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因式分解的十二種方法
學(xué)習(xí)初中數(shù)學(xué)因式分解方程首要培養(yǎng)學(xué)習(xí)興趣，并培養(yǎng)學(xué)習(xí)習(xí)慣；其次是多做題，熟練掌握；最后就是掌握好因式分解方程的常用方算法，與做題相結(jié)合，能夠讓自己更好的理解這些方算法。接下來(lái)小編為你帶來(lái)因式分解方程的十二種方算法，希望對(duì)你有幫助。
因式分解方程是我們解決許多數(shù)學(xué)問題的有力工具。接下來(lái)的內(nèi)容是初二數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)之因式分解方程。
因式分解方程
定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解方程(也叫作分解因式)。
分解因式與整式乘法為相反變形。
同時(shí)也是解一元二次方程中公式法的重要步驟
1、因式分解方程與解高次方程有密切的關(guān)系。對(duì)于一元一次方程和一元二次方程，初中已有相對(duì)固定和容易的方法。在數(shù)學(xué)上可以證明，對(duì)于一元三次和一元四次方程，也有固定的公式可以求解。只是因?yàn)楣竭^于復(fù)雜，在非專業(yè)領(lǐng)域沒有介紹。對(duì)于分解因式，三次多項(xiàng)式和四次多項(xiàng)式也有固定的分解方法，只是比較復(fù)雜。對(duì)于五次以上的一般多項(xiàng)式，已經(jīng)證明不能找到固定的因式分解方程法，五次以上的一元方程也沒有固定解法。
2 、所有的三次和三次以上多項(xiàng)式都可以因式分解方程。這看起來(lái)或許有點(diǎn)不可思議。比如X^4+1,這是一個(gè)一元四次多項(xiàng)式，看起來(lái)似乎不能因式分解方程。但是它的次數(shù)高于3，所以一定可以因式分解方程。如果有興趣，你也可以用待定系數(shù)法將其分解，只是分解出來(lái)的式子并不整潔。
3 、因式分解方程雖然沒有固定方法，但是求兩個(gè)多項(xiàng)式的公因式卻有固定方法。因式分解方程很多時(shí)候就是用來(lái)提公因式的。尋找公因式可以用輾轉(zhuǎn)相除法來(lái)求得。標(biāo)準(zhǔn)的輾轉(zhuǎn)相除技能對(duì)于中學(xué)生來(lái)說(shuō)難度頗高，但是中學(xué)有時(shí)候要處理的多項(xiàng)式次數(shù)并不太高，所以反復(fù)利用多項(xiàng)式的除法也可以比較笨，但是有效地解決找公因式的問題。
方法 因式分解方程沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法，分組分解法和十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式，輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法，求根公式法，換元法，長(zhǎng)除法，短除法，除法等。
注意三原則
1.分解要徹底(是否有公因式，是否可用公式)
2.最后結(jié)果只有小括號(hào)
3.最后結(jié)果中多項(xiàng)式首項(xiàng)系數(shù)為正(例如：-3x^2+x=x(-3x+1))
4.最后結(jié)果每一項(xiàng)都為最簡(jiǎn)因式
歸納方法：
1.提公因式法。
2.公式法。
3.分組分解法。
4.湊數(shù)法。[x^2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)]
5.組合分解法。
6.十字相乘法。
7.雙十字相乘法。
8.配方法。
9.拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法。
10.換元法。
11.長(zhǎng)除法。
12.求根法。
13.圖象法。
14.主元法。
15.待定系數(shù)法。
16.特殊值法。
17.因式定理法。
溫馨提示：在高等數(shù)學(xué)上因式分解方程有一些重要結(jié)論，在初等數(shù)學(xué)層面上證明很困難，但是理解很容易。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：平面直角坐標(biāo)系
下面是對(duì)平面直角坐標(biāo)系的內(nèi)容學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們很好的掌握下面的內(nèi)容。
平面直角坐標(biāo)系：在平面內(nèi)畫兩條互相垂直、原點(diǎn)重合的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。
水平的數(shù)軸稱為x軸或橫軸，豎直的數(shù)軸稱為y軸或縱軸，兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。
平面直角坐標(biāo)系的要素：①在同一平面②兩條數(shù)軸③互相垂直④原點(diǎn)重合
三個(gè)規(guī)定：
�、僬较虻囊�(guī)定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向
�、趩挝婚L(zhǎng)度的規(guī)定；一般情況，橫軸、縱軸單位長(zhǎng)度相同；實(shí)際有時(shí)也可不同，但同一數(shù)軸上必須相同。
�、巯笙薜囊�(guī)定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。
相信上面對(duì)平面直角坐標(biāo)系知識(shí)的講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們都能考試成功。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成
對(duì)于平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成內(nèi)容，下面我們一起來(lái)學(xué)習(xí)哦。
平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成
