考研數(shù)學(xué)線代知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)指導(dǎo)
考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)階段的時(shí)候，我們需要掌握好線代知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)要點(diǎn)。小編為大家精心準(zhǔn)備了考研數(shù)學(xué)線代知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)攻略，歡迎大家前來(lái)閱讀。
考研數(shù)學(xué)線代知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)指南
線性代數(shù)總共分為六章。
第一章行列式
本章的考試重點(diǎn)是行列式的計(jì)算，考查形式有兩種：一是數(shù)值型行列式的計(jì)算，二是抽象型行列式的計(jì)算.另外數(shù)值型行列式的計(jì)算不會(huì)單獨(dú)的考大題，考選擇填空題較多，有時(shí)出現(xiàn)在大題當(dāng)中的一問(wèn)或者是在大題的處理其他問(wèn)題需要計(jì)算行列式，題目難度不是很大。主要方法是利用行列式的性質(zhì)或者展開定理即可。而抽象型行列式的計(jì)算主要：利用行列式的性質(zhì)、利用矩陣乘法、利用特征值、直接利用公式、利用單位陣進(jìn)行變形、利用相似關(guān)系。06、08、10、12年、13年的填空題均是抽象型的行列式計(jì)算問(wèn)題，14年選擇考了一個(gè)數(shù)值型的矩陣行列式，15、16年的數(shù)一、三的填空題考查的是一個(gè)n行列式的計(jì)算，。今年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三這塊都沒(méi)有涉及。
第二章矩陣
本章的概念和運(yùn)算較多，而且結(jié)論比較多，但是主要以填空題、選擇題為主，另外也會(huì)結(jié)合其他章節(jié)的知識(shí)點(diǎn)考大題。本章的重點(diǎn)較多，有矩陣的乘法、矩陣的秩、逆矩陣、伴隨矩陣、初等變換以及初等矩陣等。其中06、09、11、12年均考查的是初等變換與矩陣乘法之間的相互轉(zhuǎn)化，10年考查的是矩陣的秩，08年考的則是抽象矩陣求逆的問(wèn)題，這幾年考查的形式為小題，而13年的兩道大題均考查到了本章的知識(shí)點(diǎn)，第一道題目涉及到矩陣的運(yùn)算，第二道大題則用到了矩陣的秩的相關(guān)性質(zhì)。14的第一道大題的第二問(wèn)延續(xù)了13年第一道大題的思路，考查的仍然是矩陣乘法與線性方程組結(jié)合的知識(shí)，但
是除了這些還涉及到了矩陣的分塊。16年只有數(shù)二了矩陣等價(jià)的判斷確定參數(shù)。
第三章向量
本章是線代里面的重點(diǎn)也是難點(diǎn)，抽象、概念與性質(zhì)結(jié)論比較多。重要的概念有向量的線性表出、向量組等價(jià)、線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)、極大線性無(wú)關(guān)組等。復(fù)習(xí)的時(shí)候要注意結(jié)構(gòu)和從不同角度理解。做題重心要放在問(wèn)題轉(zhuǎn)換上面。出題方式主要以選擇與大題為主。這一章無(wú)論是大題還是小題都特別容易出考題，06年以來(lái)每年都有一道考題，不是向量組的線性表出就是向量組的線性相關(guān)性的判斷，10年還考了一道向量組秩的問(wèn)題，13年考查的則是向量組的等價(jià)，14年的選擇題則考查了向量組的線性無(wú)關(guān)性。15年數(shù)一第20題結(jié)合向量空間的基問(wèn)題考查了向量組等價(jià)的問(wèn)題。16年數(shù)數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二23題考的同樣的題，第二問(wèn)考向量組的線性表示的問(wèn)題。今年17年
第四章線性方程組
