對數(shù)函數(shù)的定義是什么

　　一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù)。下面是百分網(wǎng)小編給大家整理的對數(shù)函數(shù)的定義簡介，希望能幫到大家！

　　對數(shù)函數(shù)的定義

　　一般地，對數(shù)函數(shù)以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)。

　　對數(shù)函數(shù)是6類基本初等函數(shù)之一。其中對數(shù)的定義：

　　如果ax=N(a>0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logaN，讀作以a為底N的對數(shù)，其中a叫做對數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)。

　　一般地，函數(shù)y=logax(a>0，且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù)，也就是說以冪(真數(shù))為自變量，指數(shù)為因變量，底數(shù)為常量的函數(shù)，叫對數(shù)函數(shù)。

　　其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，+∞)，即x>0。它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)，可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定，同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

　　“l(fā)og”是拉丁文logarithm(對數(shù))的縮寫，讀作：[英][lɡ][美][lɡ, lɑɡ]。

　　對數(shù)函數(shù)的實際應用

　　在實數(shù)域中，真數(shù)式子沒根號那就只要求真數(shù)式大于零，如果有根號，要求真數(shù)大于零還要保證根號里的式子大于等于零(若為負數(shù)，則值為虛數(shù))，底數(shù)則要大于0且不為1。

　　對數(shù)函數(shù)的底數(shù)為什么要大于0且不為1？【在一個普通對數(shù)式里 a<0,或=1 的時候是會有相應b的值。但是，根據(jù)對數(shù)定義：log以a為底a的對數(shù)；如果a=1或=0那么log以a為底a的對數(shù)就可以等于一切實數(shù)(比如log11也可以等于2，3，4，5，等等)】

　　通常我們將以10為底的對數(shù)叫常用對數(shù)(common logarithm),并把log10N記為lgN。另外，在科學計數(shù)中常使用以無理數(shù)e=2.71828···為底數(shù)的對數(shù)，以e為底的對數(shù)稱為自然對數(shù)(natural logarithm)，并且把logeN 記為In N。根據(jù)對數(shù)的定義，可以得到對數(shù)與指數(shù)間的關系：

　　當a>0，a≠1時，aX=N X=logaN。(N>0)

　　由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的這個關系，可以得到關于對數(shù)的如下結(jié)論：

　　在實數(shù)范圍內(nèi)，負數(shù)和零沒有對數(shù)；

　　log以a為底1的對數(shù)為0(a為常數(shù)) 恒過點(1，0)。

　　有理和無理指數(shù)

　　如果 是正整數(shù), 表示等于 的 個因子的加減:

　　但是，如果是 不等于1的正實數(shù)，這個定義可以擴展到在一個域中的任何實數(shù) (參見冪)。類似的，對數(shù)函數(shù)可以定義于任何正實數(shù)。對于不等于1的每個正底數(shù) ，有一個對數(shù)函數(shù)和一個指數(shù)函數(shù)，它們互為反函數(shù)。

　　對數(shù)可以簡化乘法運算為加法，除法為減法，冪運算為乘法，根運算為除法。所以，在發(fā)明電子計算機之前，對數(shù)對進行冗長的數(shù)值運算是很有用的，它們廣泛的用于天文、工程、航海和測繪等領域中。它們有重要的數(shù)學性質(zhì)而在今天仍在廣泛使用中。

　　復對數(shù)

　　復對數(shù)計算公式

　　復數(shù)的自然對數(shù)，實部等于復數(shù)的模的自然對數(shù)，虛部等于復數(shù)的輻角。

　　產(chǎn)生歷史

　　16世紀末至17世紀初的時候，當時在自然科學領域（特別是天文學）的發(fā)展上經(jīng)常遇到大量精密而又龐大的數(shù)值計算，于是數(shù)學家們?yōu)榱藢で蠡�簡的計算方法而發(fā)明了對數(shù)[1]。

　　德國的史蒂非（1487-1567）在1544年所著的《整數(shù)算術》中，寫出了兩個數(shù)列，左邊是等比數(shù)列（叫原數(shù)），右邊是一個等差數(shù)列（叫原數(shù)的代表，或稱指數(shù)，德文是Exponent ，有代表之意）。

