數(shù)學(xué)必修四知識點15篇
在年少學(xué)習(xí)的日子里，大家都背過各種知識點吧？知識點也不一定都是文字，數(shù)學(xué)的知識點除了定義，同樣重要的公式也可以理解為知識點。還在為沒有系統(tǒng)的知識點而發(fā)愁嗎？以下是小編為大家收集的數(shù)學(xué)必修四知識點，僅供參考，希望能夠幫助到大家。
數(shù)學(xué)必修四知識點1
問題提出
函數(shù)是研究兩個變量之間的依存關(guān)系的一種數(shù)量形式.對于兩個變量,如果當(dāng)一個變量的取值一定時，另一個變量的取值被惟一確定，則這兩個變量之間的關(guān)系就是一個函數(shù)關(guān)系.
在中學(xué)校園里，有這樣一種說法：“如果你的數(shù)學(xué)成績好,那么你的物理學(xué)習(xí)就不會有什么大問題.”按照這種說法,似乎學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間存在著某種關(guān)系,我們把數(shù)學(xué)成績和物理成績看成是兩個變量,那么這兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?
我們不能通過一個人的數(shù)學(xué)成績是多少就準(zhǔn)確地斷定其物理成績能達到多少,學(xué)習(xí)興趣、學(xué)習(xí)時間、教學(xué)水平等,也是影響物理成績的一些因素,但這兩個變量是有一定關(guān)系的,它們之間是一種不確定性的關(guān)系.類似于這樣的兩個變量之間的關(guān)系,有必要從理論上作些探討,如果能通過數(shù)學(xué)成績對物理成績進行合理估計,將有著非常重要的現(xiàn)實意義.
知識探究(一)：變量之間的相關(guān)關(guān)系
思考1:考察下列問題中兩個變量之間的關(guān)系:
(1)商品銷售收入與廣告支出經(jīng)費;
(2)糧食產(chǎn)量與施肥量;
(3)人體內(nèi)的脂肪含量與年齡.
這些問題中兩個變量之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?
思考2：“名師出高徒”可以解釋為教師的水平越高，學(xué)生的水平就越高，那么學(xué)生的學(xué)業(yè)成績與教師的教學(xué)水平之間的關(guān)系是函數(shù)關(guān)系嗎?你能舉出類似的描述生活中兩個變量之間的這種關(guān)系的成語嗎?
思考3:上述兩個變量之間的關(guān)系是一種非確定性關(guān)系,稱之為相關(guān)關(guān)系,那么相關(guān)關(guān)系的含義如何?
自變量取值一定時，因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關(guān)系，叫做相關(guān)關(guān)系.
1、球的體積和球的半徑具有()
A函數(shù)關(guān)系B相關(guān)關(guān)系
C不確定關(guān)系D無任何關(guān)系
2、下列兩個變量之間的關(guān)系不是
函數(shù)關(guān)系的是()
A角的度數(shù)和正弦值
B速度一定時，距離和時間的關(guān)系
C正方體的棱長和體積
D日照時間和水稻的畝產(chǎn)量AD練:知識探究(二)：散點圖
【問題】在一次對人體脂肪含量和年齡關(guān)系的研究中,研究人員獲得了一組樣本數(shù)據(jù):
其中各年齡對應(yīng)的脂肪數(shù)據(jù)是這個年齡人群脂肪含量的樣本平均數(shù).
思考1:對某一個人來說,他的體內(nèi)脂肪含量不一定隨年齡增長而增加或減少,但是如果把很多個體放在一起，就可能表現(xiàn)出一定的規(guī)律性.觀察上表中的數(shù)據(jù),大體上看,隨著年齡的增加，人體脂肪含量怎樣變化?
思考2:為了確定年齡和人體脂肪含量之間的更明確的關(guān)系,我們需要對數(shù)據(jù)進行分析,通過作圖可以對兩個變量之間的關(guān)系有一個直觀的印象.以x軸表示年齡,y軸表示脂肪含量,你能在直角坐標(biāo)系中描出樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的圖形嗎?
思考3：上圖叫做散點圖，你能描述一下散點圖的含義嗎?
在平面直角坐標(biāo)系中，表示具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量的一組數(shù)據(jù)圖形，稱為散點圖.
思考4:觀察散點圖的大致趨勢,人的年齡的與人體脂肪含量具有什么相關(guān)關(guān)系?
思考5：在上面的散點圖中,這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域,對于兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系,我們將它稱為正相關(guān).一般地,如果兩個變量成正相關(guān)，那么這兩個變量的變化趨勢如何?
思考6：如果兩個變量成負相關(guān)，從整體上看這兩個變量的變化趨勢如何?其散點圖有什么特點?
一個變量隨另一個變量的變大而變小，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區(qū)域.
一般情況下兩個變量之間的相關(guān)關(guān)系成正相關(guān)或負相關(guān)，類似于函數(shù)的單調(diào)性.
知識探究(一)：回歸直線
思考1:一組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是樣本數(shù)據(jù)的中心,那么散點圖中樣本點的中心如何確定?它一定是散點圖中的點嗎?
思考2:在各種各樣的散點圖中,有些散點圖中的點是雜亂分布的,有些散點圖中的點的分布有一定的規(guī)律性,年齡和人體脂肪含量的樣本數(shù)據(jù)的散點圖中的點的分布有什么特點?
這些點大致分布在一條直線附近.
思考3:如果散點圖中的點的分布,從整體上看大致在一條直線附近,則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線.對具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量,其回歸直線一定通過樣本點的中心嗎?
思考4:對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的`樣本數(shù)據(jù),你認為其回歸直線是一條還是幾條?
思考5:在樣本數(shù)據(jù)的散點圖中，能否用直尺準(zhǔn)確畫出回歸直線?借助計算機怎樣畫出回歸直線?
知識探究(二)：回歸方程
在直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都有相應(yīng)的方程，回歸直線的方程稱為回歸方程.對一組具有線性相關(guān)關(guān)系的樣本數(shù)據(jù)，如果能夠求出它的回歸方程，那么我們就可以比較具體、清楚地了解兩個相關(guān)變量的內(nèi)在聯(lián)系，并根據(jù)回歸方程對總體進行估計.
思考1：回歸直線與散點圖中各點的位置應(yīng)具有怎樣的關(guān)系?
整體上最接近
思考2:對于求回歸直線方程，你有哪些想法?
思考4：為了從整體上反映n個樣本數(shù)據(jù)與回歸直線的接近程度，你認為選用哪個數(shù)量關(guān)系來刻畫比較合適%某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫
之間的關(guān)系，隨機統(tǒng)計并制作了某6天
賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對照表：
如果某天的氣溫是-50C，你能根據(jù)這些
數(shù)據(jù)預(yù)測這天小賣部賣出熱茶的杯數(shù)嗎?
實例探究
為了了解熱茶銷量與
氣溫的大致關(guān)系,我們
以橫坐標(biāo)x表示氣溫，
縱坐標(biāo)y表示熱茶銷量，
建立直角坐標(biāo)系.將表
中數(shù)據(jù)構(gòu)成的6個數(shù)對
表示的點在坐標(biāo)系內(nèi)
標(biāo)出，得到下圖。
你發(fā)現(xiàn)這些點有什么規(guī)律?
今后我們稱這樣的圖為散點圖(scatterplot).
