數(shù)學(xué)的由來(lái)范文
導(dǎo)語(yǔ)：對(duì)數(shù)學(xué)的由來(lái)，各位趕快來(lái)了解一下吧。下面是小編整理的數(shù)學(xué)的由來(lái)，供各位閱讀和參考。
數(shù)學(xué)的由來(lái)
數(shù)學(xué)，其英文是mathematics，這是一個(gè)復(fù)數(shù)名詞，“數(shù)學(xué)曾經(jīng)是四門(mén)學(xué)科：算術(shù)、幾何、天文學(xué)和音樂(lè)，處于一種比語(yǔ)法、修辭和辯證法這三門(mén)學(xué)科更高的地位�！�
自古以來(lái)，多數(shù)人把數(shù)學(xué)看成是一種知識(shí)體系，是經(jīng)過(guò)嚴(yán)密的邏輯推理而形成的系統(tǒng)化的理論知識(shí)總和，它既反映了人們對(duì)“現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的認(rèn)識(shí)（恩格斯），又反映了人們對(duì)“可能的量的關(guān)系和形式”的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)既可以來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界的直接抽象，也可以來(lái)自人類(lèi)思維的勞動(dòng)創(chuàng)造。
從人類(lèi)社會(huì)的發(fā)展史看，人們對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)在不斷變化和深化�！皵�(shù)學(xué)的根源在于普通的常識(shí)，最顯著的例子是非負(fù)整數(shù)。"歐幾里德的算術(shù)來(lái)源于普通常識(shí)中的非負(fù)整數(shù)，而且直到19世紀(jì)中葉，對(duì)于數(shù)的科學(xué)探索還停留在普通的常識(shí)，”另一個(gè)例子是幾何中的相似性，“在個(gè)體發(fā)展中幾何學(xué)甚至先于算術(shù)”，其“最早的征兆之一是相似性的知識(shí)，”相似性知識(shí)被發(fā)現(xiàn)得如此之早，“就象是大生的�！币虼耍�19世紀(jì)以前，人們普遍認(rèn)為數(shù)學(xué)是一門(mén)自然科學(xué)、經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，因?yàn)槟菚r(shí)的數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的聯(lián)系非常密切，隨著數(shù)學(xué)研究的不斷深入，從19世紀(jì)中葉以后，數(shù)學(xué)是一門(mén)演繹科學(xué)的觀點(diǎn)逐漸占據(jù)主導(dǎo)地位，這種觀點(diǎn)在布爾巴基學(xué)派的研究中得到發(fā)展，他們認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，一切數(shù)學(xué)都建立在代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)這三種母結(jié)構(gòu)之上。與這種觀點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，從古希臘的柏拉圖開(kāi)始，許多人認(rèn)為數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問(wèn)，數(shù)學(xué)家懷特海（A. N. Whiiehead，186----1947）在《數(shù)學(xué)與善》中說(shuō)，“數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征就是：在從模式化的個(gè)體作抽象的過(guò)程中對(duì)模式進(jìn)行研究，”數(shù)學(xué)對(duì)于理解模式和分析模式之間的關(guān)系，是最強(qiáng)有力的技術(shù)。”1931年，歌德?tīng)枺↘，G0de1，1978）不完全性定理的證明，宣告了公理化邏輯演繹系統(tǒng)中存在的缺憾，這樣，人們又想到了數(shù)學(xué)是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)的觀點(diǎn)，著名數(shù)學(xué)家馮·諾伊曼就認(rèn)為，數(shù)學(xué)兼有演繹科學(xué)和經(jīng)驗(yàn)科學(xué)兩種特性。
