高一數(shù)學必修1知識點：冪函數(shù)的性質(zhì)考點

　　在平時的學習中，大家對知識點應該都不陌生吧？知識點是傳遞信息的基本單位，知識點對提高學習導航具有重要的作用。相信很多人都在為知識點發(fā)愁，以下是小編幫大家整理的高一數(shù)學必修1知識點：冪函數(shù)的性質(zhì)考點，希望能夠幫助到大家。

　　定義：

　　形如y=x^a（a為常數(shù)）的函數(shù)，即以底數(shù)為自變量冪為因變量，指數(shù)為常量的函數(shù)稱為冪函數(shù)。

　　定義域和值域：

　　當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

　　如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根[據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。當x為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的值域的不同情況如下：

　　在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域

　　性質(zhì)：

　　對于a的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　首先我們知道如果a=p/q，q和p都是整數(shù)，則x^（p/q）=q次根號（x的p次方），如果q是奇數(shù)，函數(shù)的定義域是R，如果q是偶數(shù)，函數(shù)的定義域是[0，+∞）。當指數(shù)n是負整數(shù)時，設a=-k，則x=1/（x^k），顯然x≠0，函數(shù)的定義域是（-∞，0）∪（0，+∞）。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：

　　排除了為0與負數(shù)兩種可能，即對于x>；0，則a可以是任意實數(shù)；

　　排除了為0這種可能，即對于x<；0和x>；0的所有實數(shù)，q不能是偶數(shù)；

　　排除了為負數(shù)這種可能，即對于x為大于且等于0的所有實數(shù)，a就不能是負數(shù)。

　　總結起來，就可以得到當a為不同的數(shù)值時，冪函數(shù)的定義域的不同情況如下：

　　如果a為任意實數(shù)，則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；

　　如果a為負數(shù)，則x肯定不能為0，不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定，即如果同時q為偶數(shù)，則x不能小于0，這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù)；如果同時q為奇數(shù)，則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

　　在x大于0時，函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

　　在x小于0時，則只有同時q為奇數(shù)，函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

　　而只有a為正數(shù)，0才進入函數(shù)的值域。

　　由于x大于0是對a的任意取值都有意義的'，因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

　　可以看到：

　�。�1）所有的圖形都通過（1，1）這點。

　�。�2）當a大于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞增的，而a小于0時，冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

　�。�3）當a大于1時，冪函數(shù)圖形下凹；當a小于1大于0時，冪函數(shù)圖形上凸。

　�。�4）當a小于0時，a越小，圖形傾斜程度越大。

　�。�5）a大于0，函數(shù)過（0，0）；a小于0，函數(shù)不過（0，0）點。

　�。�6）顯然冪函數(shù)無界。

　　1、函數(shù)性質(zhì)

　　冪函數(shù)的、圖象一定會出現(xiàn)在、第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在、第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的、奇偶性;冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi);如果冪函數(shù)圖象與、坐標軸相交，則交點一定是、原點.

　　正值性質(zhì)

　　當α>0時，冪函數(shù)y=x、α有下列性質(zhì)：

　　a、圖像都經(jīng)過點(1,1)(0,0);

　　b、函數(shù)的圖像在區(qū)間[0,+∞)上是、增函數(shù);

　　c、在第一象限內(nèi)，α>1時，、導數(shù)值逐漸增大;α=1時，導數(shù)為、常數(shù);0<α<1時，導數(shù)值逐漸減小，趨近于0;

　　負值性質(zhì)

　　當α<0時，冪函數(shù)y=x、α有下列性質(zhì)：

　　a、圖像都通過點(1,1);

　　b、圖像在區(qū)間(0，+∞)上是、減函數(shù);(內(nèi)容補充：若為X、-2，易得到其為、偶函數(shù)。利用對稱性，對稱軸是y軸，可得其圖像在區(qū)間(-∞，0)上單調(diào)遞增。其余偶函數(shù)亦是如此)

　　c、在、第一象限內(nèi)，有兩條漸近線(即坐標軸)，、自變量趨近0，函數(shù)值趨近+∞，自變量趨近+∞，函數(shù)值趨近0。

　　零值性質(zhì)

　　當α=0時，冪函數(shù)y=x、a有下列性質(zhì)：

　　a、y=x、0的圖像是直線y=1去掉一點(0,1)。它的圖像不是直線。

　　2、函數(shù)特性

　　對于α的取值為非零有理數(shù)，有必要分成幾種情況來討論各自的特性：

　　α為約分數(shù)

