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考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)有哪些重點(diǎn)和應(yīng)用

時(shí)間:2021-06-09 19:41:26 考研備考 我要投稿

考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)有哪些重點(diǎn)和應(yīng)用

  導(dǎo)數(shù)的由來(lái)深淵,應(yīng)用也很廣泛,出題比例大,考生要重點(diǎn)學(xué)習(xí)。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的復(fù)習(xí)指導(dǎo),歡迎大家前來(lái)閱讀。

考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)有哪些重點(diǎn)和應(yīng)用

  考研數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的要點(diǎn)和應(yīng)用

  【導(dǎo)數(shù)定義和求導(dǎo)要注意的】

  第一,理解并牢記導(dǎo)數(shù)定義。導(dǎo)數(shù)定義是考研數(shù)學(xué)的出題點(diǎn),大部分以選擇題的形式出題,01年數(shù)一考一道選題,考查在一點(diǎn)處可導(dǎo)的充要條件,這個(gè)并不會(huì)直接教材上的導(dǎo)數(shù)充要條件,他是變換形式后的,這就需要同學(xué)們真正理解導(dǎo)數(shù)的定義,要記住幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn):

  1)在某點(diǎn)的領(lǐng)域范圍內(nèi)。

  2)趨近于這一點(diǎn)時(shí)極限存在,極限存在就要保證左右極限都存在,這一點(diǎn)至關(guān)重要,也是01年數(shù)一考查的點(diǎn),我們要從四個(gè)選項(xiàng)中找出表示左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)都存在且相等的選項(xiàng)。

  3)導(dǎo)數(shù)定義中一定要出現(xiàn)這一點(diǎn)的函數(shù)值,如果已知告訴等于零,那極限表達(dá)式中就可以不出現(xiàn),否就不能推出在這一點(diǎn)可導(dǎo),請(qǐng)同學(xué)們記清楚了。

  4)掌握導(dǎo)數(shù)定義的不同書(shū)寫(xiě)形式。

  第二,導(dǎo)數(shù)定義相關(guān)計(jì)算。這里有幾種題型:1)已知某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在,計(jì)算極限,這需要掌握導(dǎo)數(shù)的廣義化形式,還要注意是在這一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)存在的前提下,否則是不一定成立的。

  第三,導(dǎo)數(shù)、可微與連續(xù)的關(guān)系。函數(shù)在一點(diǎn)處可導(dǎo)與可微是等價(jià)的,可以推出在這一點(diǎn)處是連續(xù)的,反過(guò)來(lái)則是不成立的,相信這一點(diǎn)大家都很清楚,而我要提醒大家的是可導(dǎo)推連續(xù)的逆否命題:函數(shù)在一點(diǎn)處不連續(xù),則在一點(diǎn)處不可導(dǎo)。這也常常應(yīng)用在做題中。

  第四,導(dǎo)數(shù)的計(jì)算。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算可以說(shuō)在每一年的考研數(shù)學(xué)中都會(huì)涉及到,而且形式不一,考查的方法也不同。要能很好的掌握不同類(lèi)型題,首先就需要我們把基本的導(dǎo)數(shù)計(jì)算弄明白:1)基本的求導(dǎo)公式。指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)和反三角函數(shù)這些基本的初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)都是需要記住的,這也告訴我們?cè)趯?duì)函數(shù)變形到什么形式的時(shí)候就可以直接代公式,也為后面學(xué)習(xí)不定積分和定積分打基礎(chǔ)。2)求導(dǎo)法則。求導(dǎo)法則這里無(wú)非是四則運(yùn)算,復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)和反函數(shù)求導(dǎo),要求四則運(yùn)算記住求導(dǎo)公式;復(fù)合函數(shù)要會(huì)寫(xiě)出它的復(fù)合過(guò)程,按照復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則一次求導(dǎo)就可以了,也是通過(guò)這個(gè)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,我們可求出很多函數(shù)的導(dǎo)數(shù);反函數(shù)求導(dǎo)法則為我們開(kāi)辟了一條新路,建立函數(shù)與其反函數(shù)之間的導(dǎo)數(shù)關(guān)系,從而也使我們得到反三角函數(shù)求導(dǎo)公式,這些公式都將要列為基本導(dǎo)數(shù)公式,也要很好的理解并掌握反函數(shù)的求導(dǎo)思路,在13年數(shù)二的考試中相應(yīng)的考過(guò),請(qǐng)同學(xué)們注意。3)常見(jiàn)考試類(lèi)型的求導(dǎo)。通常在考研中出現(xiàn)四種類(lèi)型:冪指函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程和抽象函數(shù)。這四種類(lèi)型的求導(dǎo)方法要熟悉,并且可以解決他們之間的綜合題,有時(shí)候也會(huì)與變現(xiàn)積分求導(dǎo)結(jié)合,94年,96年,08年和10年都查了參數(shù)方程和變現(xiàn)積分綜合的題目。

