關(guān)于重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的解題的幾個(gè)技巧
談到做實(shí)驗(yàn)，容易聯(lián)想到物理實(shí)驗(yàn)、化學(xué)實(shí)驗(yàn)、生物實(shí)驗(yàn)等;談到學(xué)數(shù)學(xué)，自然會聯(lián)想到做數(shù)學(xué)題。題海戰(zhàn)術(shù)幾乎成為數(shù)學(xué)學(xué)科的代名詞，難道做數(shù)學(xué)也可以做實(shí)驗(yàn)？
我們不妨先看一道中考題：
例1如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC，BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)B在y軸正半軸上運(yùn)動(dòng)（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C，D都在第一象限。
�。�1）當(dāng)∠BAO=45°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
（2）求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上。
（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍，并說明理由。
�。�1）（2）小題比較簡單，略去。
如上即是用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法解決了這道題。實(shí)際上，畫個(gè)草圖，通過觀察法就能確定線段的取值范圍。該方法形象直觀，是解決動(dòng)態(tài)問題的好方法。
數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：“學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容應(yīng)當(dāng)是現(xiàn)實(shí)的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的，這些內(nèi)容要有利于學(xué)生主動(dòng)地進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、驗(yàn)證、推理與交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)�！�
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了探索數(shù)學(xué)知識、檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)論（或假設(shè)）而進(jìn)行的某種操作或思維活動(dòng)，可以使學(xué)生逐步學(xué)會數(shù)學(xué)思維的物質(zhì)實(shí)踐方法，掌握數(shù)學(xué)研究的規(guī)律，培養(yǎng)理性思考問題的習(xí)慣，能夠解決學(xué)科的和實(shí)際生活的問題，并檢驗(yàn)和論證問題的結(jié)果。這是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)的人文價(jià)值所在！因此，應(yīng)當(dāng)重視數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的解題功能。
一、用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決一般與特殊的關(guān)系
有的人片面地認(rèn)為數(shù)學(xué)抽象、枯燥無味。其實(shí)，正是數(shù)學(xué)的抽象才帶來其應(yīng)用的廣泛性。數(shù)學(xué)主要研究一般規(guī)律，我們不可用特殊來代替一般。另一方面，特例或舉例卻是我們常用的探索方法，用特例可以推翻一個(gè)結(jié)論，用舉例也能解題。
例2如圖7，在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別從點(diǎn)B，D出發(fā)以同樣的速度沿邊BC，DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)。給出以下四個(gè)結(jié)論：①AE=AF;②∠CEF=∠CFE;③當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF是等邊三角形;④當(dāng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積最大。上述結(jié)論中正確的`序號有_________。
分析①②③易證是正確的。我們通過實(shí)驗(yàn)的方法來解決問題④。通過實(shí)驗(yàn)的方法，發(fā)現(xiàn)當(dāng)E，F(xiàn)兩點(diǎn)沒有運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEF的面積為菱形面積的一半，當(dāng)E，F(xiàn)分別為邊BC，DC的中點(diǎn)時(shí)，△AEF的面積應(yīng)是菱形面積的一半減去△CEF的面積，所以，在E，F(xiàn)兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到中點(diǎn)的過程中，△AEF的面積逐漸減小，故結(jié)論④錯(cuò)誤。這時(shí)還應(yīng)通過建立函數(shù)關(guān)系式的方法來證明這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的。
學(xué)生在解決動(dòng)點(diǎn)問題時(shí)，經(jīng)常會因找不到突破口而困惑，此時(shí)可以引導(dǎo)學(xué)生通過做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得解題途徑。本題通過實(shí)驗(yàn)，不僅簡潔解決了問題，重要的是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、分析、猜想、推證等一系列思維活動(dòng)，不斷探索，主動(dòng)建構(gòu)了新知，體現(xiàn)了新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)學(xué)生對新知識的探求和創(chuàng)新的理念。重要的是“觀察—猜想—驗(yàn)證—證明”，這正是數(shù)學(xué)家思維活動(dòng)的濃縮。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)重視非邏輯證明的教學(xué);適當(dāng)降低和減少邏輯演繹在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與時(shí)間，加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)、猜測、類比、歸納等合情推理在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位與作用。
二、用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解決精確與毛估的關(guān)系
毛估是一種快速的近似估算，它的基本特點(diǎn)是對數(shù)值作擴(kuò)大或縮小，從而對運(yùn)算結(jié)果確定出一個(gè)范圍或作出一個(gè)估計(jì)，更本質(zhì)地看毛估，它應(yīng)該是一種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，是直覺基礎(chǔ)上的一種數(shù)學(xué)意識。數(shù)學(xué)要求精確，但毛估有時(shí)還真能解決問題。
