高一數(shù)學(xué)函數(shù)的有關(guān)概念必備知識(shí)點(diǎn)
函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作: y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)| x∈A }叫做函數(shù)的值域.
注意:
1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)式子有意義的實(shí)數(shù)的集合;
2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.
定義域補(bǔ)充:
能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:
(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;
(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.
(6)指數(shù)為零底不可以等于零
(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.
(注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)
2、構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域
注意:
(1)構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個(gè)函數(shù)相等(或?yàn)橥缓瘮?shù))。
(2)兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)。 相同函數(shù)的判斷方法:
、俣x域一致;
、诒磉_(dá)式相同 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)
值域補(bǔ)充
(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.
(2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。
函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù) y=f(x) , (x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù) y=f(x),(x ∈A)的圖象.
C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來(lái),以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上 . 即記為C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A }
圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個(gè)交點(diǎn)的若干條曲線或離散點(diǎn)組成。
映射、函數(shù)、反函數(shù)
1、對(duì)應(yīng)、映射、函數(shù)三個(gè)概念既有共性又有區(qū)別,映射是一種特殊的對(duì)應(yīng),而函數(shù)又是一種特殊的映射。
2、對(duì)于函數(shù)的概念,應(yīng)注意如下幾點(diǎn):
。1)掌握構(gòu)成函數(shù)的三要素,會(huì)判斷兩個(gè)函數(shù)是否為同一函數(shù)。
。2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實(shí)際問題尋求變量間的函數(shù)關(guān)系式,特別是會(huì)求分段函數(shù)的解析式。
。3)如果y=f(u),u=g(x),那么y=f[g(x)]叫做f和g的復(fù)合函數(shù),其中g(shù)(x)為內(nèi)函數(shù),f(u)為外函數(shù)、
3、求函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)的一般步驟:
。1)確定原函數(shù)的值域,也就是反函數(shù)的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f—1(y);
(3)將x,y對(duì)換,得反函數(shù)的習(xí)慣表達(dá)式y(tǒng)=f—1(x),并注明定義域、
注意:
、賹(duì)于分段函數(shù)的反函數(shù),先分別求出在各段上的反函數(shù),然后再合并到一起、
、谑煜さ膽(yīng)用,求f—1(x0)的值,合理利用這個(gè)結(jié)論,可以避免求反函數(shù)的過程,從而簡(jiǎn)化運(yùn)算、
函數(shù)的解析式與定義域
1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數(shù)是不存在的,因此,要正確地寫出函數(shù)的解析式,必須是在求出變量間的對(duì)應(yīng)法則的同時(shí),求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型:
(1)有時(shí)一個(gè)函數(shù)來(lái)自于一個(gè)實(shí)際問題,這時(shí)自變量x有實(shí)際意義,求定義域要結(jié)合實(shí)際意義考慮;
。2)已知一個(gè)函數(shù)的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可。如:
、俜质降姆帜覆坏脼榱;
、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零;
、蹖(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;
、苤笖(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;
、萑呛瘮(shù)中的正切函數(shù)y=tanx(x∈R,且k∈Z),余切函數(shù)y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。
應(yīng)注意,一個(gè)函數(shù)的解析式由幾部分組成時(shí),定義域?yàn)楦鞑糠钟幸饬x的自變量取值的公共部分(即交集)。
(3)已知一個(gè)函數(shù)的定義域,求另一個(gè)函數(shù)的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值范圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時(shí)f(x)的定義域,即g(x)的值域。
2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況
。1)根據(jù)某實(shí)際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時(shí),必須引入合適的變量,根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識(shí)尋求函數(shù)的解析式。
。2)有時(shí)題設(shè)給出函數(shù)特征,求函數(shù)的解析式,可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b為待定系數(shù),根據(jù)題設(shè)條件,列出方程組,求出a,b即可。
(3)若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時(shí),可用換元法求函數(shù)f(x)的表達(dá)式,這時(shí)必須求出g(x)的值域,這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。
。4)若已知f(x)滿足某個(gè)等式,這個(gè)等式除f(x)是未知量外,還出現(xiàn)其他未知量(如f(—x),等),必須根據(jù)已知等式,再構(gòu)造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達(dá)式。
函數(shù)的值域與最值
1、函數(shù)的值域取決于定義域和對(duì)應(yīng)法則,不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域,求函數(shù)值域常用方法如下:
(1)直接法:亦稱觀察法,對(duì)于結(jié)構(gòu)較為簡(jiǎn)單的函數(shù),可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì),直接觀察得出函數(shù)的值域。
。2)換元法:運(yùn)用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡(jiǎn)單函數(shù)再求值域,若函數(shù)解析式中含有根式,當(dāng)根式里一次式時(shí)用代數(shù)換元,當(dāng)根式里是二次式時(shí),用三角換元。
。3)反函數(shù)法:利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f—1(x)的定義域和值域間的關(guān)系,通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域,形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得。
