奧數(shù)題及答案:十二面體問題
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正十二面體是所謂“柏拉圖立體”(Platonic solids)的5種正多面體之一。其他4種為正四面體、正方體、正八面體與正二十面體。
這些立體的每個(gè)面都是正多邊形，每個(gè)頂點(diǎn)與其他的頂點(diǎn)看起來都一樣。正十二面體有12個(gè)面，每一面都是正五邊形。曾有人利用12面，每面代表一個(gè)月，做成年歷。
以正十二面體為基礎(chǔ)，還可以制作出外形非常吸引人的`星狀體。圖2是正十二面體展開圖的一半。在紙上或紙板上完成圖形之后，只要把紙疊在一起，用圓見的針尖穿刺各個(gè)頂點(diǎn)，就可以復(fù)制此圖形。
(1)畫出一個(gè)大圓。
(2)由中心O畫5條線至圓周，即OA、OB、OC、OD、OE，夾角都是72°。
(3)將AB、BC、CD、DE與EA連線，形成正五邊形。
(4)畫出ABCDE所有的對角線。這些對角線會(huì)在中心形成較小的五邊形PQRST.這個(gè)五邊形將是正十二面體中的一面。
(5)現(xiàn)在畫出PQRST的對角線(以虛線表示)，并作其延長線，以形成其他小五邊形的邊。
(6)用穿刺卡片紙的方法復(fù)制所需要的平面圖。
(7)在畫好的平面圖中加上畫斜線的粘貼部分，如圖2所示。
(8)仔細(xì)剪下平面圖，并在所有折線(例如PQ)處用筆或刀背劃出刻痕，以便于折疊。
(9)最后用速干膠粘合。
在制作過程中要力求精確，否則最后的模型會(huì)無法嵌合在一起。
在完成正十二面體之后，只要在上面加些尖角，就成了絕佳的圣誕節(jié)飾品(圖3)。
這些尖角呈五面金字塔形，金字塔的每一面都是與正十二面體展開圖中APQ相等的等腰三角形。
這個(gè)金字塔的展開圖很簡單：先畫一個(gè)半圓，半徑與形成正十二面體的五邊形的對角線相等，將半圓分成5等分，夾角為36°，如圖4所示。
加上粘貼部分，并在折線處刻下痕印�？偣残枰�12個(gè)尖角，因此在復(fù)制其他尖角之前最好先做一個(gè)，看看是否能與正十二面體接合得很好，然后再復(fù)制其他的尖角。
完成模型之后，你應(yīng)該可以發(fā)現(xiàn)相鄰尖角的面都位于同一平面，從而形成五角星形。
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