  第五,高階導(dǎo)數(shù)計(jì)算。高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算在歷年考試出現(xiàn)過(guò),比如03年,07年,10年,都以填空題考查的,00年是一道解答題。需要同學(xué)們記住幾個(gè)常見(jiàn)的高階導(dǎo)數(shù)公式,將其他函數(shù)都轉(zhuǎn)化成我們這幾種常見(jiàn)的函數(shù),代入公式就可以了,也有通過(guò)求一階導(dǎo)數(shù),二階,三階的方法來(lái)找出他們之間關(guān)系的。這里還有一種題型就是結(jié)合萊布尼茨公式求高階導(dǎo)數(shù)的,00年出的題目就是考察的這兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。

  【導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用】

  導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有以下幾種:(1)切線和法線;(2)單調(diào)性;(3)極值;(4)凹凸性;(5)拐點(diǎn);(6)漸近線;(7)(曲率)(只有數(shù)一和數(shù)二的考);(8)經(jīng)濟(jì)應(yīng)用(只有數(shù)三的考)。我們一一說(shuō)明每個(gè)應(yīng)用在考研中有哪些注意的。

  ▶切線和法線

  主要是依據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,得出曲線在一點(diǎn)處的切線方程和法線方程。

  ▶單調(diào)性

  在考研中單調(diào)性主要以四種題型考查,第一:求已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;第二:證明某函數(shù)在給定區(qū)間單調(diào);第三:不等式證明;第四:方程根的討論。這些題型都離不開(kāi)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算,只要按照步驟計(jì)算即可。做題過(guò)程中要仔細(xì)分析每種的處理方法,多加練習(xí)。

  ▶極值

  需要掌握極值的定義、必要條件和充分條件即可。

  ▶凹凸性和拐點(diǎn)

  考查的內(nèi)容也是其定義、必要條件、充分條件和判別法。對(duì)于這塊內(nèi)容所涉及到的定義定理比較多,使很多同學(xué)弄糊涂了,所以希望同學(xué)們可以列表對(duì)比學(xué)習(xí)記憶。

  ▶漸近線

  當(dāng)曲線上一點(diǎn)M沿曲線無(wú)限遠(yuǎn)離原點(diǎn)時(shí),如果M到一條直線的距離無(wú)限趨近于零,那么這條直線稱為這條曲線的漸近線。需要注意的是:并不是所有的曲線都有漸近線,漸近線反映了某些曲線在無(wú)限延伸時(shí)的變化情況。根據(jù)漸近線的位置,可將漸近線分為三類(lèi):垂直漸近線、水平漸近線、斜漸近線。

  考研中會(huì)考察給一曲線計(jì)算漸近線條數(shù),計(jì)算順序?yàn)榇怪睗u近線、水平漸近線、斜漸近線。

  ▶條數(shù)計(jì)算

  垂直漸近線就直接算就可以了,有幾條算幾條,而水平漸近線和斜漸近線要分別x趨于正無(wú)窮計(jì)算一次,和x趨于負(fù)無(wú)窮計(jì)算一次,當(dāng)趨于正無(wú)窮和負(fù)無(wú)窮的水平漸近線或者斜漸近線相同則計(jì)為一條漸近線,若是不同,則計(jì)為兩條漸近線。另外,在趨于正無(wú)窮或者負(fù)無(wú)窮時(shí),有水平漸近線就不會(huì)有斜漸近線。

