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《多邊形的內(nèi)角和》公開課教案
教學(xué)目標
知識與技能
掌握多邊形內(nèi)角和公式及外角和定理,并能應(yīng)用.
過程與方法
1.經(jīng)歷把多邊形內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問題的過程,體會轉(zhuǎn)化思想在幾何中的應(yīng)用,同時體會從特殊到一般的認識問題的方法;
2.經(jīng)歷探索多邊形內(nèi)角和公式的過程,嘗試從不同角度尋求解決問題的方法.訓(xùn)練學(xué)生的發(fā)散性思維,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神.
情感態(tài)度價值觀
通過猜想、推理等數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)充滿著探索以及數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性,提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.
重點
多種方法探索多邊形內(nèi)角和公式
難點
多邊形內(nèi)角和公式的推導(dǎo)
教學(xué)流程安排
活動流程
活動內(nèi)容和目的
活動1學(xué)生自主探索四邊形內(nèi)角和
活動2教師引導(dǎo)學(xué)生探索總結(jié)把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形添加輔助線的基本方法
活動3探索n邊形內(nèi)角和公式
活動4師生共同研究遞推法確定n邊形內(nèi)角和公式
活動5多邊形內(nèi)角和公式的應(yīng)用
活動6小結(jié)
作業(yè)
從對三角形及特殊四邊形(正方形、長方形)內(nèi)角和的認識出發(fā),使學(xué)生積極參加到探索四邊形內(nèi)角和的活動中.
加深對轉(zhuǎn)化思想方法的理解, 訓(xùn)練發(fā)散思維、培養(yǎng)創(chuàng)新能力.
通過把多邊形轉(zhuǎn)化為三角形體會轉(zhuǎn)化思想,感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)思考方法.
學(xué)生提高動手實操能力、突破“添”的思維局限
綜合運用新舊知識解決問題.
回顧本節(jié)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生的歸納概括能力.
反思總結(jié),鞏固提高.
課前準備
教具
學(xué)具
補充材料
教師用三角尺
剪刀
復(fù)印材料
三角形紙片
教學(xué)過程設(shè)計
問題與情景
師生行為
設(shè)計意圖
[活動1、2]
問題1.三角形的內(nèi)角和是多少?
與形狀有關(guān)嗎?
問題2.正方形、長方形的內(nèi)角和是多少?
由此你能猜想任意凸四邊形內(nèi)角和嗎?
動腦筋、想辦法,說明你的猜想是正確的.
問題3添加輔助線的目的是什么,方法有沒有什么規(guī)律呢?
學(xué)生回答:
三角形內(nèi)角和是180°,與形狀無關(guān);正方形、長方形內(nèi)角和是360°(4×90°),由此猜想任意凸四邊形內(nèi)角和是360°.
學(xué)生先獨立探究,再小組交流討論.
教師深入小組指導(dǎo),傾聽學(xué)生交流.對于通過測量、拼圖說明的,可以引導(dǎo)學(xué)生利用添加輔助線的方法把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.
學(xué)生匯報結(jié)果.
�、龠^一個頂點畫對角線1條,得到2個三角
形,內(nèi)角和為2×180°;
�、诋�2條對角線,在四邊形內(nèi)部交于一點,得到4個三角形,內(nèi)角和為4×180°-360°;
③若在四邊形內(nèi)部任取一點,如圖,也可以得到相應(yīng)的結(jié)論;
�、苓@個點還可以取在邊上(若與頂點重合,轉(zhuǎn)化為第一種情況——連接對角線;否則如圖4)
內(nèi)角和為3×180°-180°;
⑤點還可以取在外部,如圖5、6.由圖5,內(nèi)角和為3×180°-180°;由圖6,內(nèi)角和為2×180°;
教師重點關(guān)注:①學(xué)生能否借助輔助線把四邊形分割成幾個三角形;②能否借助輔助線找到不同的分割方法.
教師總結(jié):利用輔助線把四邊形的內(nèi)角和轉(zhuǎn)化為三角形的內(nèi)角和,體現(xiàn)了化未知為已知的轉(zhuǎn)化思想. .以上這些方法同樣適用于探究任意凸多邊形的內(nèi)角和.為方便起見,下面我們可以選用最簡單的方法——過一點畫多邊形的對角線,來探究五邊形、六邊形,甚至任意n邊形的內(nèi)角和.
通過回憶三角形的內(nèi)角和,有助于后續(xù)問題的解決.
從四邊形入手,有利于學(xué)生探求它與三角形的關(guān)系,從而有利于發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思想方法.
通過動手操作尋找結(jié)論,讓他們積極參加數(shù)學(xué)活動、主動思考、合作交流,體驗解決問題策略的多樣性.
通過尋求多種方法解決問題,訓(xùn)練學(xué)生發(fā)散思維能力、培養(yǎng)創(chuàng)新意識.
[活動3]
問題4怎樣求n邊形的內(nèi)角和?(n是大于等于3的整數(shù))
學(xué)生歸納得出結(jié)論:從n邊形的一個頂點出發(fā)可以引(n-3)條對角線,它們將n邊形分割成(n-2)個三角形,(凸)n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)×180°.