建構(gòu)數(shù)學(xué)
所以,我們用類似于估計平均數(shù)時的
思想,考慮離差的平方和
當(dāng)x=-5時，熱茶銷量約為66杯
線性回歸方程：
一般地,設(shè)有n個觀察數(shù)據(jù)如下：當(dāng)a,b使三點(3,10),(7,20),(11,24)的
線性回歸方程是()
二、求線性回歸方程
例2：觀察兩相關(guān)變量得如下表：
求兩變量間的回歸方程解1：列表：
閱讀課本P73例1
EXCEL作散點圖
利用線性回歸方程解題步驟：
1、先畫出所給數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點圖;
2、觀察散點，如果在一條直線附近，則說明所給量具有線性相關(guān)關(guān)系
3、根據(jù)公式求出線性回歸方程，并解決其他問題。
(1)如果x=3,e=1,分別求兩個模型中y的值;(2)分別說明以上兩個模型是確定性
模型還是隨機模型.
模型1：y=6+4x;模型2：y=6+4x+
解(1)模型1：y=6+4x=6+4×3=18;
模型2：y=6+4x+e=6+4×3+線性相關(guān)與線性回歸方程小結(jié)1、變量間相關(guān)關(guān)系的散點圖
2、如何利用“最小二乘法”思想求直線的回歸方程
3、學(xué)會用回歸思想考察現(xiàn)實生活中變量之間的相關(guān)關(guān)系
數(shù)學(xué)必修四知識點2
一)兩角和差公式(寫的都要記)
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA?
cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB
cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB
tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)
tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)
二)用以上公式可推出下列二倍角公式
tan2A=2tanA/[1-(tanA)^2]
cos2a=(cosa)^2-(sina)^2=2(cosa)^2-1=1-2(sina)^2
(上面這個余弦的很重要)
sin2A=2sinA_osA
三)半角的只需記住這個：
tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA)
四)用二倍角中的余弦可推出降冪公式
(sinA)^2=(1-cos2A)/2
(cosA)^2=(1+cos2A)/2
五)用以上降冪公式可推出以下常用的化簡公式
1-cosA=sin^(A/2)_
1-sinA=cos^(A/2)_
a(1)=a,a(n)為公差為r的等差數(shù)列
通項公式：
a(n)=a(n-1)+r=a(n-2)+2r=...=a[n-(n-1)]+(n-1)r=a(1)+(n-1)r=a+(n-1)r.
可用歸納法證明。
n=1時，a(1)=a+(1-1)r=a。成立。
假設(shè)n=k時，等差數(shù)列的通項公式成立。a(k)=a+(k-1)r
則，n=k+1時，a(k+1)=a(k)+r=a+(k-1)r+r=a+[(k+1)-1]r.
通項公式也成立。
因此，由歸納法知，等差數(shù)列的通項公式是正確的。
求和公式：
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+(a+r)+...+[a+(n-1)r]
=na+r[1+2+...+(n-1)]
=na+n(n-1)r/2
同樣，可用歸納法證明求和公式。
a(1)=a,a(n)為公比為r(r不等于0)的等比數(shù)列
通項公式：
a(n)=a(n-1)r=a(n-2)r^2=...=a[n-(n-1)]r^(n-1)=a(1)r^(n-1)=ar^(n-1).
可用歸納法證明等比數(shù)列的通項公式。
求和公式：
S(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
=a+ar+...+ar^(n-1)
=a[1+r+...+r^(n-1)]
r不等于1時，
S(n)=a[1-r^n]/[1-r]
r=1時，
S(n)=na.
同樣，可用歸納法證明求和公式。
必修四數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法
掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)實踐階段:在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,我們需要使用正確的學(xué)習(xí)方法,以及科學(xué)合理的學(xué)習(xí)規(guī)則。先生著名的日本教育在米山國藏在他的數(shù)學(xué)精神、思想和方法,曾經(jīng)說過,尤其是高階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),必須遵循“分層原則”和“循序漸進”的原則。與教學(xué)內(nèi)容的第一周甚至是從基礎(chǔ)開始,一周后的頭幾天,在教學(xué)難以提升。以及提升的困難進步一步一步,最好不要去追求所謂的“困難”除了(感興趣),不利于解決問題方法掌握連續(xù)性。同時,根據(jù)時間和課程安排的長度適當(dāng)?shù)膶彶?只有這樣才能記住和使用在長期學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識,不要忘記前面的學(xué)習(xí)。
必修四數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧
重視改錯錯不重犯。
一定要重視改錯的`這份工作，做到錯不再犯。初中數(shù)學(xué)教學(xué)中采用的方法是告訴學(xué)生所有可能的錯誤，只要有一個人犯了錯誤，就應(yīng)該提出，以便所有的學(xué)生都能從中吸取教訓(xùn)。這叫“一人有病，全體吃藥�！�
高中數(shù)學(xué)課沒有那么多時間，除了一小部分那幾種典型錯，其它錯誤，不能一一顧及。只能誰有病，誰吃藥。如果學(xué)生“生病”而忘了吃藥，那么沒有人會一次又一次地提醒他要注意什么。如果能及時改錯，那么錯誤就可能轉(zhuǎn)變?yōu)樨敻唬蔀轭A(yù)防針。但是，如果不能及時改錯，這個錯誤就將形成一處“地雷”，遲早要惹禍。
有的學(xué)生認為，自己考試成績上不去，是因為太粗心。其實，原因并非如此。打一個比方。比如說，學(xué)習(xí)開汽車。右腳下面，往左踩，是踩剎車。往右踩，是踩油門。其機械原理，設(shè)計原因，操作規(guī)程都可以講的清清楚楚。如果初學(xué)駕駛的人真正掌握了這一套，請問，可以同意他開車上路嗎?恐怕他知道他還缺乏練習(xí)。一兩次你能正確地完成任務(wù)，但這并不意味著你永遠不會犯錯誤。練習(xí)的數(shù)量不夠，才是學(xué)生出錯的真正原因。大家一定要看到，如果自己的基礎(chǔ)知識漏洞百出、隱患無窮，那么，今后的數(shù)學(xué)將是難以學(xué)好的。
數(shù)學(xué)必修四知識點3
基本初等函數(shù)有哪些
基本初等函數(shù)包括以下幾種：
(1)常數(shù)函數(shù)y = c( c為常數(shù))
(2)冪函數(shù)y = x^a( a為常數(shù))
(3)指數(shù)函數(shù)y = a^x(a>0, a≠1)
(4)對數(shù)函數(shù)y =log(a) x(a>0, a≠1，真數(shù)x>0)
(5)三角函數(shù)以及反三角函數(shù)(如正弦函數(shù)：y =sinx反正弦函數(shù)：y = arcsin x等)
基本初等函數(shù)性質(zhì)是什么
冪函數(shù)
形如y=x^a的函數(shù)，式中a為實常數(shù)。
指數(shù)函數(shù)
形如y=a^x的函數(shù)，式中a為不等于1的正常數(shù)。
對數(shù)函數(shù)
指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，記作y=loga a x，式中a為不等于1的正常數(shù)。指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)之間成立關(guān)系式，loga ax=x。
三角函數(shù)
即正弦函數(shù)y=sinx，余弦函數(shù)y=cosx，正切函數(shù)y=tanx，余切函數(shù)y=cotx，正割函數(shù)y=secx，余割函數(shù)y=cscx(見三角學(xué))。
反三角函數(shù)