　　如果α=p/q，且p/q為、既約分數(shù)(即p，q、互質(zhì))，q和p都是、整數(shù)，則x^(p/q)=q次根號下(x的p次方)。如果q是、奇數(shù)，函數(shù)的、定義域是R;如果q是、偶數(shù)，函數(shù)的、定義域是[0,+∞)。

　　α為負整數(shù)

　　當指數(shù)α是、負整數(shù)時，設α=-k，則y=1/(x^k)，顯然x≠0，函數(shù)的定義域是(-∞，0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點，一是有可能作為分母而不能是0，一是有可能在、偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù)，那么我們就可以知道：

　　α小于0時，x不等于0;

　　α的分母為偶數(shù)時，x不小于0;

　　α的分母為奇數(shù)時，x取R。

　　3、函數(shù)判定

　　冪函數(shù)的一般形式是y=x，其中，n可為任何實數(shù)，但中學階段僅研究n為有理數(shù)的情形，這時可表示為y=x^(m/k)，其中m∈Z，k∈N*，且m，k互質(zhì)。特別，當k=1時為整數(shù)指數(shù)冪。

　　(1)當m，k都為正奇數(shù)時，如y=x，y=x，y=x^(3/5)等，定義域、值域均為R，為奇函數(shù);

　　(2)當m為負奇數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x^(-1)=1/x，y=x^(-3)=1/x，y=x^(-3/5)等，定義域、值域均為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，為奇函數(shù);

　　(3)當m為正奇數(shù)，k為正偶數(shù)時，如y=x^(1/2)，y=x^(3/4)等，定義域、值域均為[0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);

　　(4)當m為負奇數(shù)，k為正偶數(shù)時，如y=x^(-1/2)，y=x^(-3/4)等，定義域、值域均為(0，+∞)，為非奇非偶函數(shù);

　　(5)當m為正偶數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x，y=x^(2/3)等，定義域為R、值域為[0，+∞)，為偶函數(shù);

　　(6)當m為負偶數(shù)，k為正奇數(shù)時，如y=x^(-2)=1/x，y=x^(-2/3)等，定義域為{x∈R|x≠0}，也就是(-∞，0)∪(0，+∞)，值域為(0，+∞)，為偶函數(shù)。、[1]

　　4、討論分析

　　由于x大于0是對α的、任意取值都有意義的，因此下面給出冪函數(shù)在各、象限的各自情況�？梢钥吹剑�

　　(1)所有的圖像都通過(1，1)這點.(α≠0)、α>0時、圖象過點(、0，0)和(1，1)。

　　(2)、單調(diào)區(qū)間：

　　當α為整數(shù)時，α的正負性和奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

　�、佼敠翞檎�奇數(shù)時，圖像在定義域為R內(nèi)單調(diào)遞增;

　　②當α為正偶數(shù)時，圖像在定義域為第二象限內(nèi)單調(diào)遞減，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;

　　③當α為負奇數(shù)時，圖像在第一三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);

　�、墚敠翞樨撆紨�(shù)時，圖像在第二象限上單調(diào)遞增，在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減。

　　當α為分數(shù)時，α的正負性和分母的奇偶性決定了函數(shù)的單調(diào)性：

　　①當α>0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞增;

　�、诋敠�>0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞增;

　�、郛敠�<0，分母為偶數(shù)時，函數(shù)在第一象限內(nèi)單調(diào)遞減;

　�、墚敠�<0，分母為奇數(shù)時，函數(shù)在第一、三象限各象限內(nèi)單調(diào)遞減(但不能說在定義域R內(nèi)單調(diào)遞減);

　　(3)當α>1時，冪函數(shù)圖形下凹(豎拋);

　　當0<α<1時，冪函數(shù)圖形上凸(橫拋);

　　當α<0時，圖像為雙曲線。

　　(4)在(0,1)上，冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越靠近x軸;在(1，﹢∞)上冪函數(shù)中α越大，函數(shù)圖像越遠離x軸。

　　(5)當α<0時，α越小，圖形傾斜程度越大。

　　(6)顯然冪函數(shù)無界限。

　　(7)α=2n(n為整數(shù)),該函數(shù)為偶函數(shù)、{x|x≠0}。

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