有關(guān)考研數(shù)學(xué)求數(shù)列極限的方法總結(jié)
總結(jié)是事后對某一階段的學(xué)習(xí)或工作情況作加以回顧檢查并分析評價的書面材料，它可以提升我們發(fā)現(xiàn)問題的能力，不如靜下心來好好寫寫總結(jié)吧。以下是小編整理的有關(guān)考研數(shù)學(xué)求數(shù)列極限的方法總結(jié)，希望對大家有所幫助。
考研高數(shù)求極限的方法指南
1、等價無窮小的轉(zhuǎn)化，(只能在乘除時候使用，但是不是說一定在加減時候不能用，前提是必須證明拆分后極限依然存在，e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等價于Ax等等。全部熟記(x趨近無窮的時候還原成無窮小)。
2、洛必達(dá)法則(大題目有時候會有暗示要你使用這個方法)。首先他的使用有嚴(yán)格的使用前提!必須是X趨近而不是N趨近!(所以面對數(shù)列極限時候先要轉(zhuǎn)化成求x趨近情況下的極限，當(dāng)然n趨近是x趨近的一種情況而已，是必要條件(還有一點數(shù)列極限的n當(dāng)然是趨近于正無窮的，不可能是負(fù)無窮!)必須是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)要存在!(假如告訴你g(x)，沒告訴你是否可導(dǎo)，直接用，無疑于找死!!)必須是0比0無窮大比無窮大!當(dāng)然還要注意分母不能為0。洛必達(dá)法則分為3種情況：0比0無窮比無窮時候直接用;0乘以無窮，無窮減去無窮(應(yīng)為無窮大于無窮小成倒數(shù)的關(guān)系)所以無窮大都寫成了無窮小的倒數(shù)形式了。通項之后這樣就能變成第一種的形式了;0的0次方，1的無窮次方，無窮的0次方。對于(指數(shù)冪數(shù))方程方法主要是取指數(shù)還取對數(shù)的方法，這樣就能把冪上的函數(shù)移下來了，就是寫成0與無窮的形式了，(這就是為什么只有3種形式的原因，LNx兩端都趨近于無窮時候他的冪移下來趨近于0，當(dāng)他的冪移下來趨近于無窮的時候，LNX趨近于0)。
3、泰勒公式(含有e的x次方的時候，尤其是含有正余弦的加減的時候要特變注意!)E的x展開sina，展開cosa，展開ln1+x，對題目簡化有很好幫助。
4、面對無窮大比上無窮大形式的解決辦法，取大頭原則最大項除分子分母!!!看上去復(fù)雜，處理很簡單!
5、無窮小于有界函數(shù)的處理辦法，面對復(fù)雜函數(shù)時候，尤其是正余弦的復(fù)雜函數(shù)與其他函數(shù)相乘的時候，一定要注意這個方法。面對非常復(fù)雜的函數(shù)，可能只需要知道它的范圍結(jié)果就出來了!
6、夾逼定理(主要對付的是數(shù)列極限!)這個主要是看見極限中的函數(shù)是方程相除的形式，放縮和擴大。
7、等比等差數(shù)列公式應(yīng)用(對付數(shù)列極限)(q絕對值符號要小于1)。
8、各項的拆分相加(來消掉中間的大多數(shù))(對付的還是數(shù)列極限)可以使用待定系數(shù)法來拆分化簡函數(shù)。
9、求左右極限的方式(對付數(shù)列極限)例如知道Xn與Xn+1的關(guān)系，已知Xn的極限存在的情況下，xn的極限與xn+1的極限時一樣的，因為極限去掉有限項目極限值不變化。
10、兩個重要極限的應(yīng)用。這兩個很重要!對第一個而言是X趨近0時候的sinx與x比值。第2個就如果x趨近無窮大，無窮小都有對有對應(yīng)的形式(第2個實際上是用于函數(shù)是1的無窮的形式)(當(dāng)?shù)讛?shù)是1的時候要特別注意可能是用地兩個重要極限)
11、還有個方法，非常方便的方法，就是當(dāng)趨近于無窮大時候，不同函數(shù)趨近于無窮的速度是不一樣的!x的x次方快于x!快于指數(shù)函數(shù)，快于冪數(shù)函數(shù)，快于對數(shù)函數(shù)(畫圖也能看出速率的快慢)!!當(dāng)x趨近無窮的時候，他們的比值的極限一眼就能看出來了。
12、換元法是一種技巧，不會對單一道題目而言就只需要換元，而是換元會夾雜其中。
13、假如要算的話四則運算法則也算一種方法，當(dāng)然也是夾雜其中的。
14、還有對付數(shù)列極限的一種方法，就是當(dāng)你面對題目實在是沒有辦法，走投無路的時候可以考慮轉(zhuǎn)化為定積分。一般是從0到1的形式。
15、單調(diào)有界的性質(zhì)，對付遞推數(shù)列時候使用證明單調(diào)性!
