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數(shù)學(xué)教案不等式證明參考
目的：以不等式的等價(jià)命題為依據(jù)，揭示不等式的常用證明方法之一——比較法，要求學(xué)生能教熟練地運(yùn)用作差、作商比較法證明不等式。
過程：
一、復(fù)習(xí)：
1．不等式的一個(gè)等價(jià)命題
2．比較法之一（作差法）步驟：作差——變形——判斷——結(jié)論
二、作差法：（P13—14）
1． 求證：x2 + 3 > 3x
證：∵(x2 + 3) - 3x =
∴x2 + 3 > 3x
2． 已知a, b, m都是正數(shù)，并且a < b，求證：
證：
∵a,b,m都是正數(shù)，并且a 0 , b - a > 0
∴ 即：
變式：若a > b，結(jié)果會(huì)怎樣？若沒有“a < b”這個(gè)條件，應(yīng)如何判斷？
3． 已知a, b都是正數(shù)，并且a b，求證：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
證：(a5 + b5 ) - (a2b3 + a3b2) = ( a5 - a3b2) + (b5 - a2b3 )
= a3 (a2 - b2 ) - b3 (a2 - b2) = (a2 - b2 ) (a3 - b3)
= (a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2)
∵a, b都是正數(shù)，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0
又∵a b，∴(a - b)2 > 0 ∴(a + b)(a - b)2(a2 + ab + b2) > 0
即：a5 + b5 > a2b3 + a3b2
4． 甲乙兩人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半時(shí)間以速度n行走；有一半路程乙以速度m行走，另一半路程以速度n行走，如果m n，問：甲乙兩人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？
解：設(shè)從出發(fā)地到指定地點(diǎn)的路程為S，
甲乙兩人走完全程所需時(shí)間分別是t1, t2，
則： 可得：
∴
∵S, m, n都是正數(shù)，且m n，∴t1 - t2 < 0 即：t1 < t2
從而：甲先到到達(dá)指定地點(diǎn)。
變式：若m = n，結(jié)果會(huì)怎樣？
三、作商法
5． 設(shè)a, b R+，求證：
證：作商：
當(dāng)a = b時(shí)，
當(dāng)a > b > 0時(shí)，
當(dāng)b > a > 0時(shí)，
∴ （其余部分布置作業(yè)）
作商法步驟與作差法同，不過最后是與1比較。
四、小結(jié)：作差、作商
五、作業(yè)： P15 練習(xí)
P18 習(xí)題6.3 1—4
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