主要考點(diǎn)有兩個(gè)：一是解的判定與解的結(jié)構(gòu)、二是求解方程�？疾斓姆绞竭�是比較固定，直接給方程討論解的情況、解方程或者通過(guò)其他的關(guān)系轉(zhuǎn)化為線性方程組、矩陣方程的形式來(lái)考。06年以來(lái)只有11年沒(méi)有出大題，其他幾年的考題均是含參方程的求解或者是解的'判定問(wèn)題，13年考查的第一道大題考查的形式不是很明顯，但也是線性方程組求解的問(wèn)題。14年的第一道大題就是線性方程組的問(wèn)題，15年選擇題考查了解的判定，數(shù)二、數(shù)三同一個(gè)大題里面考查了矩陣方程的問(wèn)題。16年數(shù)一第20題矩陣方程解的判斷和求解，數(shù)三第20題與數(shù)二第22題直接考線性方程解的判斷和求解，數(shù)一第21題第二問(wèn)解矩陣方程。16年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第23題第二問(wèn)直接考矩陣方程解求解，基本都不需要大家做轉(zhuǎn)換。今年數(shù)一、數(shù)三第20題、數(shù)二第22題第二問(wèn)題都考了抽象的線性方程的求解問(wèn)題。
第五章矩陣
矩陣的特征值與特征向量，每年大題都會(huì)涉及這章的內(nèi)容。考大題的時(shí)候較多。重點(diǎn)考查三個(gè)方面，一是特征值與特征向量的定義、性質(zhì)以及求法;二是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，三是實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)以及正交相似對(duì)角化的問(wèn)題。要的實(shí)對(duì)稱矩陣的性質(zhì)與正交相似對(duì)角化問(wèn)題可以說(shuō)每年必考，09、10、11、12、13年都考了。14考查的則是矩陣的相似對(duì)角化問(wèn)題，是以證明題的形式考查的。15年數(shù)一、數(shù)二、數(shù)三選擇題結(jié)合二次型正交化特點(diǎn)然后結(jié)合特征值定義考查;大題也是有一個(gè)題目相同，都是矩陣相似，然后對(duì)角化問(wèn)題。16年數(shù)一數(shù)三第21題與數(shù)二第23題的第一問(wèn)以考高次冪的形式出現(xiàn)，實(shí)質(zhì)就是矩陣相似對(duì)角化問(wèn)題。今年數(shù)一、數(shù)三第5、6、20、題與數(shù)二第7、8、14、22、14題都考相似、相似對(duì)角的判斷性質(zhì)。今年在這章涉及的分?jǐn)?shù)高達(dá)20多分。
第六章二次型
本章是第五章的運(yùn)用，有兩個(gè)重點(diǎn)：一是化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形;二是正定二次型。前一個(gè)重點(diǎn)主要考查大題，有兩種處理方法：配方法與正交變換法，而正交變換法是考查的重中之重。10、11、12年均以大題的形式出現(xiàn)，考查的是利用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，而13年的最后一道大題考查的也是二次型的題目，但它考查的則是二次型的矩陣表示，另外也考到二次型的標(biāo)準(zhǔn)形，它是通過(guò)間接的方式求得特征值然后直接得出標(biāo)準(zhǔn)形的。后一考點(diǎn)正定二次型則以小題為主。14則是以填空題的形式出現(xiàn)的，考查的題目為已知二次型的負(fù)慣性指數(shù)為1，讓求參數(shù)的取值范圍。15年結(jié)合對(duì)角化考了個(gè)選擇題。16年數(shù)一結(jié)合空間解析幾何考了二次型的標(biāo)準(zhǔn)型，數(shù)三、數(shù)二正負(fù)慣性指數(shù)考察。今年數(shù)一、數(shù)三第21題與數(shù)二第3題考察的就是二次型正交對(duì)角化問(wèn)題。
綜合所述，線代每年的考題都比較固定，大題基本上在線性方程和特征值的角度出。所以建議18的同學(xué)在復(fù)習(xí)線代的時(shí)候從以下幾個(gè)方面去把握：
一、把線代基本的概念弄清楚，線代的概念要從定義的角度和形式上面去把握;
二、線代的記號(hào)要清楚，而且能夠?qū)懗蓪?duì)應(yīng)的形式去表示;
三、重視線代里面知識(shí)點(diǎn)的不同角度的轉(zhuǎn)換關(guān)系，比如秩與解關(guān)系、行列式與秩關(guān)系等;
四、前期要把線代里面固定題型的方法弄透，比如齊次方程的基礎(chǔ)解系是怎么求的、矩陣秩怎么求等。