對(duì)于上述關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的看法，我們應(yīng)當(dāng)以歷史的眼光來(lái)分析，實(shí)際上，對(duì)數(shù)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)是隨數(shù)學(xué)的發(fā)展而發(fā)展的。由于數(shù)學(xué)源于分配物品、計(jì)算時(shí)間、丈量土地和容積等實(shí)踐，因而這時(shí)的數(shù)學(xué)對(duì)象（作為抽象思維的產(chǎn)物）與客觀實(shí)在是非常接近的，人們能夠很容易地找到數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)原型，這樣，人們自然地認(rèn)為數(shù)學(xué)是一種經(jīng)驗(yàn)科學(xué)；隨著數(shù)學(xué)研究的深入，非歐幾何、抽象代數(shù)和集合論等的產(chǎn)生，特別是現(xiàn)代數(shù)學(xué)向抽象、多元、高維發(fā)展，人們的注意力集中在這些抽象對(duì)象上，數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的距離越來(lái)越遠(yuǎn)，而且數(shù)學(xué)證明（作為一種演繹推理）在數(shù)學(xué)研究中占據(jù)了重要地位，因此，出現(xiàn)了認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類(lèi)思維的自由創(chuàng)造物，是研究量的關(guān)系的科學(xué)，是研究抽象結(jié)構(gòu)的理論，是關(guān)于模式的學(xué)問(wèn)，等等觀點(diǎn)。這些認(rèn)識(shí)，既反映了人們對(duì)數(shù)學(xué)理解的深化，也是人們從不同側(cè)面對(duì)數(shù)學(xué)進(jìn)行認(rèn)識(shí)的結(jié)果。正如有人所說(shuō)的，“恩格斯的關(guān)于數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系和空間形式的提法與布爾巴基的結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)是不矛盾的，前者反映了數(shù)學(xué)的來(lái)源，后者反映了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的水平，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一座由一系列抽象結(jié)構(gòu)建成的大廈�！倍P(guān)于數(shù)學(xué)是研究模式的學(xué)問(wèn)的說(shuō)法，則是從數(shù)學(xué)的抽象過(guò)程和抽象水平的角度對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的闡釋?zhuān)硗�，從思想根源上�?lái)看，人們之所以把數(shù)學(xué)看成是演繹科學(xué)、研究結(jié)構(gòu)的科學(xué)，是基于人類(lèi)對(duì)數(shù)學(xué)推理的必然性、準(zhǔn)確性的那種與生俱來(lái)的信念，是對(duì)人類(lèi)自身理性的能力、根源和力量的信心的集中體現(xiàn)，因此人們認(rèn)為，發(fā)展數(shù)學(xué)理論的這套方法，即從不證自明的公理出發(fā)進(jìn)行演繹推理，是絕對(duì)可靠的，也即如果公理是真的，那么由它演繹出來(lái)的結(jié)論也一定是真的，通過(guò)應(yīng)用這些看起來(lái)清晰、正確、完美的邏輯，數(shù)學(xué)家們得出的結(jié)論顯然是毋庸置疑的、無(wú)可辯駁的。
事實(shí)上，上述對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)是從數(shù)學(xué)的來(lái)源、存在方式、抽象水平等方面進(jìn)行的，并且主要是從數(shù)學(xué)研究的結(jié)果來(lái)看數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征的。顯然，結(jié)果（作為一種理論的演繹體系）并不能反映數(shù)學(xué)的全貌，組成數(shù)學(xué)整體的另一個(gè)非常重要的方面是數(shù)學(xué)研究的過(guò)程，而且從總體上來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，是一個(gè)“思維的實(shí)驗(yàn)過(guò)程”，是數(shù)學(xué)真理的抽象概括過(guò)程。邏輯演繹體系則是這個(gè)過(guò)程的一種自然結(jié)果。在數(shù)學(xué)研究的過(guò)程中，數(shù)學(xué)對(duì)象的豐富、生動(dòng)且富于變化的一面才得以充分展示。波利亞（G. Poliva，1888一1985）認(rèn)為，“數(shù)學(xué)有兩個(gè)側(cè)面，它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，但也是別的什么東西。由歐幾里德方法提出來(lái)的數(shù)學(xué)看來(lái)象是一門(mén)系統(tǒng)的演繹科學(xué)，但在創(chuàng)造過(guò)程中的數(shù)學(xué)看來(lái)卻像是一門(mén)實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)。”弗賴(lài)登塔爾說(shuō)，“數(shù)學(xué)是一種相當(dāng)特殊的活動(dòng)�！边@種觀點(diǎn)是區(qū)別于數(shù)學(xué)作為印在書(shū)上和銘記在腦子里的東西。