個(gè)x元，可得：0.8x﹣10=90，
故選A
【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，能列出每次降價(jià)后的售價(jià).
11.有3個(gè)正方形如圖所示放置，陰影部分的面積依次記為S1，S2，則S1：S2等于( )
A.1： B.1：2 C.2：3 D.4：9
【考點(diǎn)】正方形的性質(zhì).
【分析】設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，再根據(jù)相似的性質(zhì)求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系，然后進(jìn)行計(jì)算即可得出答案.
【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x，根據(jù)圖形可得：
∵ = ，
∴ = ，
∴ = ，
∴S1= S正方形ABCD，
∴S1= x2，
∵ = ，
∴ = ，
∴S2= S正方形ABCD，
∴S2= x2，
∴S1：S2= x2： x2=4：9;
故選D.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正方形的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、正方形的面積公式，關(guān)鍵是根據(jù)題意求出S1、S2與正方形面積的關(guān)系.
12.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)和正比例函數(shù)y= x的圖象如圖所示，則方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根之和( )
A.大于0 B.等于0 C.小于0 D.不能確定
【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn).
【分析】設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2>0，a>0，設(shè)方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根為a，b再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系即可得出結(jié)論.
【解答】解：設(shè)ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，
∵由二次函數(shù)的圖象可知x1+x2>0，a>0，
∴﹣ >0.
設(shè)方程ax2+(b﹣ )x+c=0(a≠0)的兩根為a，b，則a+b=﹣ =﹣ + ，
∵a>0，
∴ >0，
∴a+b>0.
故選C.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，熟知拋物線與x軸的交點(diǎn)與一元二次方程根的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.
二、填空題(本大題共6小題，每小題3分，共18分)
13.若二次根式 有意義，則x的取值范圍是 x≥1 .
【考點(diǎn)】二次根式有意義的條件.
【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可知，被開方數(shù)大于等于0，列出不等式即可求出x的取值范圍.
【解答】解：根據(jù)二次根式有意義的條件，x﹣1≥0，
∴x≥1.
故答案為：x≥1.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二次根式有意義的條件，只要保證被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)即可.
14.如圖，平行線AB，CD被直線AE所截，∠1=50°，則∠A= 50° .
【考點(diǎn)】平行線的性質(zhì).
【分析】根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1=∠A.
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A=∠1，
∵∠1=50°，
∴∠A=50°，
故答案為50°.
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握兩直線平行，同位角相等.
15.分解因式：a2﹣9= (a+3)(a﹣3) .
【考點(diǎn)】因式分解-運(yùn)用公式法.
【分析】直接利用平方差公式分解因式進(jìn)而得出答案.
【解答】解：a2﹣9=(a+3)(a﹣3).
故答案為：(a+3)(a﹣3).
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，熟練應(yīng)用平方差公式是解題關(guān)鍵.
16.如圖，在4×4正方形網(wǎng)格中，有3個(gè)小正方形已經(jīng)涂黑，若再涂黑任意一個(gè)白色的小正方形(2016•南寧)如圖所示，反比例函數(shù)y= (k≠0，x>0)的圖象經(jīng)過(guò)矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)D.若矩形OABC的面積為8，則k的值為 2 .
【考點(diǎn)】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
【分析】過(guò)D作DE⊥OA于E，設(shè)D(m， )，于是得到OA=2m，OC= ，根據(jù)矩形的面積列方程即可得到結(jié)論.
【解答】解：過(guò)D作DE⊥OA于E，
設(shè)D(m， )，
∴OE=m.DE= ，
∵點(diǎn)D是矩形OABC的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，
∴OA=2m，OC= ，
∵矩形OABC的面積為8，
∴OA•OC=2m• =8，
∴k=2，
故答案為：2.
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，矩形的性質(zhì)，根據(jù)矩形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵.
18.觀察下列等式：
在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第 44 層.
【考點(diǎn)】規(guī)律型：數(shù)字的變化類.
【分析】先按圖示規(guī)律計(jì)算出每一層的第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù);發(fā)現(xiàn)第一個(gè)數(shù)分別是每一層層數(shù)的平方，那么只要知道2016介于哪兩個(gè)數(shù)的平方即可，通過(guò)計(jì)算可知：442<2016<452，則2016在第44層.
