考研數(shù)學極限七種運算方法及適用情況
在日常生活或是工作，學習中，大家一定都或多或少地接觸過一些數(shù)學知識，下面是小編為大家收集的有關考研數(shù)學極限七種運算方法及適用情況相關內容，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
基礎階段，我們的目標是三基本：基本概念、基本定理、基本方法，因此在基礎階段學習極限應從兩個方面著手，一是極限的定義，二是極限的運算。極限的定義在考試大綱中明確要求是理解，理解的意思并不是會背誦定義內容，而是能夠領會定義內容背后的所蘊含的含義，正確理解所代表的任意小以及代表的距離。
除定義本身以外，極限的趨近狀態(tài)也要注意區(qū)分，對于函數(shù)來說有六種趨近狀態(tài)：各自的含義要非常清楚，而數(shù)列只有一種趨近狀態(tài)，雖然沒有指明，但是數(shù)列里邊的隱含之意為。
極限的計算則需要首先掌握考研數(shù)學要考到的七種基本方法，知道七種方法適用的情況。
第一種是四則運算，此方法大家最為熟悉，但比較容易出錯，需要注意使用四則運算的前提是進行運算的函數(shù)極限必須都是存在的;
第二種是等價無窮小替換，這一方法比較受歡迎，而且很多極限計算的問題只需經(jīng)過等價無窮小代換就能得出結果，不需再使用其他方法，需要注意的是等價無窮小代換前提必須首先是無窮小才可代換，另外只能在乘積因子內代換(有些是可以在加減因子中代換的，但是在沒有十足把握的情況下應避免使用在加減因子中代換);
第三種是洛必達法則，適用于及型未定式，在使用的過程中需要注意一下幾點：
1、洛必達法則必須結合等價無窮小使用;
2、使用一次整理一次;
3、其他類型未定式需要轉化成及型才可以使用洛必達法則等;
第四種是泰勒展式，這是解決極限問題的利器，在基礎階段不必要求掌握如何使用，只需了解泰勒展式的內容即可，具體使用原則會在強化階段給出;
第五種是夾逼定理，主要用于解決含有不等式關系的極限問題，特別應用于個分式之和的數(shù)列極限問題，通過放縮分母來達到出現(xiàn)不等關系的目的;
第六種是定積分的定義，與夾逼定理相區(qū)別，夾逼定理解決的問題放縮分母后分子可用一個式子去表示，而定積分的定義可解決夾逼定理不能解決的問題，通過主要的三步：
1、提取
2、湊出
3、極限符號及連加符號改寫為，改寫為，改寫為計算定積分即可解決個分式之和的數(shù)列極限問題;
第七種方法是適用于數(shù)列極限的單調有界性定理，難點在于如何確定證明方向，一般單調有界性定理適用于由遞推公式給出的數(shù)列極限問題，因此可采取數(shù)學歸納法證明有界性，做差的辦法證明單調性。
以上，從大的框架結構上給出了極限一章極限定義和極限計算的常用方法，希望同學們對這一章有一個宏觀的把握，但是具體的細節(jié)掌握還要待進一步細致的學習。在復習的過程中要多留心多總結把重要的方法記錄下來，錯題記錄下來方便后續(xù)的自我檢查。
拓展閱讀：
考研數(shù)學的極限計算的答題技巧
極限的計算可以說是考研數(shù)學中一個必出的考點，它以怎樣的形式出現(xiàn)還會是很多研友們的困擾。
極限是考研數(shù)學每年必考的內容，在客觀題和主觀題中都有可能會涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事實上，由于這一部分內容的.基礎性，每年間接考查或與其他章節(jié)結合出題的比重也很大。極限的計算是核心考點，考題所占比重最大。熟練掌握求解極限的方法是得高分的關鍵。
常見題型
極限無外乎出這三個題型：求數(shù)列極限、求函數(shù)極限、已知極限求待定參數(shù)。熟練掌握求解極限的方法是的高分地關鍵，極限的運算法則必須遵從，兩個極限都存在才可以進行極限的運算，如果有一個不存在就無法進行運算。以下我們就極限的內容簡單總結下。
常用計算方法
極限的計算常用方法：四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限、利用泰勒公式求極限、夾逼定理、利用定積分求極限、單調有界收斂定理、利用連續(xù)性求極限等方法。
四則運算、洛必達法則、等價無窮小代換、兩個重要極限是常用方法，在基礎階段的學習中是重點，考生應該已經(jīng)非常熟悉，進入強化復習階段這些內容還應繼續(xù)練習達到熟練的程度；在強化復習階段考生會遇到一些較為復雜的極限計算，此時運用泰勒公式代替洛必達法則來求極限會簡化計算，熟記一些常見的麥克勞林公式往往可以達到事半功倍之效；夾逼定理、利用定積分定義常常用來計算某些和式的極限，如果最大的分母和最小的分母相除的極限等于1，則使用夾逼定理進行計算，如果最大的分母和最小的分母相除的極限不等于1，則湊成定積分的定義的形式進行計算；單調有界收斂定理可用來證明數(shù)列極限存在，并求遞歸數(shù)列的極限。
與極限計算相關知識點
1、連續(xù)、間斷點以及間斷點的分類：判斷間斷點類型的基礎是求函數(shù)在間斷點處的左右極限；
2、漸近線，(垂直、水平或斜漸近線)；
3、多元函數(shù)積分學，二重極限的討論計算難度較大，�？疾樽C明極限不存在。
數(shù)列極限的典型方法
下面我們重點講一下數(shù)列極限的典型方法。求數(shù)列極限可以歸納為以下三種形式。
1、抽象數(shù)列求極限
這類題一般以選擇題的形式出現(xiàn)，因此可以通過舉反例來排除。此外，也可以按照定義、基本性質及運算法則直接驗證。
2、求具體數(shù)列的極限，可以參考以下幾種方法：
a.利用單調有界必收斂準則求數(shù)列極限
首先，用數(shù)學歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調性和有界性，進而確定極限存在性；其次，通過遞推關系中取極限，解方程，從而得到數(shù)列的極限值。
b.利用函數(shù)極限求數(shù)列極限
如果數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，形如，則利用函數(shù)極限和數(shù)列極限的關系轉化為求函數(shù)極限，此時再用洛必達法則求解。
3、求N項和或項積數(shù)列的極限，主要有以下幾種方法：
a.利用特殊級數(shù)求和法
如果所求的項和式極限中通項可以通過錯位相消或可以轉化為極限已知的一些形式，那么通過整理可以直接得出極限結果。
b.利用冪級數(shù)求和法
若可以找到這個級數(shù)所對應的冪級數(shù)，則可以利用冪級數(shù)函數(shù)的方法把它所對應的和函數(shù)求出，再根據(jù)這個極限的形式代入相應的變量求出函數(shù)值。
c.利用定積分定義求極限
若數(shù)列每一項都可以提出一個因子，剩余的項可用一個通項表示，則可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。
d.利用夾逼定理求極限
若數(shù)列每一項都可以提出一個因子，剩余的項不能用一個通項表示，但是其余項是按遞增或遞減排列的，則可以考慮用夾逼定理求解。
e.求N項數(shù)列的積的極限
一般先取對數(shù)化為項和的形式，然后利用求解項和數(shù)列極限的方法進行計算。
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