　　欲求左邊任兩數(shù)的積（商），只要先求出其代表（指數(shù)）的和（差），然后再把這個和（差）對向左邊的一個原數(shù)，則此原數(shù)即為所求之積（商），可惜史提非并未作進一步探索，沒有引入對數(shù)的概念。

　　納皮爾對數(shù)值計算頗有研究。他所制造的“納皮爾算籌”，化簡了乘除法運算，其原理就是用加減來代替乘除法。 他發(fā)明對數(shù)的動機是為尋求球面三角計算的簡便方法，他依據(jù)一種非常獨等的與質(zhì)點運動有關的設想構(gòu)造出所謂對數(shù)方法，其核心思想表現(xiàn)為算術數(shù)列與幾何數(shù)列之間的聯(lián)系。在他的1619年發(fā)表《奇妙的對數(shù)表的描述》中闡明了對數(shù)原理，后人稱為 納皮爾對數(shù)，記為Nap．㏒x，它與自然對數(shù)的關系為：

　　Nap．㏒x=10㏑（107/x）

　　由此可知，納皮爾對數(shù)既不是自然對數(shù)，也不是常用對數(shù)，與現(xiàn)今的對數(shù)有一定的距離。

　　瑞士的彪奇（1552-1632）也獨立地發(fā)現(xiàn)了對數(shù)，可能比納皮爾較早，但發(fā)表較遲（1620）。

　　英國的布里格斯在1624年創(chuàng)造了常用對數(shù)。

　　1619年，倫敦斯彼得所著的《新對數(shù)》使對數(shù)與自然對數(shù)更接近（以e=2.71828...為底）。

　　對數(shù)的發(fā)明為當時社會的發(fā)展起了重要的影響，簡化了行星軌道運算問題。正如科學家伽利略（1564-1642）說：“給我時間，空間和對數(shù)，我可以創(chuàng)造出一個宇宙”。 又如十八世紀數(shù)學家拉普拉斯（ 1749-1827）亦提到：“對數(shù)用縮短計算的時間來使天文學家的壽命加倍”。

　　最早傳入中國的對數(shù)著作是《比例與對數(shù)》，它是由波蘭的穆尼斯（1611-1656）和中國的薛鳳祚在17世紀中葉合編而成的。當時在lg2=0.3010中，2叫真數(shù)，0.3010叫做假數(shù)，真數(shù)與假數(shù)對列成表，故稱對數(shù)表。后來改用假數(shù)為對數(shù)」。

　　中國清代的數(shù)學家戴煦（1805-1860）發(fā)展了多種求對數(shù)的捷法，著有《對數(shù)簡法》（1845）、《續(xù)對數(shù)簡法》（1846）等。1854年，英國的數(shù)學家艾約瑟（1825-1905）看到這些著作后，大為嘆服。

　　當今中學數(shù)學教科書是先講「指數(shù)」，后以反函數(shù)形式引出「對數(shù)」的概念。但在歷史上，恰恰相反，對數(shù)概念不是來自指數(shù)，因為當時尚無分指數(shù)及無理指數(shù)的明確概念。布里格斯曾向納皮爾提出用冪指數(shù)表示對數(shù)的建議。1742年，J．威廉（1675-1749）在給G.威廉的《對數(shù)表》所寫的前言中作出指數(shù)可定義對數(shù)。而歐拉在他的名著《無窮小分析尋論》（1748）中明確提出對數(shù)函數(shù)是指數(shù)函數(shù)的逆函數(shù)，和21世紀的教科書中的提法一致。

　　表達方式

　�。�1）常用對數(shù)：lg（b）=log10b（10為底數(shù)）。

　�。�2）自然對數(shù)：ln（b）=logeb（e為底數(shù)）。

　　e為無限不循環(huán)小數(shù)，通常情況下只取e=2.71828。

　　與指數(shù)的關系

　　同底的對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)。

　　當a>0且a≠1時，ax=Nx=㏒aN。

　　關于y=x對稱。

　　對數(shù)函數(shù)的一般形式為 y=㏒ax，它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)（圖象關于直線y=x對稱的兩函數(shù)互為反函數(shù)），可表示為x=ay。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定（a>0且a≠1），右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形：關于X軸對稱、當a>1時，a越大，圖像越靠近x軸、當0

　　可以看到，對數(shù)函數(shù)的圖形只不過是指數(shù)函數(shù)的圖形的關于直線y=x的對稱圖形，因為它們互為反函數(shù)。

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