三角函數(shù)的反函數(shù)——反正弦函數(shù)y = arc sinx，反余弦函數(shù)y=arc cosx (-1≤x≤1，初等函數(shù)0≤y≤π)，反正切函數(shù)y=arc tanx，反余切函數(shù)y = arc cotx(-∞ 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)小竅門 建立數(shù)學(xué)糾錯本。 把平時容易出現(xiàn)錯誤的知識或推理記載下來，以防再犯。爭取做到：找錯、析錯、改錯、防錯。達到：能從反面入手深入理解正確東西;能由果朔因把錯誤原因弄個水落石出、以便對癥下藥;解答問題完整、推理嚴(yán)密。 限時訓(xùn)練。 可以找一組題(比如10道選擇題)，爭取限定一個時間完成;也可以找1道大題，限時完成。這主要是創(chuàng)設(shè)一種考試情境，檢驗自己在緊張狀態(tài)下的思維水平。 調(diào)整心態(tài)，正確對待考試。 首先，應(yīng)把主要精力放在基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法這三個方面上，因為每次考試占絕大部分的也是基礎(chǔ)性的題目，而對于那些難題及綜合性較強的題目作為調(diào)劑，認真思考，盡量讓自己理出頭緒，做完題后要總結(jié)歸納。調(diào)整好自己的心態(tài)，使自己在任何時候鎮(zhèn)靜，思路有條不紊，克服浮躁的情緒。 數(shù)學(xué)函數(shù)的值域與最值知識點 1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下： (1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域. (2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元. (3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得. (4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧. (6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域. (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域. 2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的`值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異. 如函數(shù)的值域是(0，16]，最大值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響. 3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用 函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值. 初等函數(shù)是由冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過有限次的有理運算及有限次函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生，并且能用一個解析式表示的函數(shù)。非初等函數(shù)是指凡不是初等函數(shù)的函數(shù)。 初等函數(shù)是最常用的一類函數(shù)，包括常函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)(以上是基本初等函數(shù))，以及由這些函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或函數(shù)的復(fù)合而得的所有函數(shù)。即基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算或有限次的函數(shù)復(fù)合所構(gòu)成并可以用一個解析式表出的函數(shù)，稱為初等函數(shù)。 非初等函數(shù)的研究與發(fā)展是近現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重大成就之一，極大拓展了數(shù)學(xué)在各個領(lǐng)域的應(yīng)用，在概率論、物理學(xué)科各個分支中等有十分廣泛的應(yīng)用。是函數(shù)的.一個重要的分支。一般說來，大部分分段函數(shù)不是初等函數(shù)。如符號函數(shù)，狄利克雷函數(shù)，gamma函數(shù)，誤差函數(shù)，Weierstrass函數(shù)。但是個別分段函數(shù)除外。 1、指數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=ax (a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù) a的取值a>1 0 定義域x∈R x∈R 值域y∈(0，+∞) y∈(0，+∞) 單調(diào)性全定義域單調(diào)遞增全定義域單調(diào)遞減 奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) 過定點(0,1) (0,1) 注意：⑴由函數(shù)的單調(diào)性可以看出，在閉區(qū)間[a,b]上，指數(shù)函數(shù)的最值為： a>1時，最小值f(a)，最大值f(b);0 �、茖τ谌我庵笖�(shù)函數(shù)y=ax (a>0且a≠1)，都有f(1)=a。 2、對數(shù)函數(shù)：函數(shù)y=logax(a>0且a≠1))，叫做對數(shù)函數(shù) a的取值a>1 0 定義域x∈(0，+∞) x∈(0，+∞) 值域y∈R y∈R 單調(diào)性全定義域單調(diào)遞全定義域單調(diào)遞減 奇偶性非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù) 過定點(1,0) (1,0) 3、冪函數(shù)：函數(shù)y=xa(a∈R)，高中階段，冪函數(shù)只研究第I象限的情況。 ⑴所有冪函數(shù)都在(0，+∞)區(qū)間內(nèi)有定義，而且過定點(1,1)。 ⑵a>0時，冪函數(shù)圖像過原點，且在(0，+∞)區(qū)間為增函數(shù)，a越大，圖像坡度越大。 �、莂<0時，冪函數(shù)在(0，+∞)區(qū)間為減函數(shù)。 當(dāng)x從右側(cè)無限接近原點時，圖像無限接近y軸正半軸; 當(dāng)y無限接近正無窮時，圖像無限接近x軸正半軸。 冪函數(shù)總圖見下頁。 4、反函數(shù)：將原函數(shù)y=f(x)的x和y互換即得其反函數(shù)x=f-1(y)。 反函數(shù)圖像與原函數(shù)圖像關(guān)于直線y=x對稱。 數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性知識點 1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)). 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)). 2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式。 學(xué)數(shù)學(xué)的用處 第一，實際生活中數(shù)學(xué)學(xué)得好可以幫助你在工作上解決工程類或財務(wù)類的技術(shù)問題。就大多數(shù)情況來看，不能解決技術(shù)問題的人不僅收入較差而且還要到基層去從事低等體力勞動，能解決技術(shù)問題的人就可以拿高工資在辦公室當(dāng)工程師或者財務(wù)人員。 第二，數(shù)學(xué)可以使你的大腦變得更加聰明，增加你思維的嚴(yán)謹性，另外，數(shù)學(xué)對你其它科目的學(xué)習(xí)也有很大作用。 第三，數(shù)學(xué)無處不在，工作學(xué)習(xí)中都用得著，例如日常逛街買東西都是和數(shù)學(xué)有關(guān)的，這時候才能體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好處。 不等式 不等關(guān)系 了解現(xiàn)實世界和日常生活中的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景. (2)一元二次不等式 ①會從實際情境中抽象出一元二次不等式模型. �、谕ㄟ^函數(shù)圖象了解一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程的`聯(lián)系. ③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,會設(shè)計求解的程序框圖. (3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題 �、贂䦶膶嶋H情境中抽象出二元一次不等式組. �、诹私舛淮尾坏仁降膸缀我饬x,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組. �、蹠䦶膶嶋H情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決. (4)基本不等式： �、倭私饣静坏仁降淖C明過程. �、跁没静坏仁浇鉀Q簡單的(小)值問題圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點 一、兩個定理 1、共線向量定理： 兩向量共線(平行)等價于兩個向量滿足數(shù)乘關(guān)系(與實數(shù)相乘的向量不是零向量)，且數(shù)乘系數(shù)唯一。用坐標(biāo)形式表示就是兩向量共線則兩向量坐標(biāo)的“內(nèi)積等于外積”。此定理可以用來證向量平行或者使用向兩平行的條件。此定理的延伸是三點共線!三點共線可以向兩個向量的等式轉(zhuǎn)化：1.三個點中任意找兩組點構(gòu)成的兩個向量共線，滿足數(shù)乘關(guān)系;2.以同一個點為始點、三個點為終點構(gòu)造三個向量，其中一個可由另外兩個線性表示，且系數(shù)和為1。 2、平面向量基本定理： 平面內(nèi)兩個不共線的向量可以線性表示任何一個向量，且系數(shù)唯一。這兩個不共線的向量構(gòu)成一組基底，這兩個向量叫基向量。此定理的作用有兩個：1.