特點:內(nèi)角和都是180°的整數(shù)倍.
通過歸納概括得出任意凸多邊形的內(nèi)角和與邊數(shù)關(guān)系的表達式,體會數(shù)形之間的聯(lián)系,感受從特殊到一般的數(shù)學(xué)推理過程和數(shù)學(xué)思想方法.
[活動4]
每名同學(xué)發(fā)一張三角形紙片
問題5一張三角形紙片只剪一刀,能不能得到一個四邊形,在這一過程中內(nèi)角發(fā)
《多邊形的內(nèi)角和》公開課生了怎樣的變化
問題6由四邊形得到五邊形呢?
依此類推能否猜想n邊形內(nèi)角和公式
將三角形去掉一個角可以得到四邊形,如圖7,四邊形內(nèi)角和為
180°+2×180°-180°=2×180°.
每個圖形都是前一個圖形剪去一個三角形,每次操作內(nèi)角和增加180°,n邊形是三角形經(jīng)過(n-3)次操作得到的,所以n邊形內(nèi)角和公式為(n-2)×180°
(嚴謹?shù)淖C明應(yīng)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法后)
學(xué)生突破常規(guī),學(xué)會逆向思維,變以往的“把多邊形轉(zhuǎn)化成三角形”為“把三角形轉(zhuǎn)化成多邊形”同樣使問題得到解決
[活動5]
知道了凸多邊形的內(nèi)角和,它可以解決哪些問題呢?
問題6:六邊形的外角和等于多少?
n邊形外角和是多少?
學(xué)生自己畫圖、思考.敘述理由:六邊形的六個外角與六個內(nèi)角構(gòu)成6個平角,結(jié)合內(nèi)角和公式,因此得到
6×180°-(6-2)×180°=360°
學(xué)生思考,回答.
n邊形中,每個頂點處的內(nèi)角與一個外角組成一個平角,它們的和,即n邊形內(nèi)角和與外角和的和為n×180°,而內(nèi)角和為(n-2)×180°,因此外角和為360°.
利用內(nèi)角和求外角和,鞏固了內(nèi)角和公式.
如時間允許,此時還可補充利用“轉(zhuǎn)角”求多邊形外角和的方法,這樣就變成了可以利用外角和來推導(dǎo)內(nèi)角和,這又是一種逆向思維
練習(xí)
一個多邊形各內(nèi)角都相等,都等于150°,它的邊數(shù)是 ,內(nèi)角和是 .
練習(xí).解:(n-2)180=150n,n=12;
或360÷(180-150)=12(利用外角和)
150°×12=1800°.
鞏固內(nèi)角和公式,外角和定理.
[活動5]
小結(jié)
下面請同學(xué)們總結(jié)一下這節(jié)課你有哪些收獲.
學(xué)生自己小結(jié),老師再總結(jié).
1. 多邊形內(nèi)角和公式(n-2)180°,外角和是360°;
2. 由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法、轉(zhuǎn)化思想.
學(xué)會總結(jié),培養(yǎng)歸納概括能力.
作業(yè):
課后思考題.
一同學(xué)在進行多邊形的內(nèi)角和計算時,求得內(nèi)角和為1125°,可能嗎?
當(dāng)他發(fā)現(xiàn)錯了之后,重新檢查,發(fā)現(xiàn)少算了一個內(nèi)角,你能求出這個內(nèi)角是多少度?他求的是幾邊形的內(nèi)角和嗎?
多邊形內(nèi)角和與不等式的綜合應(yīng)用題,一題多解,提高學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.
作業(yè):
解法1.設(shè)這是n邊形,這個內(nèi)角為x°,依題意:(n-2)180=1125+x
x=(n-2)180-1125
∵0<x<180
∴0<(n-2)180-1125<180
解得:<n<
∵n是整數(shù),
∴n=9.
x=(9-2)180-1125=135
注:方程(n-2)180=1125+x中有兩個未知數(shù),解法1用n表示x,根據(jù)x的取值范圍解不等式組求出了n;如果用x表示n,你能解出來嗎?
解法2.設(shè)這是n邊形,這個內(nèi)角為x°,依題意:(n-2)180=1125+x
∵n是整數(shù),
∴45+x是180的倍數(shù).
又∵0<x<180
∴45+x=180,x=135,n=9
還可以根據(jù)內(nèi)角和的特點,先求出內(nèi)角和.
解法3.設(shè)此多邊形的內(nèi)角和為x°,依題意:1125<x<1125+180
即:180×6+45<x<180×7+45
∵x是多邊形內(nèi)角和的度數(shù)
∴x是180的倍數(shù)
∴x=180×7=1260 邊數(shù)=7+2=9,
這個內(nèi)角=1260°-1125°=135°
解法4(極值法).設(shè)這是n邊形,這個內(nèi)角為x°,則0<x<180,依題意:(n-2)180=1125+x
令x=0,得:n=,令x=180,得:n=
∴<n< 其余同解法1.
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