【解答】解：第一層：第一個(gè)數(shù)為12=1，最后一個(gè)數(shù)為22﹣1=3，
第二層：第一個(gè)數(shù)為22=4，最后一個(gè)數(shù)為23﹣1=8，
第三層：第一個(gè)數(shù)為32=9，最后一個(gè)數(shù)為24﹣1=15，
∵442=1936，452=2025，
又∵1936<2016<2025，
∴在上述數(shù)字寶塔中，從上往下數(shù)，2016在第44層，
故答案為：44
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了數(shù)學(xué)變化類的規(guī)律題，這類題的解題思路是：①?gòu)牡谝粋�(gè)數(shù)起，認(rèn)真觀察、仔細(xì)思考，能不能用平方或奇偶或加、減、乘、除等規(guī)律來(lái)表示;②利用方程來(lái)解決問(wèn)題，先設(shè)一個(gè)未知數(shù)，找到符合條件的方程即可;本題以每一行的第一個(gè)數(shù)為突破口，找出其規(guī)律，得出結(jié)論.
三、解答題(本大題共8小題，共66分)
19.計(jì)算：|﹣2|+4cos30°﹣( )﹣3+ .
【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算;負(fù)整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
【分析】直接利用絕對(duì)值的性質(zhì)以及特殊角的三角函數(shù)值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，進(jìn)而求出答案.
【解答】解：原式=2+4× ﹣8+2
=4 ﹣6.
【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)化簡(jiǎn)是解題關(guān)鍵.
20.解不等式組 ，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái).
【考點(diǎn)】解一元一次不等式組;在數(shù)軸上表示不等式的解集.
【分析】首先解每個(gè)不等式，兩個(gè)不等式的解集的公共部分就是不等式組的解集.
【解答】解： ，
解①得x≤1，
解②得x>﹣3，
，
不等式組的解集是：﹣3
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元一次不等式組的解法：解一元一次不等式組時(shí)，一般先求出其中各不等式的解集，再求出這些解集的公共部分，解集的規(guī)律：同大取大;同小取小;大小小大中間找;大大小小找不到.
21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A(2，2)，B(4，0)，C(4，﹣4)
(1)請(qǐng)畫出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1;
(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的 ，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫出△A2B2C2，并求出∠A2C2B2的正弦值.
【考點(diǎn)】作圖-位似變換;作圖-平移變換.
【分析】(1)將A、B、C三點(diǎn)分別向左平移6個(gè)單位即可得到的△A1B1C1;
(2)連接OA、OC，分別取OA、OB、OC的中點(diǎn)即可畫出△A2B2C2，求出直線AC與OB的交點(diǎn)，求出∠ACB的正弦值即可解決問(wèn)題.
【解答】解：(1)請(qǐng)畫出△ABC向左平移6個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的△A1B1C1，如圖1所示，
(2)以點(diǎn)O為位似中心，將△ABC縮小為原來(lái)的 ，得到△A2B2C2，請(qǐng)?jiān)趛軸右側(cè)畫出△A2B2C2，如圖2所示，
∵A(2，2)，C(4，﹣4)，B(4，0)，
∴直線AC解析式為y=﹣3x+8，與x軸交于點(diǎn)D( ，0)，
∵∠CBD=90°，
∴CD= = ，
∴sin∠DCB= = = .
∵∠A2C2B2=∠ACB，
∴sin∠A2C2B2=sin∠DCB= .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查位似變換、平移變換等知識(shí)，銳角三角函數(shù)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解位似變換、平移變換的概念，記住銳角三角函數(shù)的定義，屬于中考常考題型.
22.在圖“書香八桂，閱讀圓夢(mèng)”讀數(shù)活動(dòng)中，某中學(xué)設(shè)置了書法、國(guó)學(xué)、誦讀、演講、征文四個(gè)比賽項(xiàng)目(2016•南寧)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD是角平分線，點(diǎn)O在AB上，以點(diǎn)O為圓心，OB為半徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交BC于點(diǎn)E.
(1)求證：AC是⊙O的切線;
(2)若OB=10，CD=8，求BE的長(zhǎng).
【考點(diǎn)】切線的判定.
【專題】計(jì)算題;與圓有關(guān)的位置關(guān)系.