可以統(tǒng)一題目中向量的形式;2.可以利用系數(shù)的唯一性求向量的系數(shù)(固定的算法模式)。 二、三種形式 平面向量有三種形式，字母形式、幾何形式、坐標(biāo)形式。字母形式要注意帶箭頭，多考慮幾何形式畫圖解題，特別是能得到特殊的三角形和四邊形的情況，向量的坐標(biāo)和點的坐標(biāo)不要混淆，向量的坐標(biāo)是其終點坐標(biāo)減始點坐標(biāo)，特殊情況下，若始點在原點，則向量的坐標(biāo)就是終點坐標(biāo)。 選擇合適的向量形式解決問題是解題的一個關(guān)鍵，優(yōu)先考慮用幾何形式畫圖做，然后是坐標(biāo)形式，最后考慮字母形式的變形運算。 三、四種運算 加、減、數(shù)乘、數(shù)量積。前三種運算是線性運算，結(jié)果是向量(0乘以任何向量結(jié)果都是零向量，零向量乘以任何實數(shù)都是零向量);數(shù)量積不是線性運算，結(jié)果是實數(shù)(零向量乘以任何向量都是0)。線性運算符合所有的實數(shù)運算律，數(shù)量積不符合消去律和結(jié)合律。 向量運算也有三種形式：字母形式、幾何形式和坐標(biāo)形式。 加減法的字母形式注意首尾相接和始點重合。數(shù)量積的字母形式公式很重要，要能熟練靈活的使用。 加減法的幾何意義是平行四邊形和三角形法則，數(shù)乘的幾何意義是長度的伸縮和方向的共線，數(shù)量積的幾何意義是一個向量的模乘以另一個向量在第一個向量方向上的射影的數(shù)量。向量的夾角用尖括號表示，是兩向量始點重合或者終點重合時形成的角，首尾相接形成的角為向量夾角的補角。射影數(shù)量有兩種求法：1.向量的模乘以夾角余弦;2.兩向量數(shù)量積除以另一向量的模。 加減法的坐標(biāo)形式是橫縱坐標(biāo)分別加減，數(shù)乘的坐標(biāo)形式是實數(shù)乘以橫、縱坐標(biāo)，數(shù)量積的坐標(biāo)形式是橫坐標(biāo)的乘積加縱坐標(biāo)的乘積。 四、五個應(yīng)用 求長度、求夾角、證垂直、證平行、向量和差積的模與模的和差積的關(guān)系。前三個應(yīng)用是數(shù)量積的運算性質(zhì)，證平行的數(shù)乘運算性質(zhì)，零向量不能說和哪個向量方向相同或相反，規(guī)定零向量和任意向量都平行且都垂直;一個向量乘以自己再開方就是長度;兩個向量數(shù)量積除以模的乘積就是夾角的余弦;兩個向量滿足數(shù)乘關(guān)系則必定共線(平行)。一個向量除以自己的模得到和自己同方向的單位向量，加符號是反方向的單位向量 數(shù)學(xué)函數(shù)的值域與最值知識點 1、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則，不論采用何種方法求函數(shù)值域都應(yīng)先考慮其定義域，求函數(shù)值域常用方法如下： (1)直接法：亦稱觀察法，對于結(jié)構(gòu)較為簡單的函數(shù)，可由函數(shù)的解析式應(yīng)用不等式的性質(zhì)，直接觀察得出函數(shù)的值域. (2)換元法：運用代數(shù)式或三角換元將所給的復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種簡單函數(shù)再求值域，若函數(shù)解析式中含有根式，當(dāng)根式里一次式時用代數(shù)換元，當(dāng)根式里是二次式時，用三角換元. (3)反函數(shù)法：利用函數(shù)f(x)與其反函數(shù)f-1(x)的定義域和值域間的關(guān)系，通過求反函數(shù)的定義域而得到原函數(shù)的值域，形如(a≠0)的函數(shù)值域可采用此法求得. (4)配方法：對于二次函數(shù)或二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問題可考慮用配方法. (5)不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈(0，+∞)]可以求某些函數(shù)的值域，不過應(yīng)注意條件“一正二定三相等”有時需用到平方等技巧. (6)判別式法：把y=f(x)變形為關(guān)于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域.其題型特征是解析式中含有根式或分式. (7)利用函數(shù)的單調(diào)性求值域：當(dāng)能確定函數(shù)在其定義域上(或某個定義域的子集上)的單調(diào)性，可采用單調(diào)性法求出函數(shù)的值域. (8)數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)的.值域：利用函數(shù)所表示的幾何意義，借助于幾何方法或圖象，求出函數(shù)的值域，即以數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的值域. 2、求函數(shù)的最值與值域的區(qū)別和聯(lián)系 求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的，事實上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同，因而答題的方式就有所相異. 如函數(shù)的值域是(0，16]，最大值是16，無最小值.再如函數(shù)的值域是(-∞，-2]∪[2，+∞)，但此函數(shù)無最大值和最小值，只有在改變函數(shù)定義域后，如x>0時，函數(shù)的最小值為2.可見定義域?qū)瘮?shù)的值域或最值的影響. 3、函數(shù)的最值在實際問題中的應(yīng)用 函數(shù)的最值的應(yīng)用主要體現(xiàn)在用函數(shù)知識求解實際問題上，從文字表述上常常表現(xiàn)為“工程造價最低”，“利潤最大”或“面積(體積)最大(最小)”等諸多現(xiàn)實問題上，求解時要特別關(guān)注實際意義對自變量的制約，以便能正確求得最值. 正弦函數(shù) 主詞條：正弦函數(shù)。 格式：sin（θ）。 作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度比斜邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是csc（θ）的倒數(shù)。 函數(shù)圖像：波形曲線。 值域：-1~1。 余弦函數(shù) 主詞條：余弦函數(shù)。 格式：cos（θ）。 作用：在直角三角形中，將大小為（單位為弧度）的角鄰邊長度比斜邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是sec（θ）的倒數(shù)。 函數(shù)圖像：波形曲線。 值域：-1~1。 正切函數(shù) 主詞條：正切函數(shù)。 格式：tan（θ）。 作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度比鄰邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是cot（θ）的倒數(shù)。 函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。 值域：-∞~∞。 余切函數(shù) 主詞條：余切函數(shù)。 格式：cot（θ）。 作用：在直角三角形中，將大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長度比對邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是tan（θ）的倒數(shù)。 函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。 值域：-∞~∞。 正割函數(shù) 主詞條：正割函數(shù)。 格式：sec（θ）。 作用：在直角三角形中，將斜邊長度比大小為θ（單位為弧度）的角鄰邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是cos（θ）的倒數(shù)。 函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。 值域：≥1或≤-1。 余割函數(shù) 主詞條：余割函數(shù)。 格式：csc（θ）。 作用：在直角三角形中，將斜邊長度比大小為θ（單位為弧度）的角對邊長度的比值求出，函數(shù)值為上述比的比值，也是sin（θ）的倒數(shù)。 函數(shù)圖像：右圖平面直角坐標(biāo)系反映。 值域：≥1或≤-1。 學(xué)數(shù)學(xué)的用處 第一，實際生活中數(shù)學(xué)學(xué)得好可以幫助你在工作上解決工程類或財務(wù)類的技術(shù)問題。就大多數(shù)情況來看，不能解決技術(shù)問題的人不僅收入較差而且還要到基層去從事低等體力勞動，能解決技術(shù)問題的人就可以拿高工資在辦公室當(dāng)工程師或者財務(wù)人員。 第二，數(shù)學(xué)可以使你的大腦變得更加聰明，增加你思維的嚴(yán)謹性，另外，數(shù)學(xué)對你其它科目的學(xué)習(xí)也有很大作用。 第三，數(shù)學(xué)無處不在，工作學(xué)習(xí)中都用得著，例如日常逛街買東西都是和數(shù)學(xué)有關(guān)的，這時候才能體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的好處。 