分析直接計(jì)算很繁，若通過實(shí)驗(yàn)—放縮法，可估算出S的取值范圍，問題就迎刃而解了。
毛估這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)通過具體性、經(jīng)驗(yàn)性的實(shí)驗(yàn)操作活動(dòng)，能不斷地豐富學(xué)生的思維表象，促進(jìn)學(xué)生思維由形象直觀到抽象論證的轉(zhuǎn)化，促進(jìn)學(xué)生合情推理和演繹推理的和諧發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維和實(shí)踐能力。
三、用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究解題思路
學(xué)生在解決運(yùn)動(dòng)問題時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生通過幾何畫板做數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)獲得解題途徑。
例5如圖8，一個(gè)長為10米的梯子沿著墻壁滑動(dòng)，梯子中點(diǎn)經(jīng)過的路徑有多長？
對于此題，學(xué)生的難點(diǎn)在于判斷中點(diǎn)的軌跡是什么圖形�？赏ㄟ^多畫幾個(gè)位置，描出中點(diǎn)找到規(guī)律。但利用幾何畫板構(gòu)造圖形，用跟蹤點(diǎn)的研究就更直觀。通過實(shí)驗(yàn)，學(xué)生可以得到其軌跡是以點(diǎn)C為圓心，梯子的一半長為半徑的圓，根據(jù)弧長公式，可以得出，梯子中點(diǎn)經(jīng)過的路徑是2。5π。
當(dāng)然，在畫板操作后，還應(yīng)該問學(xué)生為什么，達(dá)到通過數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)促進(jìn)學(xué)生抽象思維發(fā)展的目的。因?yàn)橹苯侨切涡边吷系闹芯�等于斜邊的一半，即這些點(diǎn)到點(diǎn)C的距離為AB的一半，所以梯子中點(diǎn)經(jīng)過的路徑是半徑為5米的四分之一圓。
數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)一般具有可操作性和實(shí)踐性，注重實(shí)測與直觀，讓數(shù)學(xué)在“實(shí)驗(yàn)”的過程中對所研究的內(nèi)容“可視化”，讓學(xué)生從中獲得對“數(shù)”“形”的觀念，并逐步對其適度抽象，進(jìn)行更高層次上的“再實(shí)驗(yàn)”，進(jìn)而體會數(shù)學(xué)的研究方法和構(gòu)成體系，使學(xué)生在活動(dòng)中認(rèn)識并改造自己的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)。
四、用數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)畫圖解決問題
圖，是獨(dú)特的數(shù)學(xué)工具。我們常見“看圖識字”“看圖學(xué)……”，英文版“數(shù)學(xué)雜志”就常有“無字證明”（ProofwithoutWords）這一精彩欄目。法國數(shù)學(xué)家彭加勒說過：“邏輯可以告訴我們走這條路或那條路保證不遇見障礙，但是它不能告訴我們哪條路能引導(dǎo)我們到達(dá)目的地。為此必須從遠(yuǎn)處了望目標(biāo)，了望目標(biāo)的本領(lǐng)是直覺，沒有直覺，數(shù)學(xué)家便會像這樣一個(gè)作家：他只是按語法寫詩，但是毫無思想�！�
例6方程|x—|2x+1||=3的不同的解的個(gè)數(shù)是（）
A。0B。1C。2D。3E。4
分析筆者所見分類討論法較復(fù)雜。原方程可化成x—|2x+1|=3①或x—|2x+1|=—3②。由①得|2x+1|=x—3，由圖9知，無解;由②得|2x+1|=x+3，由圖10知，有兩解，故選C。
例7在一條直線上已知四個(gè)不同的點(diǎn)依次是A，B，C，D，那么到這四點(diǎn)的距離的和最小的點(diǎn)（）
A�？梢允侵本�外某一點(diǎn)
B。只能是B點(diǎn)或C點(diǎn)
C。只能是線段AD的中點(diǎn)
D。有無窮多個(gè)
分析用計(jì)算的方法可解，但比較麻煩，如圖11，我們做如下實(shí)驗(yàn)。首先點(diǎn)不會在直線AD外，由于對稱性，只需考慮三種情況：點(diǎn)在A的左邊;點(diǎn)在A，B兩點(diǎn)之間;點(diǎn)在B，C兩點(diǎn)之間（含端點(diǎn)）。哪種情況下，四條有箭頭的線段長的和最小呢？答案是D。
《基礎(chǔ)教育課程改革綱要（試行）》把“以學(xué)生發(fā)展為本”作為新課程的基本理念，提出“改變過于強(qiáng)調(diào)接受學(xué)習(xí)、死記硬背、機(jī)械訓(xùn)練的現(xiàn)狀，倡導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)參與、樂于研究、勤于動(dòng)手”。通過畫圖，學(xué)生動(dòng)手、動(dòng)腦、猜測、驗(yàn)證，把自己置身于感性、動(dòng)態(tài)的學(xué)習(xí)環(huán)境中，學(xué)生在動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、自主探究的過程中，體驗(yàn)數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程、體驗(yàn)數(shù)學(xué)的研究精神，獲得愉悅的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)體驗(yàn)，當(dāng)然，畫圖這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，不在乎“實(shí)驗(yàn)”是否完全符合一般科學(xué)實(shí)驗(yàn)形式的標(biāo)準(zhǔn)，重要的是兩者之間本質(zhì)的相通。創(chuàng)新思維來自于創(chuàng)新意識，創(chuàng)新意識來源于創(chuàng)新的實(shí)踐，實(shí)踐的創(chuàng)新需要實(shí)踐空間的拓展。畫圖這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)正是數(shù)學(xué)實(shí)踐空間拓展的一種重要形式。
隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，計(jì)算機(jī)進(jìn)入課堂，教學(xué)手段呈現(xiàn)出多樣化、現(xiàn)代化、多媒體化，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解題的功能也更加豐富起來，教育者也越來越認(rèn)識到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)解題的重要性，因此，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為一門更具探索性、動(dòng)態(tài)性的實(shí)驗(yàn)學(xué)科，而中學(xué)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的解題功能也將更全面地體現(xiàn)出來。
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