在同一個(gè)平面上互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，簡(jiǎn)稱為直角坐標(biāo)系。通常，兩條數(shù)軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數(shù)軸的正方向。水平的數(shù)軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數(shù)軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統(tǒng)稱為坐標(biāo)軸，它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)。
通過上面對(duì)平面直角坐標(biāo)系的構(gòu)成知識(shí)的講解學(xué)習(xí)，希望同學(xué)們對(duì)上面的內(nèi)容都能很好的掌握，同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)吧。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)
下面是對(duì)數(shù)學(xué)中點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)知識(shí)學(xué)習(xí)，同學(xué)們認(rèn)真看看哦。
點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)
建立了平面直角坐標(biāo)系后，對(duì)于坐標(biāo)系平面內(nèi)的任何一點(diǎn)，我們可以確定它的坐標(biāo)。反過來(lái)，對(duì)于任何一個(gè)坐標(biāo)，我們可以在坐標(biāo)平面內(nèi)確定它所表示的一個(gè)點(diǎn)。
對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)C，過點(diǎn)C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)a，b分別叫做點(diǎn)C的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序?qū)崝?shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)C的坐標(biāo)。
一個(gè)點(diǎn)在不同的象限或坐標(biāo)軸上，點(diǎn)的坐標(biāo)不一樣。
希望上面對(duì)點(diǎn)的坐標(biāo)的性質(zhì)知識(shí)講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們都能很好的掌握，相信同學(xué)們會(huì)在考試中取得優(yōu)異成績(jī)的。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：因式分解方程的一般步驟
關(guān)于數(shù)學(xué)中因式分解方程的一般步驟內(nèi)容學(xué)習(xí)，我們做下面的知識(shí)講解。
因式分解方程的一般步驟
如果多項(xiàng)式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項(xiàng)式就考慮運(yùn)用公式法；若是四項(xiàng)或四項(xiàng)以上的多項(xiàng)式，
通常采用分組分解法，最后運(yùn)用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。
注意：因式分解方程一定要分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解方程，若題目沒有明確指出在哪個(gè)范圍內(nèi)因式分解方程，應(yīng)該是指在有理數(shù)范圍內(nèi)因式分解方程，因此分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式。
相信上面對(duì)因式分解方程的一般步驟知識(shí)的內(nèi)容講解學(xué)習(xí)，同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望同學(xué)們會(huì)考出好成績(jī)。
初中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)：因式分解方程
下面是對(duì)數(shù)學(xué)中因式分解方程內(nèi)容的知識(shí)講解，希望同學(xué)們認(rèn)真學(xué)習(xí)。
因式分解方程
因式分解方程定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式的變形叫把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解方程。
因式分解方程要素：①結(jié)果必須是整式②結(jié)果必須是積的形式③結(jié)果是等式④
因式分解方程與整式乘法的關(guān)系：m(a+b+c)
公因式：一個(gè)多項(xiàng)式每項(xiàng)都含有的公共的因式，叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
公因式確定方法：①系數(shù)是整數(shù)時(shí)取各項(xiàng)最大公約數(shù)。②相同字母取最低次冪③系數(shù)最大公約數(shù)與相同字母取最低次冪的積就是這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。
提取公因式步驟：
�、俅_定公因式。②確定商式③公因式與商式寫成積的形式。
分解因式注意；
①不準(zhǔn)丟字母
�、诓粶�(zhǔn)丟常數(shù)項(xiàng)注意查項(xiàng)數(shù)
�、垭p重括號(hào)化成單括號(hào)
�、芙Y(jié)果按數(shù)單字母單項(xiàng)式多項(xiàng)式順序排列
�、菹嗤蚴綄懗蓛绲男问�
⑥首項(xiàng)負(fù)號(hào)放括號(hào)外
�、呃ㄌ�(hào)內(nèi)同類項(xiàng)合并。
通過上面對(duì)因式分解方程內(nèi)容知識(shí)的講解學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們已經(jīng)能很好的掌握了吧，希望上面的內(nèi)容給同學(xué)們的學(xué)習(xí)很好的幫助。
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解方程.因式分解方程的方算法多種多樣,現(xiàn)總結(jié)如下：
1、 提公因算法
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.
