數(shù)學(xué)分支之泛函分析的范文
泛函分析是研究拓?fù)渚�性空間到拓?fù)渚�性空間之間滿足各種拓?fù)浜痛鷶?shù)條件的映射的分支學(xué)科。它是20世紀(jì)30年代形成的。從變分法、微分方程、積分方程、函數(shù)論以及量子物理等的研究中發(fā)展起來(lái)的，它運(yùn)用幾何學(xué)、代數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)和方法研究分析學(xué)的課題，可看作無(wú)限維的分析學(xué)。
泛函分析的產(chǎn)生
十九世紀(jì)以來(lái)，數(shù)學(xué)的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的階段。這就是，由于對(duì)歐幾里得第五公設(shè)的研究，引出了非歐幾何這門(mén)新的學(xué)科；對(duì)于代數(shù)方程求解的一般思考，最后建立并發(fā)展了群論；對(duì)數(shù)學(xué)分析的研究又建立了集合論。這些新的理論都為用統(tǒng)一的觀點(diǎn)把古典分析的基本概念和方法一般化準(zhǔn)備了條件。
本世紀(jì)初，瑞典數(shù)學(xué)家弗列特荷姆和法國(guó)數(shù)學(xué)家阿達(dá)瑪發(fā)表的著作中，出現(xiàn)了把分析學(xué)一般化的萌芽。隨后，希爾伯特和海令哲來(lái)創(chuàng)了“希爾伯特空間”的研究。到了二十年代，在數(shù)學(xué)界已經(jīng)逐漸形成了一般分析學(xué)，也就是泛函分析的基本概念。
由于分析學(xué)中許多新部門(mén)的形成，揭示出分析、代數(shù)、集合的許多概念和方法常常存在相似的地方。比如，代數(shù)方程求根和微分方程求解都可以應(yīng)用逐次逼近法，并且解的.存在和唯一性條件也極其相似。這種相似在積分方程論中表現(xiàn)得就更為突出了。泛函分析的產(chǎn)生正是和這種情況有關(guān)，有些乍看起來(lái)很不相干的東西，都存在著類(lèi)似的地方。因此它啟發(fā)人們從這些類(lèi)似的東西中探尋一般的真正屬于本質(zhì)的東西。
非歐幾何的確立拓廣了人們對(duì)空間的認(rèn)知，n維空間幾何的產(chǎn)生允許我們把多變函數(shù)用幾何學(xué)的語(yǔ)言解釋成多維空間的影響。這樣，就顯示出了分析和幾何之間的相似的地方，同時(shí)存在著把分析幾何化的一種可能性。這種可能性要求把幾何概念進(jìn)一步推廣，以至最后把歐氏空間擴(kuò)充成無(wú)窮維數(shù)的空間。
這時(shí)候，函數(shù)概念被賦予了更為一般的意義，古典分析中的函數(shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻是要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系。
這里我們先介紹一下算子的概念。算子也叫算符，在數(shù)學(xué)上，把無(wú)限維空間到無(wú)限維空間的變換叫做算子。
研究無(wú)限維線性空間上的泛函數(shù)和算子理論，就產(chǎn)生了一門(mén)新的分析數(shù)學(xué)，叫做泛函分析。在二十世紀(jì)三十年代，泛函分析就已經(jīng)成為數(shù)學(xué)中一門(mén)獨(dú)立的學(xué)科了。
泛函分析的特點(diǎn)和內(nèi)容
泛函分析的特點(diǎn)是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念和方法幾何化了。比如，不同類(lèi)型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點(diǎn)或矢量，這樣最后得到了“抽象空間”這個(gè)一般的概念。它既包含了以前討論過(guò)的幾何對(duì)象，也包括了不同的函數(shù)空間。
泛函分析對(duì)于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個(gè)有力的工具。n維空間可以用來(lái)描述具有n個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，實(shí)際上需要有新的數(shù)學(xué)工具來(lái)描述具有無(wú)窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。比如梁的震動(dòng)問(wèn)題就是無(wú)窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。一般來(lái)說(shuō)，從質(zhì)點(diǎn)力學(xué)過(guò)渡到連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過(guò)渡到無(wú)窮自由度系統(tǒng)�，F(xiàn)代物理學(xué)中的量子場(chǎng)理論就屬于無(wú)窮自由度系統(tǒng)。
正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求n維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣，研究無(wú)窮自由度的系統(tǒng)需要無(wú)窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因襲，泛函分析也可以通俗的叫做無(wú)窮維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)。古典分析中的基本方法，也就是用線性的對(duì)象去逼近非線性的對(duì)象，完全可以運(yùn)用到泛函分析這門(mén)學(xué)科中。
泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最“年輕”的分支，它是古典分析觀點(diǎn)的推廣，它綜合函數(shù)論、幾何和代數(shù)的觀點(diǎn)研究無(wú)窮維向量空間上的函數(shù)、算子、和極限理論。他在二十世紀(jì)四十到五十年代就已經(jīng)成為一門(mén)理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。
半個(gè)多世紀(jì)來(lái)，泛函分析一方面以其他眾多學(xué)科所提供的素材來(lái)提取自己研究的對(duì)象，和某些研究手段，并形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓?fù)渚�性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強(qiáng)有力地推動(dòng)著其他不少分析學(xué)科的發(fā)展。它在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理、計(jì)算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，還是建立群上調(diào)和分析理論的基本工具，也是研究無(wú)限個(gè)自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點(diǎn)和方法已經(jīng)滲入到不少工程技術(shù)性的學(xué)科之中，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。
泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計(jì)算數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有著廣泛的應(yīng)用。近十幾年來(lái)，泛函分析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應(yīng)用。它還滲透到數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個(gè)分支中去，起著重要的作用。
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