考研數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)模塊如何歸納總結(jié)
高等數(shù)學(xué)分為5大知識(shí)模塊：
1、一元微積分學(xué);2、多元微積分學(xué);3、曲線、曲面積分;4、無(wú)窮級(jí)數(shù);5、微分方程。這里面的曲線、曲面積分是數(shù)一的同學(xué)特有的，其他內(nèi)容是所有考數(shù)學(xué)的同學(xué)都要考查的。
線性代數(shù)分為3大知識(shí)模塊：
1、行列式和矩陣;2、向量和線性方程組;3、特征值、特征向量和二次型。線性代數(shù)部分從考綱來(lái)看各個(gè)卷種的差別不大，近些年的變化也不大，是考研數(shù)學(xué)相對(duì)穩(wěn)定的一部分考查內(nèi)容。
概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)分為3大知識(shí)模塊：
1、概率、概率基本性質(zhì)及簡(jiǎn)單的概型，2、隨機(jī)變量及其分布與數(shù)字特征，3、統(tǒng)計(jì)基本概念、參數(shù)估計(jì)及假設(shè)檢驗(yàn)，這部分是數(shù)二的同學(xué)不要求的，而數(shù)一和數(shù)三大綱的要求還是有些差距的，比如數(shù)一要求假設(shè)檢驗(yàn)而數(shù)三不要求。
建議大家可以按下面提供的方法進(jìn)行四個(gè)不同層次的歸納總結(jié)：
第一個(gè)層次是概念、性質(zhì)、公式、定理及相關(guān)知識(shí)之間的聯(lián)系、區(qū)別的歸納與總結(jié)。我們的方法是：首先按照自己認(rèn)為的重要到次重要的順序進(jìn)行回憶，之后比照考試大綱所規(guī)定的考試內(nèi)容，看自己有哪些遺漏了，從而形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。我們還要對(duì)遺漏的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行分析，要搞清楚這個(gè)知識(shí)點(diǎn)是由于和這個(gè)小的知識(shí)模塊關(guān)系不緊密而沒(méi)有聯(lián)系起來(lái)，還是自己在復(fù)習(xí)過(guò)程中忽略了。
對(duì)于前一種情況大家不用放在心上，只要看一看這個(gè)知識(shí)點(diǎn)說(shuō)的是什么意思就可以了，比如：在我們回憶一元微積分學(xué)時(shí)，如果沒(méi)想起來(lái)曲率的概念，這關(guān)系不是很大，要知道和整個(gè)知識(shí)模塊相對(duì)游離的知識(shí)點(diǎn)往往不是考研的重點(diǎn)，我們知道即可�？墒菍�(duì)于那些本來(lái)很重要的知識(shí)點(diǎn)由于自己的忽視而沒(méi)有想起來(lái)，這時(shí)我們要高度的重視起來(lái)了，這些知識(shí)應(yīng)該是自己的相對(duì)弱點(diǎn)和盲點(diǎn)，對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)是我們是否能考出好成績(jī)的關(guān)鍵!對(duì)這些知識(shí)點(diǎn)我們要想盡一切辦法去理解，去練習(xí)，直到掌握了為止!在這一層次中大家要知道，考研中的重要的考點(diǎn)往往是不同部分的節(jié)點(diǎn)，這樣的知識(shí)點(diǎn)可能聯(lián)系著兩個(gè)或多個(gè)的概念，是起橋梁作用的知識(shí)。
第二個(gè)層次是對(duì)題型的歸納總結(jié)。做完第一個(gè)層次的總結(jié)，我們只是把考研要考的一些小的知識(shí)點(diǎn)形成了一個(gè)知識(shí)的網(wǎng)絡(luò)圖，但我們還不知道考研是從什么角度，如何考查大家，這時(shí)我們要進(jìn)行第二個(gè)層次的總結(jié)。我們歸納總結(jié)的方法是先根據(jù)自己看過(guò)的和做過(guò)的輔導(dǎo)材料憑記憶總結(jié)出若干的題型，之后比照自己所看的材料看自己總結(jié)的是否能涵蓋復(fù)習(xí)材料中大部分的例題，另外，大家還可以參照專門講題型的書，用自己總結(jié)的題型和復(fù)習(xí)材料上的進(jìn)行對(duì)照，通過(guò)對(duì)照充實(shí)自己總結(jié)出來(lái)的題型。
