經(jīng)典的排列與組合小學數(shù)學奧數(shù)題及答案
問題：小明所在的班級要選出4名中隊長，要求每位同學在選票上寫上名字，也可以寫自己的名字。結(jié)果全班的每位同學都在自己的選票上寫了4個互不相同的名字。當小明把同學們的選票收集后發(fā)現(xiàn)一個有趣的現(xiàn)象：就是任意取出2張選票，一定有且只有一個人的名字同時出現(xiàn)在2張選票上。請問：小明所在的班級共有多少人?
總體邏輯思路：首先，假設(shè)題目所說的情況存在。然后，得出班級人數(shù)。最后，構(gòu)造出一個例子，說明確實存在這種情況。
我們先來證明這個班每個人都恰好都被選了4次。
思路簡介：我們首先用反證法證明沒有人被選了4次以上。由于平均每人被選了4次，既然沒有人被選了4次以上，肯定也不存在被選了4次以下的人。所以，可以得到每個人恰好被選了4次。
首先證明沒有人被選了4次以上，我們用反證法。
假設(shè)有一個人被選了4次以上(由于很容易證明這個班的人數(shù)肯定不少于7人，所以我們可以假設(shè)有一個人被選了4次以上)，我們設(shè)這個人為A同學。接下來我們來證明這種情況不存在。
把所有選擇A同學的選票集中到一起，有5張或5張以上。方便起見，我們把這些選票編號，記為A1選票，A2選票，A3選票，A4選票，A5選票，…。意思就是選擇A同學的第1張選票，選擇A同學的第2張選票，…。
這些選票都選擇了A同學。由于任意2張選票有且只有1個人相同，所以這些選票上除了A同學外，其他都是不同的.人。
我們還可以證明，這些并不是全部的選票，不是太難，就不證明了。
既然這些(所有選A同學的選票)不是全部的選票，我們再拿一張沒有選擇A同學的選票。方便起見，稱之為B選票。
根據(jù)任意2張選票有且只有1個人相同，A1選票上必有一個人和B選票上的一個人是相同的，而且這個人不是A同學。
同樣道理，第A2、A3、A4、A5、…上也必有一個人和B選票上的一個人是相同的，而且這個人不是A同學。
由于B選票上只有4個不同的人，而A1、A2、…，的數(shù)量大于4.所以，A1、A2、A3、…選票中至少有2張選票，除了A同學外還有一個共同的候選人。根據(jù)任意2張選票有且只有1個人相同，我們知道這是不可以的。
所以，沒有人被選了4次以上。
由于平均每人被選4次，既然沒有人被選4次以上，當然也就不可能有人被選4次以下。
所以，每個人恰好被選了4次!
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