(4)配方法:對(duì)于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法。
。5)不等式法求值域:利用基本不等式a+b≥[a,b∈(0,+∞)]可以求某些函數(shù)的值域,不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時(shí)需用到平方等技巧。
。6)判別式法:把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程,利用“△≥0”求值域。其題型特征是解析式中含有根式或分式。
。7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域:當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個(gè)定義域的子集上)的單調(diào)性,可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域。
。8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域:利用函數(shù)所表示的幾何意義,借助于幾何方法或圖象,求出函數(shù)的值域,即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域。
2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系
求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的,事實(shí)上,如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最。ù螅⿺(shù),這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最。ù螅┲。因此求函數(shù)的最值與值域,其實(shí)質(zhì)是相同的,只是提問的角度不同,因而答題的方式就有所相異。
如函數(shù)的值域是(0,16],最大值是16,無(wú)最小值。再如函數(shù)的值域是(—∞,—2]∪[2,+∞),但此函數(shù)無(wú)最大值和最小值,只有在改變函數(shù)定義域后,如x>0時(shí),函數(shù)的最小值為2?梢姸x域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響。
3、函數(shù)的最值在實(shí)際問題中的應(yīng)用
函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識(shí)求解實(shí)際問題上,從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價(jià)最低”,“利潤(rùn)最大”或“面積(體積)最大(最。钡戎T多現(xiàn)實(shí)問題上,求解時(shí)要特別關(guān)注實(shí)際意義對(duì)自變量的制約,以便能正確求得最值。
函數(shù)的奇偶性
1、函數(shù)的奇偶性的定義:對(duì)于函數(shù)f(x),如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(—x)=—f(x)(或f(—x)=f(x)),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù))。
正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義,要注意兩點(diǎn):
。1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;
(2)f(x)=—f(x)或f(—x)=f(x)是定義域上的恒等式。(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì))。
2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性,有時(shí)需要將函數(shù)化簡(jiǎn)或應(yīng)用定義的等價(jià)形式。
函數(shù)的局部性質(zhì)——單調(diào)性
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)應(yīng)定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)變量x1、x2,當(dāng)x1< x2時(shí),都有f(x1)f(x2),那么那么y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù),D是函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間。
、藕瘮(shù)區(qū)間單調(diào)性的判斷思路
ⅰ在給出區(qū)間內(nèi)任取x1、x2,則x1、x2∈D,且x1< x2。
、⒆霾钪礷(x1)-f(x2),并進(jìn)行變形和配方,變?yōu)橐子谂袛嗾?fù)的形式。
、E袛嘧冃魏蟮谋磉_(dá)式f(x1)-f(x2)的符號(hào),指出單調(diào)性。
⑵復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性
復(fù)合函數(shù)y=f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律為“同增異減”;多個(gè)函數(shù)的復(fù)合函數(shù),根據(jù)原則“減偶則增,減奇則減”。
、亲⒁馐马(xiàng)
函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成并集,如果函數(shù)在區(qū)間A和B上都遞增,則表示為f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為A和B,不能表示為A∪B。
函數(shù)的整體性質(zhì)——奇偶性
對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x) =f(-x),則f(x)就為偶函數(shù);
對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x) =-f(x),則f(x)就為奇函數(shù)。
、牌婧瘮(shù)和偶函數(shù)的性質(zhì)
、o(wú)論函數(shù)是奇函數(shù)還是偶函數(shù),只要函數(shù)具有奇偶性,該函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。
、⑵婧瘮(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。
、坪瘮(shù)奇偶性判斷思路
ⅰ先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則為非奇非偶函數(shù)。
ⅱ確定f(x)和f(-x)的關(guān)系:
若f(x) -f(-x)=0,或f(x) /f(-x)=1,則函數(shù)為偶函數(shù);
若f(x)+f(-x)=0,或f(x)/ f(-x)=-1,則函數(shù)為奇函數(shù)。
3、函數(shù)的最值問題
、艑(duì)于二次函數(shù),利用配方法,將函數(shù)化為y=(x-a)2+b的形式,得出函數(shù)的最大值或最小值。
⑵對(duì)于易于畫出函數(shù)圖像的函數(shù),畫出圖像,從圖像中觀察最值。
、顷P(guān)于二次函數(shù)在閉區(qū)間的最值問題
、∨袛喽魏瘮(shù)的頂點(diǎn)是否在所求區(qū)間內(nèi),若在區(qū)間內(nèi),則接ⅱ,若不在區(qū)間內(nèi),則接ⅲ。
、⑷舳魏瘮(shù)的頂點(diǎn)在所求區(qū)間內(nèi),則在二次函數(shù)y=ax2+bx+c中,a>0時(shí),頂點(diǎn)為最小值,a<0時(shí)頂點(diǎn)為最大值;后判斷區(qū)間的兩端點(diǎn)距離頂點(diǎn)的遠(yuǎn)近,離頂點(diǎn)遠(yuǎn)的端點(diǎn)的函數(shù)值,即為a>0時(shí)的最大值或a<0時(shí)的最小值。
、H舳魏瘮(shù)的頂點(diǎn)不在所求區(qū)間內(nèi),則判斷函數(shù)在該區(qū)間的單調(diào)性
若函數(shù)在[a,b]上遞增,則最小值為f(a),最大值為f(b);
若函數(shù)在[a,b]上遞減,則最小值為f(b),最大值為f(a)。
【高一數(shù)學(xué)函數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)】相關(guān)文章:
數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念高一知識(shí)點(diǎn)07-22
高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)01-20
高一數(shù)學(xué)函數(shù)的有關(guān)概念知識(shí)點(diǎn)07-22
數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn):函數(shù)的概念06-17
高一函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)歸納01-21
高一數(shù)學(xué)必修一函數(shù)概念的知識(shí)點(diǎn)01-26
高一數(shù)學(xué)集合與函數(shù)概念知識(shí)點(diǎn)大全07-22