【分析】(1)連接OD，由BD為角平分線得到一對(duì)角相等，根據(jù)OB=OD，等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，等量代換得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，進(jìn)而確定出OD與BC平行，利用兩直線平行同位角相等得到∠ODA為直徑，即可得證;
(2)由OD與BC平行得到三角形OAD與三角形BAC相似，由相似得比例求出OA的長(zhǎng)，進(jìn)而確定出AB的長(zhǎng)，連接EF，過(guò)O作OG垂直于BC，利用勾股定理求出BG的長(zhǎng)，由BG+GC求出BC的長(zhǎng)，再由三角形BEF與三角形BAC相似，由相似得比例求出BE的長(zhǎng)即可.
【解答】(1)證明：連接OD，
∵BD為∠ABC平分線，
∴∠1=∠2，
∵OB=OD，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OD∥BC，
∵∠C=90°，
∴∠ODA=90°，
則AC為圓O的切線;
(2)解：過(guò)O作OG⊥BC，
∴四邊形ODCG為矩形，
∴GC=OD=OB=10，OG=CD=8，
在Rt△OBG中，利用勾股定理得：BG=6，
∴BC=BG+GC=6+10=16，
∵OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴ = ，即 = ，
解得：OA= ，
∴AB= +10= ，
連接EF，
∵BF為圓的直徑，
∴∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠C=90°，
∴EF∥AC，
∴ = ，即 = ，
解得：BE=12.
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵.
24.在南寧市地鐵1號(hào)線某段工程建設(shè)中，甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要150天，甲隊(duì)單獨(dú)施工30天后增加乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了15天，共完成總工程的 .
(1)求乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要多少天?
(2)為了加快工程進(jìn)度，甲、乙兩隊(duì)各自提高工作效率，提高后乙隊(duì)的工作效率是 ，甲隊(duì)的工作效率是乙隊(duì)的m倍(1≤m≤2)，若兩隊(duì)合作40天完成剩余的工程，請(qǐng)寫出a關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的幾倍?
【考點(diǎn)】一次函數(shù)的應(yīng)用;分式方程的應(yīng)用.
【分析】(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)題意得方程即可得到結(jié)論;
(2)根據(jù)題意得( + )×40= ，即可得到a=60m+60，根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)得到 = ，即可得到結(jié)論.
【解答】解：(1)設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，
根據(jù)題意得 ×(30+15)+ ×15= ，
解得：x=450，
經(jīng)檢驗(yàn)x=450是方程的根，
答：乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要450天;
(2)根據(jù)題意得( + )×40= ，
∴a=60m+60，
∵60>0，
∴a隨m的增大增大，
∴當(dāng)m=1時(shí)， 最大，
∴ = ，
∴ ÷ =7.5倍，
答：乙隊(duì)的最大工作效率是原來(lái)的7.5倍
【點(diǎn)評(píng)】此題考查了一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用.分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，能根據(jù)題意求得函數(shù)解析式，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用.
25.已知四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的兩邊分別與射線CB，DC相交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且∠EAF=60°.
(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB的中點(diǎn)時(shí)，直接寫出線段AE，EF，AF之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)E是線段CB上任意一點(diǎn)時(shí)(點(diǎn)E不與B、C重合)，求證：BE=CF;
(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段CB的延長(zhǎng)線上，且∠EAB=15°時(shí)，求點(diǎn)F到BC的距離.
【考點(diǎn)】四邊形綜合題.
【分析】(1)結(jié)論AE=EF=AF.只要證明AE=AF即可證明△AEF是等邊三角形.
(2)欲證明BE=CF，只要證明△BAE≌△CAF即可.
(3)過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，根據(jù)FH=CF•cos30°，因?yàn)镃F=BE，只要求出BE即可解決問(wèn)題.
【解答】(1)解：結(jié)論AE=EF=AF.
理由：如圖1中，連接AC，
∵四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
∴AB=BC=CD=AD，∠B=∠D=60°，
∴△ABC，△ADC是等邊三角形，
∴∠BAC=∠DAC=60°
∵BE=EC，
∴∠BAE=∠CAE=30°，AE⊥BC，
∵∠EAF=60°，
∴∠CAF=∠DAF=30°，
∴AF⊥CD，
∴AE=AF(菱形的高相等)，
∴△AEF是等邊三角形，
∴AE=EF=AF.
(2)證明：如圖2中，∵∠BAC=∠EAF=60°，
∴∠BAE=∠CAE，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF，
∴BE=CF.