  ▶曲率

  這塊屬于導(dǎo)數(shù)的物理應(yīng)用,這塊是數(shù)一數(shù)二的同學(xué)考的,需要掌握曲率、曲率半徑、曲率圓。理解并記清楚公式。

  ▶導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)應(yīng)用

  導(dǎo)數(shù)的經(jīng)濟(jì)學(xué)應(yīng)用是數(shù)三特考的,這個(gè)主要是考察彈性,邊際利潤(rùn),邊際收益等。記住公式會(huì)計(jì)算即可。

  希望同學(xué)們多加練習(xí),弄清楚每種題型的主要解題思路,結(jié)合不同的出題方式,將知識(shí)點(diǎn)和題型結(jié)合起來(lái)。切記:熟能生巧,萬(wàn)變不離其綜。

  考研數(shù)學(xué)沖刺如何復(fù)習(xí)典型例題

  ▶面對(duì)一道典型例題

  在做這道題以前你必須考慮,它該從哪個(gè)角度切入,為什么要從這個(gè)角度切入。做題的過(guò)程中,必須考慮為什么要用這幾個(gè)原理,而不用那幾個(gè)原理,為什么要這樣對(duì)這個(gè)式子進(jìn)行化簡(jiǎn),而不那樣化簡(jiǎn)。

  做完之后,必須要回過(guò)頭看一下,這個(gè)解題方法適合這個(gè)題的關(guān)鍵是什么,為什么偏偏這個(gè)方法在這道題上出現(xiàn)了最好的效果,有沒(méi)有更好的'解法……就這樣從開(kāi)始到最后,每一步都進(jìn)行全方位的思考,那么這道題的價(jià)值就會(huì)得到充分的發(fā)掘。

  ▶學(xué)習(xí)數(shù)學(xué),重在做題,熟能生巧。

  對(duì)于數(shù)學(xué)的基本概念、公式、結(jié)論等也只有在反復(fù)練習(xí)中才能真正理解與鞏固。數(shù)學(xué)試題雖然千變?nèi)f化,其知識(shí)結(jié)構(gòu)卻基本相同,題型也相對(duì)固定,往往存在一定的解題套路,熟練掌握后既能提高正確率,又能提高解題速度。

  此外,還要初步進(jìn)行解答綜合題的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)考研題的重要特征之一就是綜合性強(qiáng)、知識(shí)覆蓋面廣,近幾年來(lái)較為新穎的綜合題愈來(lái)愈多。這類(lèi)試題一般比較靈活,難度也要大一些,應(yīng)逐步進(jìn)行訓(xùn)練,積累解題經(jīng)驗(yàn)。這也有利于進(jìn)一步理解并徹底弄清楚知識(shí)點(diǎn)的縱向與橫向聯(lián)系,轉(zhuǎn)化為自己真正掌握了的東西,能夠在理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用、觸類(lèi)旁通。

  ▶同時(shí)要善于思考,歸納解題思路與方法。

  一個(gè)題目有條件,有結(jié)論,當(dāng)你看見(jiàn)條件和結(jié)論想起了什么?這就是思路。思路有些許偏差,解題過(guò)程便千差萬(wàn)別?佳袛(shù)學(xué)復(fù)習(xí)光靠做題也是不夠的,更重要的是應(yīng)該通過(guò)做題,歸納總結(jié)出一些解題的方法和技巧。

  考研黨要在做題時(shí)鞏固基礎(chǔ),在更高層次上把握和運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)習(xí)題最好能形成自己熟悉的解題體系,也就是對(duì)各種題型都能找到相應(yīng)的解題思路,從而在最后的實(shí)考中面對(duì)陌生的試題時(shí)能把握主動(dòng)。