數(shù)學(xué)函數(shù)的解析式與定義域知識點 1、函數(shù)及其定義域是不可分割的整體，沒有定義域的函數(shù)是不存在的，因此，要正確地寫出函數(shù)的解析式，必須是在求出變量間的對應(yīng)法則的同時，求出函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域一般有三種類型： �。�1）有時一個函數(shù)來自于一個實際問題，這時自變量x有實際意義，求定義域要結(jié)合實際意義考慮； �。�2）已知一個函數(shù)的解析式求其定義域，只要使解析式有意義即可。如： �、俜质降姆帜覆坏脼榱�； �、谂即畏礁谋婚_方數(shù)不小于零； �、蹖�(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零； ④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1； �、萑呛瘮�(shù)中的正切函數(shù)y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函數(shù)y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。 應(yīng)注意，一個函數(shù)的解析式由幾部分組成時，定義域為各部分有意義的自變量取值的公共部分（即交集）。 �。�3）已知一個函數(shù)的定義域，求另一個函數(shù)的.定義域，主要考慮定義域的深刻含義即可。 已知f（x）的定義域是[a，b]，求f[g（x）]的定義域是指滿足a≤g（x）≤b的x的取值范圍，而已知f[g（x）]的定義域[a，b]指的是x∈[a，b]，此時f（x）的定義域，即g（x）的值域。 2、求函數(shù)的解析式一般有四種情況 �。�1）根據(jù)某實際問題需建立一種函數(shù)關(guān)系時，必須引入合適的變量，根據(jù)數(shù)學(xué)的有關(guān)知識尋求函數(shù)的解析式。 �。�2）有時題設(shè)給出函數(shù)特征，求函數(shù)的解析式，可采用待定系數(shù)法。比如函數(shù)是一次函數(shù)，可設(shè)f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b為待定系數(shù)，根據(jù)題設(shè)條件，列出方程組，求出a，b即可。 �。�3）若題設(shè)給出復(fù)合函數(shù)f[g（x）]的表達式時，可用換元法求函數(shù)f（x）的表達式，這時必須求出g（x）的值域，這相當(dāng)于求函數(shù)的定義域。 �。�4）若已知f（x）滿足某個等式，這個等式除f（x）是未知量外，還出現(xiàn)其他未知量（如f（-x），等），必須根據(jù)已知等式，再構(gòu)造其他等式組成方程組，利用解方程組法求出f（x）的表達式。 【公式一】 設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等： sin（2kπ+α）=sinα（k∈Z） cos（2kπ+α）=cosα（k∈Z） tan（2kπ+α）=tanα（k∈Z） cot（2kπ+α）=cotα（k∈Z） 【公式二】 設(shè)α為任意角，π+α的三角函數(shù)值與α的.三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π+α）=—sinα cos（π+α）=—cosα tan（π+α）=tanα cot（π+α）=cotα 【公式三】 任意角α與—α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（—α）=—sinα cos（—α）=cosα tan（—α）=—tanα cot（—α）=—cotα 【公式四】 利用公式二和公式三可以得到π—α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（π—α）=sinα cos（π—α）=—cosα tan（π—α）=—tanα cot（π—α）=—cotα 【公式五】 利用公式一和公式三可以得到2π—α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系： sin（2π—α）=—sinα cos（2π—α）=cosα tan（2π—α）=—tanα cot（2π—α）=—cotα 一1.正弦、余弦公式的逆向思維 對于形如cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)這樣的形式，運用逆向思維，化解為： cos(α-β)cos(β)-sin(α-β)sin(β)=cos[(α-β)+β]=cos(α) 2.正切公式的逆向思維。 比如，由tαn(α+β)=[tαn(α)+tαn(β)] / [1-tαn(α)tαn(β)] 可得： tαn(α)+tαn(β)=tαn(α+β)[1-tαn(α)tαn(β)] [1-tαn(α)tαn(β)]=[tαn(α)+tαn(β)]/ tαn(α+β) tαn(α)tαn(β)tαn(α+β)=tαn(α+β)-tαn(α)-tαn(β) 3.二倍角公式的靈活轉(zhuǎn)化 比如：1+sin2α=sin2(α)+cos2(α)+2sin(α)cos(α) =[sin(α)+cos(α)]2 cos(2α)=2cos2(α)-1=1-2sin2(α)=cos2(α)-sin2(α)=[cos(α)+sin(α)][cos(α)-sin(α)] cos2(α)=[1+cos(2α)]/2 sin2(α)=[1-cos(2α)]/2 1+cos(α)=2cos2(α/2) 1-cos(α)=2sin2(α/2) sin(2α)/2sin(α)=2sin(α)cos(α)/2sin(α)=cos(α) sin(2α)/2cos(α)=2sin(α)cos(α)/2cos(α)=sin(α) 4.兩角和差正弦、余弦公式的相加減、相比。 比如： sin(α+β)=sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)……1 sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)……2 1式+2式，得到 sin(α+β)+sin(α-β)=2sin(α)cos(β) 1式-2式，得到 sin(α+β)-sin(α-β)=2cos(α)sin(β) 1式比2式，得到 sin(α+β)/sin(α-β)=[sin(α)cos(β)+cos(α)sin(β)]/ [sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)] =[tαn(α)+tαn(β)] / [tαn(α)-tαn(β)] 我們來看兩道例題，增加印象。 1.已知cos(α)=1/7,cos(α-β)=13/14,且0<β<α<π/2,求β 本題中，α-β∈(0,π/2) sin(α)=4√3/7 sin(α-β)=3√3/14 cos(β)=cos[α-(α-β)]=cos(α)cos(α-β)+sin(α)sin(α-β) =1/2 β=π/3 2.已知3sin2(α)+2sin2(β)=1,3sin(2α)-2sin(2β)=0,且α,β都是銳角。求α+2β 由3sin2(α)+2sin2(β)=1得到： 1-2sin2(β)=cos(2β)=3sin2(α) 由3sin(2α)-2sin(2β)=0得到： sin(2β)=3sin(2α)/2 cos(α+2β)=cos(α)cos(2β)-sin(α)sin(2β) =cos(α)3sin2(α)-sin(α)3sin(2α)/2 =3sin2(α)cos(α)-3cos(α)sin2(α) =0 加之0<α+2β<270o α+2β=90o 二軌跡知識點 符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡. 軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性(也叫做必要性);凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性(也叫做充分性). 【軌跡方程】就是與幾何軌跡對應(yīng)的代數(shù)描述。 一、求動點的軌跡方程的基本步驟 �、苯⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動點M的坐標(biāo); �、矊懗鳇cM的集合; ⒊列出方程=0; �、椿喎匠虨樽詈喰问�; �、禉z驗。 求動點的軌跡方程的常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法和交軌法等。 �、敝弊g法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。 �、捕x法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。 �、诚嚓P(guān)點法：用動點Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點P的坐標(biāo)(x0，y0)所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。 ⒋參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。 ⒌交軌法：將兩動曲線方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。 _直譯法：求動點軌跡方程的.