(3)解：過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥EC于點(diǎn)H，
∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，
∴∠AEB=45°，
在RT△AGB中，∵∠ABC=60°AB=4，
∴BG=2，AG=2 ，
在RT△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，
∴AG=GE=2 ，
∴EB=EG﹣BG=2 ﹣2，
∵△AEB≌△AFC，
∴AE=AF，EB=CF=2 ﹣2，∠AEB=∠AFC=45°，
∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF是等邊三角形，
∴∠AEF=∠AFE=60°
∵∠AEB=45°，∠AEF=60°，
∴∠CEF=∠AEF﹣∠AEB=15°，
在RT△EFH中，∠CEF=15°，
∴∠EFH=75°，
∵∠AFE=60°，
∴∠AFH=∠EFH﹣∠AFE=15°，
∵∠AFC=45°，∠CFH=∠AFC﹣∠AFH=30°，
在RT△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2 ﹣2，
∴FH=CF•cos30°=(2 ﹣2)• =3﹣ .
∴點(diǎn)F到BC的距離為3﹣ .
【點(diǎn)評(píng)】本題考查四邊形綜合題、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識(shí)解決問(wèn)題，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，屬于中考?jí)狠S題.
26.如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為A(1，1)，且與直線y=x﹣2交于B，C兩點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式及點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求證：△ABC是直角三角形;
(3)若點(diǎn)N為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作MN⊥x軸與拋物線交于點(diǎn)M，則是否存在以O(shè)，M，N為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題.
【分析】(1)可設(shè)頂點(diǎn)式，把原點(diǎn)坐標(biāo)代入可求得拋物線解析式，聯(lián)立直線與拋物線解析式，可求得C點(diǎn)坐標(biāo);
(2)分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，結(jié)合A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)可求得∠ABO=∠CBO=45°，可證得結(jié)論;
(3)設(shè)出N點(diǎn)坐標(biāo)，可表示出M點(diǎn)坐標(biāo)，從而可表示出MN、ON的長(zhǎng)度，當(dāng)△MON和△ABC相似時(shí)，利用三角形相似的性質(zhì)可得 = 或 = ，可求得N點(diǎn)的坐標(biāo).
【解答】解：
(1)∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1，1)，
∴設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)2+1，
又拋物線過(guò)原點(diǎn)，
∴0=a(0﹣1)2+1，解得a=﹣1，
∴拋物線解析式為y=﹣(x﹣1)2+1，
即y=﹣x2+2x，
聯(lián)立拋物線和直線解析式可得 ，解得 或 ，
∴B(2，0)，C(﹣1，﹣3);
(2)如圖，分別過(guò)A、C兩點(diǎn)作x軸的垂線，交x軸于點(diǎn)D、E兩點(diǎn)，
則AD=OD=BD=1，BE=OB+OE=2+1=3，EC=3，
∴∠ABO=∠CBO=45°，即∠ABC=90°，
∴△ABC是直角三角形;
(3)假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn)N，設(shè)N(x，0)，則M(x，﹣x2+2x)，
∴ON=|x|，MN=|﹣x2+2x|，
由(2)在Rt△ABD和Rt△CEB中，可分別求得AB= ，BC=3 ，
∵M(jìn)N⊥x軸于點(diǎn)N
∴∠ABC=∠MNO=90°，
∴當(dāng)△ABC和△MNO相似時(shí)有 = 或 = ，
�、佼�(dāng) = 時(shí)，則有 = ，即|x||﹣x+2|= |x|，
∵當(dāng)x=0時(shí)M、O、N不能構(gòu)成三角形，
∴x≠0，
∴|﹣x+2|= ，即﹣x+2=± ，解得x= 或x= ，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為( ，0)或( ，0);
�、诋�(dāng) = 時(shí)，則有 = ，即|x||﹣x+2|=3|x|，
∴|﹣x+2|=3，即﹣x+2=±3，解得x=5或x=﹣1，
此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(﹣1，0)或(5，0)，
綜上可知存在滿足條件的N點(diǎn)，其坐標(biāo)為( ，0)或( ，0)或(﹣1，0)或(5，0).
【點(diǎn)評(píng)】本題為二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及知識(shí)點(diǎn)有待定系數(shù)法、圖象的交點(diǎn)問(wèn)題、直角三角形的判定、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)及分類討論等.在(1)中注意頂點(diǎn)式的運(yùn)用，在(3)中設(shè)出N、M的坐標(biāo)，利用相似三角形的性質(zhì)得到關(guān)于坐標(biāo)的方程是解題的關(guān)鍵，注意相似三角形點(diǎn)的對(duì)應(yīng).本題考查知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度適中.
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