  基礎(chǔ)的重要性已不言而喻,但是只注重基礎(chǔ),也是不行的。太注重基礎(chǔ),就會(huì)拘泥于書(shū)本,難以適應(yīng)考研試題。打好基礎(chǔ)的目的就是為了提高。但太重提高就會(huì)基礎(chǔ)不牢,導(dǎo)致頭重腳輕,力不從心。考研黨要明白基礎(chǔ)與提高的辯證關(guān)系,根據(jù)自身情況合理安排復(fù)習(xí)進(jìn)度,處理好打基礎(chǔ)和提高能力兩者的關(guān)系。

  一般來(lái)說(shuō),基礎(chǔ)與提高是交插和分段進(jìn)行的,在一個(gè)時(shí)期的某一個(gè)階段以基礎(chǔ)為主,基礎(chǔ)扎實(shí)了,再行提高。然后又進(jìn)入了另一個(gè)階段,同樣還要先扎實(shí)基礎(chǔ)再提高水平,如此反復(fù)循環(huán)。

  考研黨在這個(gè)過(guò)程中容易遇到這樣的問(wèn)題,就是感覺(jué)自已經(jīng)過(guò)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)或一段時(shí)間的提高后幾乎不再有所進(jìn)步,甚至感到越學(xué)越退步,碰到這種情況,考研黨們千萬(wàn)不要?dú)怵H,要堅(jiān)信自己的能力,只要復(fù)習(xí)方法沒(méi)有問(wèn)題,就應(yīng)該堅(jiān)持下去。

  雖然表面上感到?jīng)]有進(jìn)步,但實(shí)際水平其實(shí)已經(jīng)在不知不覺(jué)中提高了,因?yàn)樵谶@個(gè)時(shí)期考研黨已經(jīng)認(rèn)識(shí)到了自已的不足,正處于調(diào)整和進(jìn)步中。這個(gè)時(shí)候需要的就是考研黨的意志力,考研本來(lái)就是一場(chǎng)意志力的比賽,不僅需要豐富的知識(shí)和較高的能力,更要有堅(jiān)強(qiáng)的意志力。只要堅(jiān)持下去,就有成功的希望。

  考研數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)錯(cuò)誤

  ▶一、消極迎戰(zhàn),效率低下

  “考研難,考研數(shù)學(xué)更難”的論調(diào)深入人心,不少考生愛(ài)尚未了解考試內(nèi)容和題型時(shí),就已經(jīng)對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了畏難情緒,這直接導(dǎo)致在復(fù)習(xí)中就是消極應(yīng)付,而非積極準(zhǔn)備,“過(guò)線就行,差不多就可以了”成為他們普遍的目標(biāo)。因此,要想學(xué)好數(shù)學(xué),首先要克服懼怕心理,樹(shù)立必勝的信心,化消極被動(dòng)為主動(dòng),才可以在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和解題中體會(huì)到真正的樂(lè)趣。

  ▶二、只重技巧,不重理解

  這是一種投機(jī)心理的表現(xiàn)。學(xué)習(xí)是一件很艱苦的工作,很多學(xué)生片面追求別人現(xiàn)成的方法和技巧,殊不知方法和技巧是建立在自己對(duì)基本概念和基礎(chǔ)知識(shí)深入理解的基礎(chǔ)上的,每一種方法和技巧都有它特定的適用范圍和使用前提。也就是說(shuō),單純的模仿是絕對(duì)行不通的,這就要求我們必須放棄投機(jī)心理,塌實(shí)的透徹理解每一個(gè)方法的來(lái)龍去脈。

  ▶三、把看題等同于做題

  由于時(shí)間原因,很多人買(mǎi)了資料后只是匆匆茫茫的看書(shū)而不動(dòng)手練習(xí),造成眼高手低。數(shù)學(xué)是一門(mén)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科,容不得半點(diǎn)紕漏,在我們還沒(méi)有建立起來(lái)完備的知識(shí)結(jié)構(gòu)之前,一帶而過(guò)的復(fù)習(xí)必然會(huì)難以把握題目中的重點(diǎn),忽略精妙之處。況且,通過(guò)動(dòng)手練習(xí),我們還能規(guī)范答題模式,提高解題和運(yùn)算的熟練程度,要知道三個(gè)小時(shí)那么大的題量,本身就是對(duì)計(jì)算能力和熟練程度的考察,而且現(xiàn)在的閱卷都是分步給分的,怎么作答有效果,這些都要通過(guò)自己不斷的餓摸索去體會(huì)。