第三個(gè)層次是對(duì)題型解法的歸納總結(jié)。有了第二個(gè)層次的歸納總結(jié)，我們對(duì)考研數(shù)學(xué)的畏懼心理都消失了，你已經(jīng)知道了考研數(shù)學(xué)可能考你的方式、方法和角度了，現(xiàn)在要做的是對(duì)總結(jié)的題型進(jìn)行解題方法的總結(jié)了。我們的方法是首先根據(jù)自己做過(guò)的一種題型的若干例題總結(jié)出典型的解題思路形成有效的解題程序和過(guò)程。對(duì)于一種題型我們可以從不同的例題中歸納出多種的方法和思路。之后，我們對(duì)照復(fù)習(xí)材料進(jìn)行充實(shí)和改造自己歸納的解題思路和方法，盡可能多的把能用的思路和方法總結(jié)出來(lái)。
第四個(gè)層次是解題思路的升華。有了第三個(gè)層次的歸納總結(jié)，我們對(duì)自己遇到的題目就心中有底了，我們已經(jīng)知道，一般的題目只要按照自己總結(jié)的方法一種一種的去試，基本上能把題目做出來(lái)，只不過(guò)我們的解題的速度不快，這時(shí)侯我們需要在第三個(gè)層次的基礎(chǔ)上進(jìn)行思路的升華，找到最好的對(duì)付一類題型的解題方法，提高我們的解題速度!我們的方法是在自己總結(jié)的方法中找最快捷和最適合自己發(fā)揮的解題思路，之后去找些有關(guān)題型的復(fù)習(xí)材料做些比較，再看看自己的方法和這些材料的方法哪個(gè)更適合自己。
考研數(shù)學(xué)：高數(shù)定理證明之微分中值定理
這一部分內(nèi)容比較豐富，包括費(fèi)馬引理、羅爾定理、拉格朗日定理、柯西定理和泰勒中值定理。除泰勒中值定理外，其它定理要求會(huì)證。
費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)：1.f'(x0)存在2.f(x0)為f(x)的極值，結(jié)論為f'(x0)=0�？紤]函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，用什么方法?自然想到導(dǎo)數(shù)定義。我們可以按照導(dǎo)數(shù)定義寫出f'(x0)的極限形式。往下如何推理?關(guān)鍵要看第二個(gè)條件怎么用。“f(x0)為f(x)的極值”翻譯成數(shù)學(xué)語(yǔ)言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，對(duì)x0的某去心鄰域成立。結(jié)合導(dǎo)數(shù)定義式中函數(shù)部分表達(dá)式，不難想到考慮函數(shù)部分的正負(fù)號(hào)。若能得出函數(shù)部分的符號(hào)，如何得到極限值的符號(hào)呢?極限的保號(hào)性是個(gè)橋梁。
費(fèi)馬引理中的“引理”包含著引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我們下面要討論的羅爾定理。若在微分中值定理這部分推舉一個(gè)考頻最高的，那羅爾定理當(dāng)之無(wú)愧。該定理的條件和結(jié)論想必各位都比較熟悉。條件有三：“閉區(qū)間連續(xù)”、“開區(qū)間可導(dǎo)”和“端值相等”，結(jié)論是在開區(qū)間存在一點(diǎn)(即所謂的中值)，使得函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。
該定理的證明不好理解，需認(rèn)真體會(huì)：條件怎么用?如何和結(jié)論建立聯(lián)系?當(dāng)然，我們現(xiàn)在討論該定理的證明是“馬后炮”式的：已經(jīng)有了證明過(guò)程，我們看看怎么去理解掌握。如果在羅爾生活的時(shí)代，證出該定理，那可是十足的創(chuàng)新，是要流芳百世的。
閑言少敘，言歸正傳。既然我們討論費(fèi)馬引理的作用是要引出羅爾定理，那么羅爾定理的證明過(guò)程中就要用到費(fèi)馬引理。我們對(duì)比這兩個(gè)定理的結(jié)論，不難發(fā)現(xiàn)是一致的：都是函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0。話說(shuō)到這，可能有同學(xué)要說(shuō)：羅爾定理的證明并不難呀，由費(fèi)馬引理得結(jié)論不就行了。大方向?qū)Γ^(guò)程沒(méi)這么簡(jiǎn)單。起碼要說(shuō)清一點(diǎn)：費(fèi)馬引理的條件是否滿足，為什么滿足?
