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《解決問題的戰(zhàn)略》公開課的教案
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生活里的事情從發(fā)生到結(jié)束總是有過程的，事情發(fā)生的過程或是在數(shù)量的多少上發(fā)生變化，或是在方向、路線、時(shí)間等方面發(fā)生變化，或是在其他方面發(fā)生變化。研究這些事情里的數(shù)學(xué)問題經(jīng)常有兩條線索：
一條是從事情的起始狀態(tài)，根據(jù)將要發(fā)生的變化，推斷結(jié)束時(shí)的狀態(tài)；另一條是從事情的結(jié)束狀態(tài)，聯(lián)系已經(jīng)發(fā)生的變化，追溯起始狀態(tài)。同學(xué)比較習(xí)慣用前一條線索分析數(shù)量關(guān)系和解決實(shí)際問題，但是，有些問題用后一種思路去解決是比較方便的。本單元教學(xué)逆推戰(zhàn)略，通俗地講就是“倒過去想”，即從事情的結(jié)果倒過去想它在開始的時(shí)候是怎樣的。
1在簡單的事情中初步體會逆推是一種戰(zhàn)略。
例1用圖畫出現(xiàn)了甲、乙兩杯果汁共400毫升，甲杯倒入乙杯40毫升，兩杯里的果汁同樣多。這是一件事情的開始、變化、結(jié)果三個(gè)時(shí)段的主要狀況。甲杯里的局部果汁倒入乙杯后，兩杯果汁才同樣多，假如把甲杯倒入乙杯的那些果汁仍然倒回甲杯，就恢復(fù)了兩杯果汁的原狀。這是人們的經(jīng)驗(yàn)，也是同學(xué)能夠想到的方法，教材用圖畫展示了這樣的考慮和問題的答案。
這道例題的教學(xué)重點(diǎn)在體驗(yàn)“逆推”是解決問題的戰(zhàn)略。為此，還布置了兩項(xiàng)活動(dòng)。一是在表格里先填寫甲杯和乙杯現(xiàn)在各有果汁200毫升，再填寫它們原來有多少毫升果汁，通過填表反思“倒回去”的過程。利用加法或減法計(jì)算倒入和倒出的問題，能進(jìn)一步理解“倒回去”的意思，體會它對解決問題的作用。二是組織同學(xué)說說解決這個(gè)問題的戰(zhàn)略，先回顧例題是怎樣的實(shí)際問題，它是怎樣解決的；再交流解決問題的方法有什么特點(diǎn)，以和對這種方法的感受。這樣，就從解決問題的過程中提煉了思想方法。
2舉一反三，運(yùn)用逆推戰(zhàn)略解決實(shí)際問題。
例2中小明的郵票經(jīng)過兩次變化最后還剩52張，問題是他原來有多少張郵票。同學(xué)會感到，這題的事情雖然和例1不同，但都要從現(xiàn)在的數(shù)量追溯原來的數(shù)量。教材通過“你準(zhǔn)備用什么戰(zhàn)略解決這個(gè)問題”引導(dǎo)同學(xué)“倒過去想”，即假如跟小華要回30張郵票，那么小明就有52+30=82（張）；假如不收集24張郵票，那么小明只有82-24=58（張）。“倒過去想”需要整理事情從開始到結(jié)束的變化過程，排出各次變化的次序。還要聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，考慮“倒過去”的方法。如送出的應(yīng)要回，收集的應(yīng)去掉。在倒過去想的時(shí)候，還要逆著事情變化的順序進(jìn)行，先把后發(fā)生的變化倒回去，再把先發(fā)生的變化倒回去，直至事情的原來情況。這些都落實(shí)在說說自身的想法和列式解答之中。教材給出的第二種方法沒有完全依照事情發(fā)生變化的次序一步步地逆推，而是先分析事情發(fā)展過程中的兩次變化對小明郵票張數(shù)造成的總的影響。由于今年收集的郵票比送給小軍的郵票少6張，所以現(xiàn)在的郵票應(yīng)該比原來少6張。然后逆推：