例1、 分解因式x -2x -x(2003淮安市中考題)
x -2x -x=x(x -2x-1)
2、 應(yīng)用公式算法
是因?yàn)榉纸庖蚴脚c整式乘算法有著互逆的關(guān)系,如果把乘算法公式反過來(lái),那么就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.
例2、分解因式a +4ab+4b (2003南通市中考題)
a +4ab+4b =（a+2b）
3、 分組分解算法
要把多項(xiàng)式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式a,把它后兩項(xiàng)分成一組,并提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m +5n-mn-5m
m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n
= (m -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘算法
對(duì)于mx +px+q形式的多項(xiàng)式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項(xiàng)式可因式分解方程為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x -19x-6
分析：1 -3
7 2
2-21=-19
7x -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方算法
對(duì)于那些不能利用公式算法的多項(xiàng)式,有的可以利用將其配成一個(gè)完全平方式,然后再利用平方差公式,就能將其因式分解方程.
例5、分解因式x +3x-40
解x +3x-40=x +3x+( ) -( ) -40
=(x+ ) -( )
=(x+ + )(x+ - )
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項(xiàng)算法
可以把多項(xiàng)式拆成若干部分,再用進(jìn)行因式分解方程.
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元算法
有時(shí)在分解因式時(shí),可以選擇多項(xiàng)式中的相同的部分換成另一個(gè)未知數(shù),然后進(jìn)行因式分解方程,最后再轉(zhuǎn)換回來(lái).
例7、分解因式2x -x -6x -x+2
2x -x -6x -x+2=2(x +1)-x(x +1)-6x
=x [2(x + )-(x+ )-6
令y=x+ ,x [2(x + )-(x+ )-6
= x [2(y -2)-y-6]
= x (2y -y-10)
=x (y+2)(2y-5)
=x (x+ +2)(2x+ -5)
= (x +2x+1) (2x -5x+2)
=(x+1) (2x-1)(x-2)
8、 求根算法
令多項(xiàng)式f(x)=0,求出其根為x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解方程為f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6
令f(x)=2x +7x -2x -13x+6=0
通過綜合除算法可知,f(x)=0根為 ,-3,-2,1
則2x +7x -2x -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 圖象算法
令y=f(x),做出函數(shù)y=f(x)的圖象,找到函數(shù)圖象與X軸的交點(diǎn)x ,x ,x ,……x ,則多項(xiàng)式可因式分解方程為f(x)= f(x)=(x-x )(x-x )(x-x )……(x-x )
例9、因式分解方程x +2x -5x-6
令y= x +2x -5x-6
作出其圖象,見右圖,與x軸交點(diǎn)為-3,-1,2
則x +2x -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元算法
先選定一個(gè)字母為主元,然后把各項(xiàng)按這個(gè)字母次數(shù)從高到低排列,再進(jìn)行因式分解方程.
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此題可選定a為主元,將其按次數(shù)從高到低排列
a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值算法
將2或10代入x,求出數(shù)P,將數(shù)P分解質(zhì)因數(shù),將質(zhì)因數(shù)適當(dāng)?shù)慕M合,并將組合后的每一個(gè)因數(shù)寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解方程式.
例11、分解因式x +9x +23x+15
令x=2,則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個(gè)質(zhì)因數(shù)的積,即105=3×5×7
注意到多項(xiàng)式中最高項(xiàng)的系數(shù)為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時(shí)的值
則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）
12、待定系數(shù)算法
首先判斷出分解因式的形式,然后設(shè)出相應(yīng)整式的字母系數(shù),求出字母系數(shù),從而把多項(xiàng)式因式分解方程.
例12、分解因式x -x -5x -6x-4
分析：易知這個(gè)多項(xiàng)式?jīng)]有一次因式,因而只能分解為兩個(gè)二次因式.