一般步驟 �、俳ㄏ怠⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系; ②設(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P(x，y); �、哿惺健谐鰟狱cp所滿足的關(guān)系式; �、艽鷵Q——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡; �、葑C明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。 學(xué)好數(shù)學(xué)竅門是什么 文科中的科目大部分都是需要理解記憶的，數(shù)學(xué)其實也是如此，只不過是需要理解做題，勤加鍛煉自己的思維能力，面對數(shù)學(xué)題的時候，從多方面的去思考，數(shù)學(xué)學(xué)沒學(xué)好其實也體現(xiàn)在每次考試的成績上，有一些同學(xué)平時會覺得自己成績不錯，但是到了考試，成績并不是很好，這一部分原因是由于你的基礎(chǔ)知識不扎實，還是一部分原因是由于你在面對考試的時候，心態(tài)差。 魏德武速算 1，加法速算：計算任意位數(shù)的加法速算，方法很簡單學(xué)習(xí)者只要熟記一種加法速算通用口訣 ——“本位相加(針對進位數(shù)) 減加補，前位相加多加一 ”就可以徹底解決任意位數(shù)從高位數(shù)到低位數(shù)的加法速算方法，比如：(1)67+48=(6+5)×10+(7-2)=115(2)758+496=(7+5)×100+(5-0)×10+8-4=1254即可。 2，減法速算：計算任意位數(shù)的減法速算方法也同樣是用一種減法速算通用口訣 ——“本位相減(針對借位數(shù)) 加減補，前位相減多減一 ”就可以徹底解決任意位數(shù)從高位數(shù)到低位數(shù)的減法速算方法，比如：(1)，67-48=(6-5)×10+(7+2)=19，(2)，758-496=(7-5)×100+(5+1)×10+8-6=262即可。 3，乘法速算：魏氏乘法速算通用公式：ab×cd=(a+1)×c×100+b×d+魏氏速算嬗數(shù)×10。 一】 a（1）=a，a（n）為公差為r的等差數(shù)列 通項公式： a（n）=a（n—1）+r=a（n—2）+2r=...=a[n—（n—1）]+（n—1）r=a（1）+（n—1）r=a+（n—1）r。 可用歸納法證明。 n=1時，a（1）=a+（1—1）r=a。成立。 假設(shè)n=k時，等差數(shù)列的通項公式成立。a（k）=a+（k—1）r 則，n=k+1時，a（k+1）=a（k）+r=a+（k—1）r+r=a+[（k+1）—1]r。 通項公式也成立。 因此，由歸納法知，等差數(shù)列的通項公式是正確的。 求和公式： S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n） =a+（a+r）+...+[a+（n—1）r] =na+r[1+2+...+（n—1）] =na+n（n—1）r/2 同樣，可用歸納法證明求和公式。 a（1）=a，a（n）為公比為r（r不等于0）的等比數(shù)列 通項公式： a（n）=a（n—1）r=a（n—2）r^2=...=a[n—（n—1）]r^（n—1）=a（1）r^（n—1）=ar^（n—1）。 可用歸納法證明等比數(shù)列的通項公式。 求和公式： S（n）=a（1）+a（2）+...+a（n） =a+ar+...+ar^（n—1） =a[1+r+...+r^（n—1）] r不等于1時， S（n）=a[1—r^n]/[1—r] r=1時， S（n）=na。 同樣，可用歸納法證明求和公式。 二】 符合一定條件的動點所形成的圖形，或者說，符合一定條件的點的全體所組成的集合，叫做滿足該條件的點的軌跡。 軌跡，包含兩個方面的問題：凡在軌跡上的點都符合給定的條件，這叫做軌跡的純粹性（也叫做必要性）；凡不在軌跡上的點都不符合給定的條件，也就是符合給定條件的點必在軌跡上，這叫做軌跡的完備性（也叫做充分性）。 【軌跡方程】就是與幾何軌跡對應(yīng)的代數(shù)描述。 一、求動點的軌跡方程的基本步驟 �、苯⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)出動點M的坐標(biāo)； �、矊懗鳇cM的集合； �、沉谐龇匠�=0； �、椿喎匠虨樽詈喰问�； �、禉z驗。 二、求動點的軌跡方程的.常用方法：求軌跡方程的方法有多種，常用的有直譯法、定義法、相關(guān)點法、參數(shù)法和交軌法等。 �、敝弊g法：直接將條件翻譯成等式，整理化簡后即得動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法通常叫做直譯法。 �、捕x法：如果能夠確定動點的軌跡滿足某種已知曲線的定義，則可利用曲線的定義寫出方程，這種求軌跡方程的方法叫做定義法。 ⒊相關(guān)點法：用動點Q的坐標(biāo)x，y表示相關(guān)點P的坐標(biāo)x0、y0，然后代入點P的坐標(biāo)（x0，y0）所滿足的曲線方程，整理化簡便得到動點Q軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點法。 ⒋參數(shù)法：當(dāng)動點坐標(biāo)x、y之間的直接關(guān)系難以找到時，往往先尋找x、y與某一變數(shù)t的關(guān)系，得再消去參變數(shù)t，得到方程，即為動點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做參數(shù)法。 �、到卉壏ǎ簩蓜忧�方程中的參數(shù)消去，得到不含參數(shù)的方程，即為兩動曲線交點的軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做交軌法。 譯法：求動點軌跡方程的一般步驟 �、俳ㄏ怠⑦m當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系； �、谠O(shè)點——設(shè)軌跡上的任一點P（x，y）； �、哿惺健谐鰟狱cp所滿足的關(guān)系式； ④代換——依條件的特點，選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于X，Y的方程式，并化簡； ⑤證明——證明所求方程即為符合條件的動點軌跡方程。 高考數(shù)學(xué)必修四學(xué)習(xí)方法 1、先看筆記后做作業(yè)。 有的同學(xué)感到，老師講過的，自己已經(jīng)聽得明明白白了。但是為什么你這么做有那么多困難呢？原因是學(xué)生對教師所說的理解沒有達到教師要求的水平。 因此，每天做作業(yè)之前，我們必須先看一下課本的相關(guān)內(nèi)容和當(dāng)天的課堂筆記。能否如此堅持，常常是好學(xué)生與差學(xué)生的最大區(qū)別。尤其是當(dāng)練習(xí)不匹配時，老師通常沒有剛剛講過的練習(xí)類型，因此它們不能被比較和消化。如果你不重視這個實施，在很長一段時間內(nèi)，會造成很大的損失。 2、做題之后加強反思。 學(xué)生一定要明確，現(xiàn)在正做著的題，一定不是考試的題目。但使用現(xiàn)在做主題的解決問題的思路和方法。因此，我們應(yīng)該反思我們所做的每一個問題，并總結(jié)我們自己的收獲。 要總結(jié)出：這是一道什么內(nèi)容的題，用的是什么方法。做到知識成片，問題成串。日復(fù)一日，建立科學(xué)的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的內(nèi)容和方法。俗話說：有錢難買回頭看。做完作業(yè)，回頭細看，價值極大。這一回顧，是學(xué)習(xí)過程中一個非常重要的環(huán)節(jié)。 高考數(shù)學(xué)必修四學(xué)習(xí)技巧 1、科學(xué)的預(yù)習(xí)方法 預(yù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)的難點，就是聽課的重點；對預(yù)習(xí)中遇到的沒有掌握好的有關(guān)的舊知識，可進行補缺，以減聽課過程中的困難；有助于提高思維能力，預(yù)習(xí)后把自己理解了的東西與老師的講解進行比較、分析即可提高自己思維水平；預(yù)習(xí)后將課本的例題及老師要講授的習(xí)題提前完成，還可以培養(yǎng)自己的自學(xué)能力，與老師的方法進行比較，可以發(fā)現(xiàn)更多的方法與技巧�？傊@樣會使你的聽課更加有的放矢，你會知道哪些該重點聽，哪些該重點記。 2、科學(xué)的聽課方式 聽課的過程不是一個被動參預(yù)的過程，要全身心地投入課堂學(xué)習(xí)，耳到、眼到、心到、口到、手到。還要想在老師前面，不斷思考：面對這個問題我會怎么想？當(dāng)老師講解時，又要思考：老師為什么這樣想？這里用了什么思想方法？這樣做的目的是什么？這個題有沒有更好的方法？問題多了，思路自然就開闊了。 3、科學(xué)的記錄筆記 記問題——將課堂上未聽懂的問題及時記下來，便于課后請教同學(xué)或老師，把問題弄懂弄通。 記疑點——對老師在課堂上講的內(nèi)容有疑問應(yīng)及時記下，這類疑點，有可能是自己理解錯造成的，也有可能是老師講課疏忽大意造成的，記下來后，便于課后與老師商榷。 記方法——勤記老師講的解題技巧、思路及方法，這對于啟迪思維，開闊視野，開發(fā)智力，培養(yǎng)能力，并對提高解題水平大有益處。 記總結(jié)——注意記住老師的課后總結(jié)，這對于濃縮一堂課的內(nèi)容，找出重點及各部分之間的聯(lián)系，掌握基本概念、公式、定理，尋找存在問題、找到規(guī)律，融會貫通課堂內(nèi)容都很有作用。 1、平面向量基本概念 有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，以A為起點，B為終點的有向線段記作或AB； 向量的模：有向線段AB的長度叫做向量的模，記作|AB|； 零向量：長度等于0的向量叫做零向量，記作或0。