16、直接使用求導(dǎo)數(shù)的定義來求極限，(一般都是x趨近于0時候，在分子上f(x加減某個值)加減f(x)的形式，看見了要特別注意)(當(dāng)題目中告訴你F(0)=0時候f(0)導(dǎo)數(shù)=0的時候，就是暗示你一定要用導(dǎo)數(shù)定義!
函數(shù)是表皮，函數(shù)的性質(zhì)也體現(xiàn)在積分微分中。例如他的奇偶性質(zhì)他的周期性。還有復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)：
1、奇偶性，奇函數(shù)關(guān)于原點對稱偶函數(shù)關(guān)于軸對稱偶函數(shù)左右2邊的圖形一樣(奇函數(shù)相加為0);
2、周期性也可用在導(dǎo)數(shù)中在定積分中也有應(yīng)用定積分中的函數(shù)是周期函數(shù)積分的周期和他的一致;
3、復(fù)合函數(shù)之間是自變量與應(yīng)變量互換的關(guān)系;
4、還有個單調(diào)性。(再求0點的時候可能用到這個性質(zhì)!(可以導(dǎo)的函數(shù)的單調(diào)性和他的導(dǎo)數(shù)正負(fù)相關(guān)):o再就是總結(jié)一下間斷點的問題(應(yīng)為一般函數(shù)都是連續(xù)的所以間斷點是對于間斷函數(shù)而言的)間斷點分為第一類和第二類剪斷點。第一類是左右極限都存在的(左右極限存在但是不等跳躍的的間斷點或者左右極限存在相等但是不等于函數(shù)在這點的值可取的間斷點;第二類間斷點是震蕩間斷點或者是無窮極端點(這也說明極限即使不存在也有可能是有界的)。
考研高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)三點建議
近兩年的考題開始重視學(xué)科之間的聯(lián)系了，像今年概率大題中高數(shù)和概率的結(jié)合(利用級數(shù)求和算期望)，以及數(shù)一的考生比較頭疼的高數(shù)中解析幾何與線代線性方程組之間的聯(lián)系問題!能把這些綜合性稍強的題目做對做好，需要扎實的基本功!這就要求大家首先不能偏科，我們在講到數(shù)學(xué)三個科目復(fù)習(xí)的時候往往順口就是“高數(shù)、線代、概率”的順序，這并不代表線代、概率不重要或者概率最不重要，相反，任何一門偏科的話數(shù)學(xué)整體的分?jǐn)?shù)肯定不會高的!但是每個人肯定都有自己的喜好，不喜歡的相對就學(xué)的不好，這很正常，但是為了考上研究生，即使是正常的事情我們也要找到對策，然后解決這個問題。建議大家在復(fù)習(xí)的時候可以先選擇自己不擅長的科目，拿出一整段的時間來攻克這個難點，因為人的心理是越到最后越容易緊張，前期把最難的攻克，對于減輕日后復(fù)習(xí)的壓力是很有幫助的。
其次，近十年的題目中有幾年的題目都是將線代中的線性相關(guān)性、秩、方程組的解等等這些基本概念和平面解析幾何(高數(shù))中平面的直線方程、空間直線方程及平面方程在空間中的位置關(guān)系等結(jié)合在一起出題，這樣的題目得分率往往很低。因為首先平面解析幾何考生就不是很熟悉，線代的線性方程組這一章節(jié)又是比較晦澀難懂的部分，這兩塊結(jié)合到一起，不熟悉加上不太熟悉，就基本得不到分了!所以考生應(yīng)該做到知識全面，多做一些相關(guān)的題目練一下手，不至于到時候真遇到了完全沒有思路。最后，大家在復(fù)習(xí)的時候應(yīng)該自己把學(xué)科之間可能有聯(lián)系的地方做一下筆記，便于考前的集中突擊。比如概率里面分布函數(shù)和概率密度函數(shù)，這部分內(nèi)容和高數(shù)部分的由變上限積分確定的原函數(shù)有相似的地方，類似的知識點大家就應(yīng)該仔細(xì)總結(jié)一下，相似點在哪里，又有什么不同。如果考綱中要求的`知識點大家都能這樣去研究，相信再難考的學(xué)校也會留下你的。
