四年級(jí)奧數(shù)基礎(chǔ)：頁碼問題
顧名思義，頁碼問題與圖書的頁碼有密切聯(lián)系。事實(shí)上，頁碼問題就是根據(jù)書的頁碼而編制出來的一類應(yīng)用題。
編一本書的頁碼，一共需要多少個(gè)數(shù)碼呢?反過來，知道編一本書的頁碼所需的數(shù)碼數(shù)量，求這本書的頁數(shù)。這是頁碼問題中的兩個(gè)基本內(nèi)容。
為了順利地解答頁碼問題，我們先看一下“數(shù)”與“組成它的數(shù)碼個(gè)數(shù)”之間的關(guān)系。一位數(shù)共有9個(gè)，組成所有的一位數(shù)需要9個(gè)數(shù)碼;兩位數(shù)共有90個(gè)，組成所有的兩位數(shù)需要2×90=180(個(gè))數(shù)碼;三位數(shù)共有900個(gè)，組成所有的三位數(shù)需要3×900=2700(個(gè))數(shù)碼……為了清楚起見，我們將n 位數(shù)的個(gè)數(shù)、組成所有n位數(shù)需要的數(shù)碼個(gè)數(shù)、組成所有不大于n位的數(shù)需要的數(shù)碼個(gè)數(shù)之間的'關(guān)系列表如下：
由上表看出，如果一本書不足100頁，那么排這本書的頁碼所需的數(shù)碼個(gè)數(shù)不會(huì)超過189個(gè);如果某本書排的頁碼用了10000個(gè)數(shù)碼，因?yàn)?/p>
2889<10000<38889，所以這本書肯定是上千頁。
下面，我們看幾道例題。
例1一本書共204頁，需多少個(gè)數(shù)碼編頁碼?
分析與解：1～9頁每頁上的頁碼是一位數(shù)，共需數(shù)碼
1×9=9(個(gè));
10～99頁每頁上的頁碼是兩位數(shù)，共需數(shù)碼
2×90=180(個(gè));
100～204頁每頁上的頁碼是三位數(shù)，共需數(shù)碼
(204-100+1)×3=105×3=315(個(gè))。
綜上所述，這本書共需數(shù)碼
9+180+315=504(個(gè))。
例2一本小說的頁碼，在排版時(shí)必須用2211個(gè)數(shù)碼。問：這本書共有多少頁?
分析：因?yàn)?89<2211<2889，所以這本書有幾百頁。由前面的分析知道，這本書在排三位數(shù)的頁碼時(shí)用了數(shù)碼(2211-189)個(gè)，所以三位數(shù)的頁數(shù)有
(2211-189)÷3=674(頁)。
因?yàn)椴坏饺坏捻摂?shù)有99頁，所以這本書共有
99+674=773(頁)。
解：99+(2211--189)÷3=773(頁)。
答：這本書共有773頁。
例3一本書的頁碼從1至62、即共有62頁。在把這本書的各頁的頁碼累加起來時(shí)，有一個(gè)頁碼被錯(cuò)誤地多加了一次。結(jié)果，得到的和數(shù)為2000。問：這個(gè)被多加了一次的頁碼是幾?
分析與解：因?yàn)檫@本書的頁碼從1至62，所以這本書的全書頁碼之和為
1+2+…+61+62
=62×(62+1)÷2
=31×63
=1953。
由于多加了一個(gè)頁碼之后，所得到的和數(shù)為2000，所以2000減去1953就是多加了一次的那個(gè)頁碼，是
2000--1953=47。
例4有一本48頁的書，中間缺了一張，小明將殘書的頁碼相加，得到1131。老師說小明計(jì)算錯(cuò)了，你知道為什么嗎?
分析與解：48頁書的所有頁碼數(shù)之和為
1+2+…+48
=48×(48+1)÷2
=1176。
按照小明的計(jì)算，中間缺的這一張上的兩個(gè)頁碼之和為1176--1131=45。這兩個(gè)頁碼應(yīng)該是22頁和23頁。但是按照印刷的規(guī)定，書的正文從第 1頁起，即單數(shù)頁印在正面，偶數(shù)頁印在反面，所以任何一張上的兩個(gè)頁碼，都是奇數(shù)在前，偶數(shù)在后，也就是說奇數(shù)小偶數(shù)大。小明計(jì)算出來的是缺22頁和23 頁，這是不可能的。
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