（注意粗體格式，實數(shù)“0”和向量“0”是有區(qū)別的，書寫時要在實數(shù)“0”上加箭頭，以免混淆）； 相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量； 平行向量（共線向量）：兩個方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共線向量，零向量與任意向量平行，即0//a； 單位向量：模等于1個單位長度的.向量叫做單位向量，通常用e表示，平行于坐標(biāo)軸的單位向量習(xí)慣上分別用i、j表示。 相反向量：與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，—（—a）=a，零向量的相反向量仍然是零向量。 2、平面向量運算 加法與減法的代數(shù)運算： �。�1）若a=（x1，y1），b=（x2，y2）則a b=（x1+x2，y1+y2）。 向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。 向量加法有如下規(guī)律：+ = +（交換律）；+（+c）=（+）+c（結(jié)合律）； 實數(shù)與向量的積：實數(shù)與向量的積是一個向量。 �。�1）| |=| |·| |； �。�2）當(dāng)a>0時，與a的方向相同；當(dāng)a<0時，與a的方向相反；當(dāng)a=0時，a=0。 兩個向量共線的充要條件： （1）向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b= 。 �。�2）若=（），b=（）則‖b 。 3、平面向量基本定理 若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使得= e1+ e2。 4、平面向量有關(guān)推論 三角形ABC內(nèi)一點O，OA·OB=OB·OC=OC·OA，則點O是三角形的垂心。 若O是三角形ABC的外心，點M滿足OA+OB+OC=OM，則M是三角形ABC的垂心。 若O和三角形ABC共面，且滿足OA+OB+OC=0，則O是三角形ABC的重心。 三點共線：三點A，B，C共線推出OA=μOB+aOC（μ+a=1） 復(fù)數(shù)的概念： 形如a+bi（a，b∈R）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示。 復(fù)數(shù)的表示： 復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），這一表示形式叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，其中a叫復(fù)數(shù)的實部，b叫復(fù)數(shù)的虛部。 復(fù)數(shù)的幾何意義： �。�1）復(fù)平面、實軸、虛軸： 點Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）可用點Z（a，b）表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。顯然，實軸上的點都表示實數(shù)，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù) �。�2）復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即 這是因為，每一個復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟一的一個點和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個點，有惟一的一個復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。 這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義，也就是復(fù)數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方法。 復(fù)數(shù)的模： 復(fù)數(shù)z=a+bi（a、b∈R）在復(fù)平面上對應(yīng)的點Z（a，b）到原點的距離叫復(fù)數(shù)的模，記為|Z|，即|Z|= 虛數(shù)單位i： �。�1）它的平方等于—1，即i2=—1； �。�2）實數(shù)可以與它進行四則運算，進行四則運算時，原有加、乘運算律仍然成立 �。�3）i與—1的關(guān)系：i就是—1的一個平方根，即方程x2=—1的一個根，方程x2=—1的另一個根是—i。 �。�4）i的周期性：i4n+1=i，i4n+2=—1，i4n+3=—i，i4n=1。 復(fù)數(shù)模的性質(zhì)： 復(fù)數(shù)與實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)及0的關(guān)系： 對于復(fù)數(shù)a+bi（a、b∈R），當(dāng)且僅當(dāng)b=0時，復(fù)數(shù)a+bi（a、b∈R）是實數(shù)a；當(dāng)b≠0時，復(fù)數(shù)z=a+bi叫做虛數(shù)；當(dāng)a=0且b≠0時，z=bi叫做純虛數(shù)；當(dāng)且僅當(dāng)a=b=0時，z就是實數(shù)0。 兩個復(fù)數(shù)相等的定義： 如果兩個復(fù)數(shù)的實部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個復(fù)數(shù)相等，即：如果a，b，c，d∈R，那么a+bi=c+di a=c，b=d。特殊地，a，b∈R時，a+bi=0 a=0，b=0。 復(fù)數(shù)相等的充要條件，提供了將復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題解決的途徑。 復(fù)數(shù)相等特別提醒： 一般地，兩個復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比較大小。如果兩個復(fù)數(shù)都是實數(shù)，就可以比較大小，也只有當(dāng)兩個復(fù)數(shù)全是實數(shù)時才能比較大小。 解復(fù)數(shù)相等問題的方法步驟： �。�1）把給的復(fù)數(shù)化成復(fù)數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式； �。�2）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件解之。 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)技巧 1、做好預(yù)習(xí)： 單元預(yù)習(xí)時粗讀，了解近階段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，課時預(yù)習(xí)時細讀，注重知識的形成過程，對難以理解的概念、公式和法則等要做好記錄，以便帶著問題聽課。 2、認真聽課： 聽課應(yīng)包括聽、思、記三個方面。聽，聽知識形成的來龍去脈，聽重點和難點，聽例題的解法和要求。思，一是要善于聯(lián)想、類比和歸納，二是要敢于質(zhì)疑，提出問題。記，指課堂筆記——記方法，記疑點，記要求，記注意點。 3、認真解題： 課堂練習(xí)是最及時最直接的反饋，一定不能錯過。不要急于完成作業(yè)，要先看看你的筆記本，回顧學(xué)習(xí)內(nèi)容，加深理解，強化記憶。 4、及時糾錯： 課堂練習(xí)、作業(yè)、檢測，反饋后要及時查閱，分析錯題的原因，必要時強化相關(guān)計算的訓(xùn)練。不明白的問題要及時向同學(xué)和老師請教了，不能將問題處于懸而未解的狀態(tài)，養(yǎng)成今日事今日畢的好習(xí)慣。 數(shù)學(xué)中的合數(shù)是什么意思？ 合數(shù)的概念 合數(shù)指自然數(shù)中除了能被1和本身整除外，還能被其他數(shù)（0除外）整除的數(shù)。與之相對的是質(zhì)數(shù)，而1既不屬于質(zhì)dao數(shù)也不屬于合數(shù)。最小的合數(shù)是4。其中，完全數(shù)與相親數(shù)是以它為基礎(chǔ)的'。 什么是質(zhì)數(shù) 質(zhì)數(shù)又稱素數(shù)，有無限個。一個大于1的自然數(shù)，除了1和它本身外，不能被其他自然數(shù)整除，換句話說就是該數(shù)除了1和它本身以外不再有其他的因數(shù)；否則稱為合數(shù)。 根據(jù)算術(shù)基本定理，每一個比1大的整數(shù)，要么本身是一個質(zhì)數(shù)，要么可以寫成一系列質(zhì)數(shù)的乘積；而且如果不考慮這些質(zhì)數(shù)在乘積中的順序，那么寫出來的形式是唯一的。最小的質(zhì)數(shù)是2。 質(zhì)數(shù)和合數(shù)應(yīng)用 1、質(zhì)數(shù)與密碼學(xué)：所謂的公鑰就是將想要傳遞的信息在編碼時加入質(zhì)數(shù)，編碼之后傳送給收信人，任何人收到此信息后，若沒有此收信人所擁有的密鑰，則解密的過程中（實為尋找素數(shù)的過程），將會因為找質(zhì)數(shù)的過程（分解質(zhì)因數(shù)）過久，使即使取得信息也會無意義。 2、質(zhì)數(shù)與變速箱：在汽車變速箱齒輪的設(shè)計上，相鄰的兩個大小齒輪齒數(shù)設(shè)計成質(zhì)數(shù)，以增加兩齒輪內(nèi)兩個相同的齒相遇嚙合次數(shù)的最小公倍數(shù)，可增強耐用度減少故障。 