長(zhǎng)沙小升初奧數(shù)幾何問(wèn)題之格點(diǎn)與面積經(jīng)典例題匯總
長(zhǎng)沙小升初奧數(shù)幾何問(wèn)題之格點(diǎn)與面積經(jīng)典例題。
經(jīng)典例題
例1、圖中有21個(gè)點(diǎn),其中每相鄰的三點(diǎn)“∴”或“∵”所形成的三角形都是面積為1的等邊三角形,試計(jì)算四邊形的面積。（小升初8月1號(hào)天天練）
【詳解】
方法一（分割法）：
如圖①做輔助線(xiàn)，將原圖分割成A、B兩個(gè)小三角形。這兩個(gè)小三角形都以輔助線(xiàn)為底的話(huà)，A就是底邊是1個(gè)面積單位三角形的4倍、高是1個(gè)面積單位三角形的1倍，所以A的面積是1個(gè)面積單位三角形的4×1倍，即4。
同理，B就是底邊是1個(gè)面積單位三角形的4倍、高是1個(gè)面積單位三角形的2倍，所以B的面積是1個(gè)面積單位三角形的'4×2倍，即8。
所以，原三角形面積為：4+8=12（面積單位）。
方法二（擴(kuò)展法）：
如圖②將原圖擴(kuò)展成一個(gè)大的等邊三角形，很明顯這個(gè)等邊三角形的邊長(zhǎng)是三角形格點(diǎn)的5倍，而四個(gè)擴(kuò)展的三角形A、B、C、B的面積的求法與分割法中的求法類(lèi)似，靈活運(yùn)用倍數(shù)思想！
大的等邊三角形：5×5=25
A：3×1=3
B：2×1=2
C：4×1=4
D：4×1=4
所以原三角形的面積為：25-3-2-4-4=12（面積單位）。
方法三（畢克定理）：
運(yùn)用三角形格點(diǎn)圖的畢克定理，圖形內(nèi)部格點(diǎn)數(shù)為5,圖形周界上格點(diǎn)數(shù)為4，所以，原三角形的面積為：(5+4÷2-1)×2=12(面積單位)。
例2、如圖是一組總面積為80平方厘米的七巧板，用它構(gòu)成右圖陰影部分的形狀，這個(gè)形狀內(nèi)接與長(zhǎng)方形，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)長(zhǎng)方形的面積為多少？（小升初8月2號(hào)天天練）
【詳解】長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬不知道，所以不能直接用面積公式，但是告訴了另一個(gè)參照?qǐng)D形--七巧板的面積，此時(shí)我們要努力找出兩者之間的聯(lián)系！之前我們一直給出的是在格點(diǎn)圖中的圖形，現(xiàn)在我們不妨自己來(lái)構(gòu)造格點(diǎn)圖！
如圖，將長(zhǎng)方形分割成3×5個(gè)小正方形，而陰影面積一共占了8個(gè)小正方形，所以每個(gè)小正方形的面積是：80÷8=10（平方厘米），所以長(zhǎng)方形的面積是：10×3×5=150（平方厘米）。
例3、如圖是一個(gè)正六邊形，已知它的面積是54平方厘米，求陰影部分的面積。
（小升初8月3號(hào)天天練）
【詳解】正六邊形與正六角星都是典型的對(duì)稱(chēng)圖形，我們先連接正六邊形的3條對(duì)稱(chēng)抽，如圖①所示，將正六邊形分成了6個(gè)一樣的正三角形。
我們?cè)賮?lái)研究每個(gè)正三角形，如圖②所示，我們將陰影小三角形頂點(diǎn)與正三角形頂點(diǎn)連接，不難看出，正三角形被分割成3個(gè)一樣的小三角形（與陰影小三角形一樣）。
對(duì)于6個(gè)正三角形都進(jìn)行同樣的操作，如圖③所以，這樣我們將整個(gè)正六邊形分割成了3×6=18個(gè)陰影小三角形，可以將陰影小三角形的面積看成是1個(gè)面積單位，那么整個(gè)陰影部分面積就是6個(gè)面積單位，所以陰影部分面積為：54÷18×6=18（平方厘米）。
例4、如圖，正六邊形的面積是54，其中AP=2PF、CQ=2BQ，求陰影四邊形CEPQ的面積。（小升初8月6號(hào)天天練）
【詳解】由題意知P、Q分別是AF、BC上的三等分點(diǎn)，我們不妨將正六邊形每條邊都三等分，再順次連接這些點(diǎn)，如下圖所示，即在例3中把正六邊形分割成6個(gè)正三角形的基礎(chǔ)上，再把每個(gè)正三角形又分割成3×3個(gè)更小的正三角形，這樣我們就構(gòu)造出了本專(zhuān)題中介紹的三角形格點(diǎn)圖！并且所求的陰影四邊形的各個(gè)頂點(diǎn)都在三角形格點(diǎn)上，所以是格點(diǎn)四邊形，我們可以直接利用畢克定理來(lái)解題：這里N=13、L=7，所以S陰影四邊形CEPQ=2N+L-2=2×13+7-2=31。
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