前面提過(guò)費(fèi)馬引理的條件有兩個(gè)——“可導(dǎo)”和“取極值”，“可導(dǎo)”不難判斷是成立的，那么“取極值”呢?似乎不能由條件直接得到。那么我們看看哪個(gè)條件可能和極值產(chǎn)生聯(lián)系。注意到羅爾定理的第一個(gè)條件是函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)。我們知道閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)有很好的性質(zhì)，哪條性質(zhì)和極值有聯(lián)系呢?不難想到最值定理。
那么最值和極值是什么關(guān)系?這個(gè)點(diǎn)需要想清楚，因?yàn)橹苯佑绊懴旅嫱评淼淖呦�。結(jié)論是：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，則最值為極值;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，則最值不為極值。那么接下來(lái)，分兩種情況討論即可：若最值取在區(qū)間內(nèi)部，此種情況下費(fèi)馬引理?xiàng)l件完全成立，不難得出結(jié)論;若最值均取在區(qū)間端點(diǎn)，注意到已知條件第三條告訴我們端點(diǎn)函數(shù)值相等，由此推出函數(shù)在整個(gè)閉區(qū)間上的最大值和最小值相等，這意味著函數(shù)在整個(gè)區(qū)間的表達(dá)式恒為常數(shù)，那在開區(qū)間上任取一點(diǎn)都能使結(jié)論成立。
拉格朗日定理和柯西定理是用羅爾定理證出來(lái)的。掌握這兩個(gè)定理的證明有一箭雙雕的效果：真題中直接考過(guò)拉格朗日定理的證明，若再考這些原定理，那自然駕輕就熟;此外，這兩個(gè)的定理的證明過(guò)程中體現(xiàn)出來(lái)的基本思路，適用于證其它結(jié)論。
以拉格朗日定理的證明為例，既然用羅爾定理證，那我們對(duì)比一下兩個(gè)定理的結(jié)論。羅爾定理的結(jié)論等號(hào)右側(cè)為零。我們可以考慮在草稿紙上對(duì)拉格朗日定理的結(jié)論作變形，變成羅爾定理結(jié)論的形式，移項(xiàng)即可。接下來(lái)，要從變形后的式子讀出是對(duì)哪個(gè)函數(shù)用羅爾定理的結(jié)果。這就是構(gòu)造輔助函數(shù)的過(guò)程——看等號(hào)左側(cè)的式子是哪個(gè)函數(shù)求導(dǎo)后，把x換成中值的結(jié)果。這個(gè)過(guò)程有點(diǎn)像犯罪現(xiàn)場(chǎng)調(diào)查：根據(jù)這個(gè)犯罪現(xiàn)場(chǎng)，反推嫌疑人是誰(shuí)。當(dāng)然，構(gòu)造輔助函數(shù)遠(yuǎn)比破案要簡(jiǎn)單，簡(jiǎn)單的題目直接觀察;復(fù)雜一些的，可以把中值換成x，再對(duì)得到的函數(shù)求不定積分。
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