針對2016考研試題特點，高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)應(yīng)該怎能規(guī)劃呢?在此給2017考研考生提出幾點建議，供大家參考。
1.重視基礎(chǔ)�？佳袛�(shù)學(xué)80%的題目是考基礎(chǔ)的，包括基本概念、基本理論和基本方法。基本概念比如極限、連續(xù)、可導(dǎo)、可微、可積等。基本理論有單調(diào)有界準(zhǔn)則和中值定理等�；痉椒ㄈ鐦O限的四則運算法則和羅必達(dá)法則等。從近十年考研數(shù)學(xué)真題來看，真正需要冥思苦想的偏題、難題只占少數(shù)。
2.重視計算�？佳袛�(shù)學(xué)80%都是計算題，所以你的計算能力不過關(guān)，一定拿不到高分。很多同學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時眼高手低，就喜歡看例題，看別人做好的題目。只是一味的被動的接受別人的東西，就永遠(yuǎn)也變不成自己的東西。而且考研數(shù)學(xué)題的技巧性強，同樣一個題目如果用常規(guī)方法做耗費的時間比較長，在考研中我們要尋求簡單的方法和技巧，達(dá)到做題準(zhǔn)、快。這里強調(diào)的是精練，不主張搞題海戰(zhàn)術(shù)。
3.重視歸納總結(jié)。我們在做出每一道題目的時候，都要從兩方面進行分析：這道題的類型如何求解和這道題中對你而言具有價值的知識點技巧等。每做完一道題目，要明白其解題思路，對于解題過程中所用到的方法、技巧進行歸納總結(jié)，如求極限、微分中值定理的使用，二重積分的計算等等。
考研高數(shù)極限的一般題型總結(jié)
1、求分段函數(shù)的極限，當(dāng)函數(shù)含有絕對值符號時，就很有可能是有分情況討論的了!當(dāng)X趨近無窮時候存在e的x次方的時候，就要分情況討論應(yīng)為E的x次方的函數(shù)正負(fù)無窮的結(jié)果是不一樣的!
2、極限中含有變上下限的積分如何解決嘞?說白了，就是說函數(shù)中現(xiàn)在含有積分符號，這么個符號在極限中太麻煩了你要想辦法把它搞掉!
解決辦法：
1、求導(dǎo)，邊上下限積分求導(dǎo)，當(dāng)然就能得到結(jié)果了，這不是很容易么?但是!有2個問題要注意!問題1：積分函數(shù)能否求導(dǎo)?題目沒說積分可以導(dǎo)的話，直接求導(dǎo)的話是錯誤的!!!!問題2：被積分函數(shù)中既含有t又含有x的情況下如何解決?
解決1的方法：就是方法2微分中值定理!微分中值定理是函數(shù)與積分的聯(lián)系!更重要的是他能去掉積分符號!
解決2的方法：當(dāng)x與t的函數(shù)是相互乘的關(guān)系的話，把x看做常數(shù)提出來，再求導(dǎo)數(shù)!!當(dāng)x與t是除的關(guān)系或者是加減的關(guān)系，就要換元了!(換元的時候積分上下限也要變化!)
3、求的是數(shù)列極限的問題時候:夾逼或者分項求和定積分都不可以的時候，就考慮x趨近的時候函數(shù)值，數(shù)列極限也滿足這個極限的，當(dāng)所求的極限是遞推數(shù)列的時候:首先:判斷數(shù)列極限存在極限的方法是否用的單調(diào)有界的定理。判斷單調(diào)性不能用導(dǎo)數(shù)定義!!數(shù)列是離散的，只能用前后項的比較(前后項相除相減)，數(shù)列極限是否有界可以使用歸納法最后對xn與xn+1兩邊同時求極限，就能出結(jié)果了!