設(shè)x -x -5x -6x-4=(x +ax+b)(x +cx+d)
= x +(a+c)x +(ac+b+d)x +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
因式分解的定義
把一個(gè)多項(xiàng)式在一個(gè)范圍化為幾個(gè)整式的積的形式，這種式子變形叫做這個(gè)多項(xiàng)式的因式分解，也叫作把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。
因式分解主要有十字相乘法，待定系數(shù)法，雙十字相乘法，對(duì)稱多項(xiàng)式，輪換對(duì)稱多項(xiàng)式法，余式定理法等方法，求根公因式分解沒有普遍適用的方法，初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法。而在競(jìng)賽上，又有拆項(xiàng)和添減項(xiàng)法式法，換元法，長(zhǎng)除法，短除法，除法等。
因式分解常用公式
1、平方差公式：a2—b2=（a+b）（a—b）。
2、完全平方公式：a2+2ab+b2=（a+b）2。
3、立方和公式：a3+b3=（a+b）（a2—ab+b2）。
4、立方差公式：a3—b3=（a—b）（a2+ab+b2）。
5、完全立方和公式：a3+3a2b+3ab2+b3=（a+b）3。
6、完全立方差公式：a3—3a2b+3ab2—b3=（a—b）3。
7、三項(xiàng)完全平方公式：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac=（a+b+c）2。
8、三項(xiàng)立方和公式：a3+b3+c3—3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2—ab—bc—ac）。
拓展閱讀：因式分解方法
1、提公因式法
如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式，可以把這個(gè)公因式提出來(lái)，從而將多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。
各項(xiàng)都含有的公共的因式叫做這個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式。公因式可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式。
具體方法：在確定公因式前，應(yīng)從系數(shù)和因式兩個(gè)方面考慮。當(dāng)各項(xiàng)系數(shù)都是整數(shù)時(shí)，公因式的系數(shù)應(yīng)取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)字母取各項(xiàng)的相同的字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)最低的。當(dāng)各項(xiàng)的系數(shù)有分?jǐn)?shù)時(shí)，公因式系數(shù)為各分?jǐn)?shù)的最大公約數(shù)。如果多項(xiàng)式的第一項(xiàng)為負(fù)，要提出負(fù)號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)成為正數(shù)。提出負(fù)號(hào)時(shí)，多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào)。
基本步驟：
（1）找出公因式；
�。�2）提公因式并確定另一個(gè)因式；
①找公因式可按照確定公因式的方法先確定系數(shù)再確定字母；
②提公因式并確定另一個(gè)因式，注意要確定另一個(gè)因式，可用原多項(xiàng)式除以公因式，所得的商即是提公因 式后剩下的一個(gè)因式，也可用公因式分別除去原多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，求的剩下的另一個(gè)因式；
�、厶嵬旯蚴胶�，另一因式的項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。
口訣：找準(zhǔn)公因式，一次要提盡，全家都搬走，留1把家守，提負(fù)要變號(hào)，變形看奇偶。
2、公式法
如果把乘法公式的等號(hào)兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來(lái)把某些具有特殊形式的多項(xiàng)式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法。
3、十字相乘法
十字左邊相乘等于二次項(xiàng)系數(shù)，右邊相乘等于常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘再相加等于一次項(xiàng)。
口訣：分二次項(xiàng)，分常數(shù)項(xiàng)，交叉相乘求和得一次項(xiàng)。（拆兩頭，湊中間）
�。�1）用十字相乘法分解二次項(xiàng)，得到一個(gè)十字相乘圖（有兩列）；
�。�2）把常數(shù)項(xiàng)f分解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx。
（3）先以一個(gè)字母的一次系數(shù)分?jǐn)?shù)常數(shù)項(xiàng)；
�。�4）再按另一個(gè)字母的一次系數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)；
�。�5）橫向相加，縱向相乘。
4、輪換對(duì)稱法
當(dāng)題目為一個(gè)輪換對(duì)稱式時(shí)，可用輪換對(duì)稱法進(jìn)行分解。
5、分組分解法
通過分組分解的方式來(lái)分解提公因式法和公式分解法無(wú)法直接分解的因式，這種分解因式的方法叫做分組分解法。能分組分解的多項(xiàng)式有四項(xiàng)或大于四項(xiàng)，一般的分組分解有兩種形式：二二分法，三一分法。
6、拆添項(xiàng)法
把多項(xiàng)式的某一項(xiàng)拆開或填補(bǔ)上互為相反數(shù)的兩項(xiàng)（或幾項(xiàng)），使原式適合于提公因式法、運(yùn)用公式法或分組分解法進(jìn)行分解，這種分解因式的方法叫做拆項(xiàng)補(bǔ)項(xiàng)法。要注意，必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。
7、配方法
對(duì)于某些不能利用公式法的多項(xiàng)式，可以將其配成一個(gè)完全平方式，然后再利用平方差公式，就能將其因式分解，這種分解因式的方法叫做配方法。屬于拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項(xiàng)式相等的原則下進(jìn)行變形。
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