1.向量可以形象化地表示為帶箭頭的線段。箭頭所指：代表向量的方向;線段長度：代表向量的大小。 2.規(guī)定若線段AB的端點A為起點，B為終點，則線段就具有了從起點A到終點B的方向和長度。具有方向和長度的線段叫做有向線段。 3.向量的模：向量的大小，也就是向量的長度(或稱模)。向量a的模記作|a|。 注：向量的模是非負實數(shù)，是可以比較大小的。因為方向不能比較大小，所以向量也就不能比較大小。對于向量來說“大于”和“小于”的概念是沒有意義的。 4.單位向量：長度為一個單位(即模為1)的向量，叫做單位向量.與向量a同向，且長度為單位1的向量，叫做a方向上的單位向量，記作a0。 5.長度為0的向量叫做零向量，記作0。零向量的始點和終點重合，所以零向量沒有確定的方向，或說零向量的方向是任意的'。 向量的計算 1.加法 交換律：a+b=b+a; 結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2.減法 如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量為0 加減變換律：a+(-b)=a-b 3.數(shù)量積 定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b，則∠AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作θ并規(guī)定0≤θ≤π 向量的數(shù)量積的運算律 a·b=b·a(交換律) (λa)·b=λ(a·b)(關(guān)于數(shù)乘法的結(jié)合律) (a+b)·c=a·c+b·c(分配律) 向量的數(shù)量積的性質(zhì) a·a=|a|的平方。 a⊥b〈=〉a·b=0。 |a·b|≤|a|·|b|。(該公式證明如下：|a·b|=|a|·|b|·|cosα| 因為0≤|cosα|≤1，所以|a·b|≤|a|·|b|) 高中學(xué)好數(shù)學(xué)的方法是什么 數(shù)學(xué)需要沉下心去做，浮躁的人很難學(xué)好數(shù)學(xué)，踏踏實實做題才是硬道理。 數(shù)學(xué)要想學(xué)好，不琢磨是行不通的，遇到難題不能躲，研究明白了才能罷休。 數(shù)學(xué)最主要的就是解題過程，懂得數(shù)學(xué)思維很關(guān)鍵，思路通了，數(shù)學(xué)自然就會了。 數(shù)學(xué)不是用來看的，而是用來算的，或許這一秒沒思路，當(dāng)你拿起筆開始計算的那一秒，就豁然開朗了。 數(shù)學(xué)題目不會做，原因之一就是例題沒研究明白，所以數(shù)學(xué)書上的例題絕對不要放過。 數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性知識點 1、函數(shù)的奇偶性的定義：對于函數(shù)f(x)，如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)(或偶函數(shù)). 正確理解奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，要注意兩點：(1)定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點對稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是定義域上的恒等式.(奇偶性是函數(shù)定義域上的整體性質(zhì)). 2、奇偶函數(shù)的定義是判斷函數(shù)奇偶性的主要依據(jù)。為了便于判斷函數(shù)的奇偶性，有時需要將函數(shù)化簡或應(yīng)用定義的等價形式。 一、夯實數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的方法 首先課堂緊跟老師，認真聽每一節(jié)課，記好課堂筆記，有些學(xué)生喜歡自己課后自學(xué)，課堂不愛聽講，這是極錯誤的，因為老師對于高考的了解和對知識的掌握，遠遠勝過我們自學(xué)，緊跟老師是打好基礎(chǔ)最關(guān)鍵的一步。 對課本基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)，我們強烈建議大家使用思維導(dǎo)圖，可以把課本上的'知識都畫成樹狀層，這樣更容易理解、記憶，這樣知識點不再是孤立而是成了一個網(wǎng)，這比光看書效果要好很多很多。 二、數(shù)學(xué)正確的做題方法 想學(xué)好數(shù)學(xué)，大量做題確實很有必要，但你真的會做題嗎？多數(shù)同學(xué)雖然也做了大量的題目，但成績還是不好，核心原因就是做題忽略了最重要的一步，那就是總結(jié)反思。每做完一道題目，大家還需要總結(jié)一下，問一下自己下面這些問題：它考查了哪些知識、自己有沒有掌握、題目的解題思路在哪里、突破口是什么、屬于哪種題型、此類題型有什么共同的套路、此類題型應(yīng)該用什么方法來解答。只有多問自己幾個為什么，你才能真正吃透一道題，達到做一道題會一類題。 做題并不是越多越好，要知道題海戰(zhàn)術(shù)只是手段，我們最終的目的還是通過做題加深對知識的理解，掌握解題套路，提高做題速度，如果做題不總結(jié)，你刷再多題效果也不會明顯。 平面向量 戴氏航天學(xué)校老師總結(jié)加法與減法的代數(shù)運算： (1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )則a b=(x1+x2,y1+y2 ). 向量加法與減法的幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。 戴氏航天學(xué)校老師總結(jié)向量加法有如下規(guī)律：+= +(交換律); +( +c)=( + )+c (結(jié)合律); 兩個向量共線的充要條件： (1) 向量b與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個實數(shù)，使得b= . (2) 若=(),b=()則‖b . 平面向量基本定理： 若e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，戴氏航天學(xué)校老師提醒有且只 有一對實數(shù)，，使得= e1+ e2 高考數(shù)學(xué)必修四學(xué)習(xí)方法 養(yǎng)成良好的課前和課后學(xué)習(xí)習(xí)慣：在當(dāng)前高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，培養(yǎng)正確的學(xué)習(xí)習(xí)慣是一項重要的學(xué)習(xí)技能。雖然有一種刻板印象的猜疑，但在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真的是反復(fù)嘗試和錯誤的。學(xué)生們不得不預(yù)習(xí)課本。我準(zhǔn)備的數(shù)學(xué)教科書不是簡單的閱讀，而是一個例子，至少十分鐘的思考。在使用前不能通過學(xué)習(xí)知識解決問題的情況下，可以在教學(xué)內(nèi)容中找到答案，然后在教材中考察問題的解決過程，掌握解決問題的思路。同時，在課堂上安排筆記也是必要的`。在高中數(shù)學(xué)研究中，建議采用兩種形式的筆記，一種是課堂速記，另一種是課后筆記。這不僅提高了課堂記憶的吸收能力，而且有助于對筆記內(nèi)容的查詢。 高考數(shù)學(xué)必修四學(xué)習(xí)技巧 養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣 多質(zhì)疑、勤思考、好動手、重歸納、注意應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，要把教師所傳授的知識翻譯成為自己的特殊語言，并永久記憶在自己的腦海中。良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)習(xí)慣包括課前自學(xué)、專心上課、及時復(fù)習(xí)、獨立作業(yè)、解決疑難、系統(tǒng)小結(jié)和課外學(xué)習(xí)幾個方面。 及時了解、掌握常用的數(shù)學(xué)思想和方法 中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要重點掌握的的數(shù)學(xué)思想有以上幾個：集合與對應(yīng)思想，分類討論思想，數(shù)形結(jié)合思想，運動思想，轉(zhuǎn)化思想，變換思想。 有了數(shù)學(xué)思想以后，還要掌握具體的方法，比如：換元、待定系數(shù)、數(shù)學(xué)歸納法、分析法、綜合法、反證法等等。在具體的方法中，常用的有：觀察與實驗，聯(lián)想與類比，比較與分類，分析與綜合，歸納與演繹，一般與特殊，有限與無限，抽象與概括等。 【數(shù)學(xué)必修四知識點】相關(guān)文章： 數(shù)學(xué)必修四知識點02-13 必修四數(shù)學(xué)知識點02-08 必修四數(shù)學(xué)知識點歸納07-30 必修四數(shù)學(xué)公式知識點08-17 高三數(shù)學(xué)必修知識點07-23 數(shù)學(xué)必修內(nèi)容知識點總結(jié)04-28 數(shù)學(xué)必修一知識點框架12-07數(shù)學(xué)必修四知識點4
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