4、涉及到極限已經(jīng)出來了讓你求未知數(shù)和位置函數(shù)的問題。解決辦法：主要還是運用等價無窮小或者是同階無窮小。因為例如:當(dāng)x趨近0時候f(x)比x=3的函數(shù)，分子必須是無窮小，否則極限為無窮，還有洛必達(dá)法則的應(yīng)用，主要是因為當(dāng)未知數(shù)有幾個時候，使用洛必達(dá)法則，可以消掉某些未知數(shù)，求其他的未知數(shù)。
5、極限數(shù)列涉及到的證明題，只知道是要構(gòu)造新的函數(shù)，但是不太會!!!
最后總結(jié)一下間斷點的題型：
首先，遇見間斷點的問題、連續(xù)性的問題、復(fù)合函數(shù)的問題，在某個點是否可導(dǎo)的問題。主要解決辦法一個是畫圖，你能畫出反例來當(dāng)然不可以了，你實在畫不出反例，就有可能是對的，尤其是那些考概念的題目，難度不小，對我而言證明很難的!我就畫圖!!我要能畫出來當(dāng)然是對的，在這里就要很好的理解一階導(dǎo)的性質(zhì)2階導(dǎo)的性質(zhì)，函數(shù)圖形的凹凸性，函數(shù)單調(diào)性函數(shù)的奇偶性在圖形中的反應(yīng)!(在這里尤其要注意分段函數(shù)!(例如分段函數(shù)導(dǎo)數(shù)存在還相等但是卻不連續(xù)這個性質(zhì)就比較特殊!!應(yīng)為一般的函數(shù)都是連續(xù)的);
方法2就是舉出反例!(在這里也是尤其要注意分段函數(shù)!!)例如一個函數(shù)是個離散函數(shù)，還有個也是離散函數(shù)他們的復(fù)合函數(shù)是否一定是離散的嘞?答案是NO，舉個反例就可以了;
方法3上面的都不行那就只好用定義了，主要是寫出公式，連續(xù)性的公式，求在某一點的導(dǎo)數(shù)的公式。
最后了，總結(jié)一下函數(shù)在某一點是否可導(dǎo)的問題：
1、首先函數(shù)連續(xù)不一定可導(dǎo)，分段函數(shù)x絕對值函數(shù)在(0，0)不可導(dǎo)，我的理解就是：不可導(dǎo)=在這點上圖形不光滑�？蓪�(dǎo)一定連續(xù)，因為他有個前提，在點的鄰域內(nèi)有定義，假如沒有這個前提，分段函數(shù)左右的導(dǎo)數(shù)也能相等;
主要考點1：函數(shù)在某一點可導(dǎo)，他的絕對值函數(shù)在這點是否可導(dǎo)?解決辦法：記住函數(shù)絕對值的導(dǎo)數(shù)等于f(x)除以(絕對值(f(x)))再乘以F(x)的導(dǎo)數(shù)。所以判斷絕對值函數(shù)不可導(dǎo)點，首先判斷函數(shù)等于0的點，找出這些點之后，這個導(dǎo)數(shù)并不是百分百不存在，原因很簡單分母是無窮小，假如分子式無窮小的話，絕對值函數(shù)的導(dǎo)數(shù)依然存在啊，所以還要找出f(a)導(dǎo)數(shù)的值，不為0的時候，絕對值函數(shù)在這點的導(dǎo)數(shù)是無窮，所以絕對值函數(shù)在這些點上是不可導(dǎo)的啊。
考點2：處處可導(dǎo)的函數(shù)與在，某一些點不可導(dǎo)但是連續(xù)的函數(shù)相互乘的函數(shù)，這個函數(shù)的不可導(dǎo)點的判斷，直接使用導(dǎo)數(shù)的定義就能證明，我的理解是f(x)連續(xù)的話但是不可導(dǎo)，左右導(dǎo)數(shù)存在但是不等，左右導(dǎo)數(shù)實際上就是X趨近a的2個極限，f(x)乘以G(x)的函數(shù)在x趨近a的時候，f(x)在這點上的這2個極限乘以g(a)，當(dāng)g(a)等于0的時候，左右極限乘以0當(dāng)然相等了，乘積的導(dǎo)數(shù)=f(a)導(dǎo)數(shù)乘以G(a)+G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F(a)，應(yīng)為f(a)導(dǎo)數(shù)乘以G(a)=0，前面推出來了，所以乘積函數(shù)在這點上就可導(dǎo)了。導(dǎo)數(shù)為G(a)導(dǎo)數(shù)乘以F(a)。
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