假如現(xiàn)在的郵票再多6張，就是原來郵票的張數(shù)。教學(xué)時(shí)要提倡第一種方法，因?yàn)檫@種方法比較清楚地體現(xiàn)了逆推的戰(zhàn)略，考慮和操作比較順暢，適宜多數(shù)同學(xué)應(yīng)用。根據(jù)求出的答案，順推過去，看看剩下的是52張嗎？一方面能檢驗(yàn)答案是否正確，另一方面是讓同學(xué)再次體驗(yàn)事情的變化是有次序的。順著變化一步一步地推，是從開始推向結(jié)果；逆著變化一步一步地推，是從結(jié)果推向起始。無論順推還是逆推，有條理的考慮是十分重要的。
本單元的例題只是提出實(shí)際的情境或問題、引發(fā)解題思路，讓同學(xué)自身列式計(jì)算，在解題活動(dòng)中體驗(yàn)方法，并在練習(xí)十六里主動(dòng)運(yùn)用逆推戰(zhàn)略。練習(xí)十六的習(xí)題有四個(gè)特點(diǎn)：
一是題材寬廣。有些聯(lián)系同學(xué)生活中的收集畫片、折紙鶴、買東西等活動(dòng)；有些聯(lián)系已經(jīng)學(xué)過的方向、路線、確定位置以和同級混合運(yùn)算的知識；還有一天里的氣溫變化、銀行里存錢和支錢的事情和玩撲克牌游戲等。在各種實(shí)際問題中都應(yīng)用逆推的方法，有利于同學(xué)積累“倒過去想”的經(jīng)驗(yàn)，更好地體會逆推是解決問題的戰(zhàn)略。二是把事件發(fā)生變化的過程有條理地講清楚。有些用文字講述，有些用圖畫表達(dá)，還有表格、圖文結(jié)合和對話等出現(xiàn)方式。同學(xué)容易整理事情有哪些變化，是怎樣變化的，以和變化的次序。不只理解了題意，更為逆推發(fā)明了有利條件。三是各題的逆推步數(shù)一般是2~3步，只有少量需要4步逆推的題。如第3題，只要根據(jù)方向的變化逆推，即使多1步也不會有困難。四是解題的形式靈活多樣。有幾題需要列式解答，如第1、7、8、9題；有些可以在方格紙上畫一畫，如第3題；許多題只要說一說或在方框里填一填，如第2、4、5、6、10題。總之，習(xí)題的這些特點(diǎn)，都是為了同學(xué)能主動(dòng)地運(yùn)用逆推的思想方法去解決問題，不時(shí)積累經(jīng)驗(yàn)，逐步內(nèi)化體會，逐漸升華成戰(zhàn)略。
逆推是解決問題的一種戰(zhàn)略，它還需要其他解決問題的戰(zhàn)略相配合，尤其是四年級和五年級（上冊）教學(xué)的整理?xiàng)l件和問題的戰(zhàn)略，能使同學(xué)清晰地認(rèn)識事情的發(fā)展線索和各次變化的情況。整理信息的形式應(yīng)該是靈活多樣的，例2中第一種整理信息的方法是從左往右列出了事情從開始到結(jié)果的一次次變化，從右往左是解決問題逆推時(shí)的一步步考慮，這種整理形式在本單元可能更適用。當(dāng)然，有些題也可以用其他形式整理，如“練一練”和練習(xí)十六第1題可以畫圖整理，第7題可以直接看著三幅圖畫逆推。
另外，練習(xí)十六第9題表格右上方的結(jié)單余額280元是4月份在銀行里的結(jié)單余額，它是3月份的結(jié)單余額依次支付電話費(fèi)52元、收存款300元、支付水費(fèi)28元、支付電費(fèi)86元后的結(jié)余款。因?yàn)?月份三筆支出的合計(jì)數(shù)比存款數(shù)少，所以4月份的結(jié)單余額比3月份多。3月份的結(jié)單余額可以通過計(jì)算280+86+28-300+52得出。
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