  ▶四、只追高難,不重基礎(chǔ)

  萬(wàn)丈高樓平地起,基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)對(duì)于任何一門(mén)學(xué)科都不例外。很多同學(xué)在復(fù)習(xí)的時(shí)候,放棄研究教材,每天都是拿著教輔材料了復(fù)習(xí)高數(shù),這是極其錯(cuò)誤的做法。因?yàn)闅v年考研在高數(shù)上失分的重要原因就是對(duì)基本概念、定理理解不準(zhǔn)確,對(duì)數(shù)學(xué)基本方法掌握不好,給解題帶來(lái)困難。

  考研數(shù)學(xué)中大部分是中檔題和容易題,難度比較大的題目只占20%左右,而且難題不過(guò)是簡(jiǎn)單題目的進(jìn)一步綜合,如果你在某個(gè)問(wèn)題卡住了,必定是因?yàn)閷?duì)于某一個(gè)知識(shí)點(diǎn)理解不夠,或者是對(duì)一個(gè)簡(jiǎn)單問(wèn)題的思路模糊。忽略基礎(chǔ)造成考生在很多簡(jiǎn)單的問(wèn)題上丟分慘重,為了不確定的30%而放棄可以比較確定的70%,實(shí)在是不劃算。這一點(diǎn)從很多人選擇參考資料上就能看出來(lái)。

  因此,在復(fù)習(xí)過(guò)程中,一定要按照大綱對(duì)數(shù)學(xué)基本概念、基本方法、基本定理準(zhǔn)確把握。因?yàn)橹挥袑?duì)基本概念有深入理解,對(duì)基本定理和公式牢牢記住,才能找到解題的突破口和切入點(diǎn)。大家一定要從實(shí)際出發(fā),打到基礎(chǔ),深入理解,這樣即便遇到一些難度大的題目也會(huì)順利分解,這才是根本的解決方法。

  ▶五、題海戰(zhàn)術(shù),不歸納總結(jié)

  高等數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)必然離不開(kāi)做題,但是做題并不等于題海戰(zhàn)術(shù),在做題的同時(shí)一定要善于總結(jié)題型和解題方法,要學(xué)會(huì)舉一反三,這才是做題的真正目的。

  我們作題,是要把整個(gè)知識(shí)通過(guò)題目加深理解并有機(jī)的串聯(lián)起來(lái)。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)離不開(kāi)作題,但從來(lái)不等于作題,抽象性是數(shù)學(xué)的重要特征之一,在復(fù)習(xí)過(guò)程中,我們通過(guò)作題,發(fā)散開(kāi)來(lái)對(duì)抽象知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵和外延進(jìn)行深入理解,這是非常必要的。

  但是時(shí)刻不要忘了我恩最根本的目的是要對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行理解進(jìn)而形成我們自己有機(jī)聯(lián)系的知識(shí)結(jié)構(gòu)。因此我嫩作題的思路,必然應(yīng)該是從理解到作題歸納再回到理解。在此之外,再做一些題目增加熟練度是有必要的,單如果超出了這個(gè)限度。讓作題成為一種機(jī)械化的勞動(dòng),就沒(méi)必要了。要記住,時(shí)刻目標(biāo)明確、深入思考才識(shí)提高數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。

  ▶六、做題翻書(shū),不記公式

  有許多人還有這樣的習(xí)慣,不牢記公式,作題的時(shí)候看書(shū),查完了作完了也就完了。數(shù)學(xué)的邏輯性很強(qiáng),公式和公式、定理和定理之間有著必然的內(nèi)在聯(lián)系,我們應(yīng)該在平時(shí)的復(fù)習(xí)過(guò)程中有理解的加以記憶,而不是單純的背誦。機(jī)械的記憶容易遺忘和產(chǎn)生差錯(cuò),這樣的話到時(shí)候我們用錯(cuò)了都全然不知,如此造成失分豈不冤枉?


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