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家或者數(shù)學(xué)教科書(shū)喜歡把數(shù)學(xué)表示成“一種組織得很好的狀態(tài)，”也即“數(shù)學(xué)的形式”是數(shù)學(xué)家將數(shù)學(xué)（活動(dòng)）內(nèi)容經(jīng)過(guò)自己的組織（活動(dòng)）而形成的；但對(duì)大多數(shù)人來(lái)說(shuō)，他們是把數(shù)學(xué)當(dāng)成一種工具，他們不能沒(méi)有數(shù)學(xué)是因?yàn)樗麄冃枰獞?yīng)用數(shù)學(xué)，這就是，對(duì)于大眾來(lái)說(shuō)，是要通過(guò)數(shù)學(xué)的形式來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的內(nèi)容，從而學(xué)會(huì)相應(yīng)的（應(yīng)用數(shù)學(xué)的）活動(dòng)。這大概就是弗賴(lài)登塔爾所說(shuō)的“數(shù)學(xué)是在內(nèi)容和形式的互相影響之中的一種發(fā)現(xiàn)和組織的活動(dòng)”的含義。菲茨拜因（Efraim Fischbein）說(shuō)，“數(shù)學(xué)家的理想是要獲得嚴(yán)謹(jǐn)?shù)�、條理清楚的、具有邏輯結(jié)構(gòu)的知識(shí)實(shí)體，這一事實(shí)并不排除必須將數(shù)學(xué)看成是個(gè)創(chuàng)造性過(guò)程：數(shù)學(xué)本質(zhì)上是人類(lèi)活動(dòng)，數(shù)學(xué)是由人類(lèi)發(fā)明的'，”數(shù)學(xué)活動(dòng)由形式的、算法的與直覺(jué)的等三個(gè)基本成分之間的相互作用構(gòu)成。庫(kù)朗和羅賓遜（Courani Robbins）也說(shuō)，“數(shù)學(xué)是人類(lèi)意志的表達(dá)，反映積極的意愿、深思熟慮的推理，以及精美而完善的愿望，它的基本要素是邏輯與直覺(jué)、分析與構(gòu)造、一般性與個(gè)別性。雖然不同的傳統(tǒng)可能強(qiáng)調(diào)不同的側(cè)面，但只有這些對(duì)立勢(shì)力的相互作用，以及為它們的綜合所作的奮斗，才構(gòu)成數(shù)學(xué)科學(xué)的生命、效用與高度的價(jià)值�！�
另外，對(duì)數(shù)學(xué)還有一些更加廣義的理解。如，有人認(rèn)為，“數(shù)學(xué)是一種文化體系”；“數(shù)學(xué)是一種語(yǔ)言”；數(shù)學(xué)活動(dòng)是社會(huì)性的，它是在人類(lèi)文明發(fā)展的歷史進(jìn)程中，人類(lèi)認(rèn)識(shí)自然、適應(yīng)和改造自然、完善自我與社會(huì)的一種高度智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)對(duì)人類(lèi)的思維方式產(chǎn)生了關(guān)鍵性的影響；也有人認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門(mén)藝術(shù)，這和把數(shù)學(xué)看作一門(mén)學(xué)科相比，我?guī)缀醺矚g把它看作一門(mén)藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)家在理性世界指導(dǎo)下（雖然不是控制下）所表現(xiàn)出的經(jīng)久的創(chuàng)造性活動(dòng)，具有和藝術(shù)家的，例如畫(huà)家的活動(dòng)相似之處，這是真實(shí)的而并非臆造的。數(shù)學(xué)家嚴(yán)格的演繹推理在這里可以比作專(zhuān)門(mén)的技巧。就像一個(gè)人若不具備一定量的技能就不能成為畫(huà)家一樣，不具備一定水平的精確推理能力就不能成為數(shù)學(xué)家，這些品質(zhì)是最基本的，它與其它一些要微妙得多的品質(zhì)共同構(gòu)成一個(gè)優(yōu)秀的藝術(shù)家或優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家的素質(zhì)，其中最主要的一條在兩種情況下都是想象力；“數(shù)學(xué)是推理的音樂(lè)，”而“音樂(lè)是形象的數(shù)學(xué)”。這是從數(shù)學(xué)研究的過(guò)程和數(shù)學(xué)家應(yīng)具備的品質(zhì)來(lái)論述數(shù)學(xué)的本質(zhì)；還有人把數(shù)學(xué)看成是一種對(duì)待事物的基本態(tài)度和方法，一種精神和觀念，即數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)觀念和態(tài)度；尼斯（Mogens Niss）等在《社會(huì)中的數(shù)學(xué)》一文中認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門(mén)學(xué)科，“在認(rèn)識(shí)論的意義上它是一門(mén)科學(xué)，目標(biāo)是要建立、描述和理解某些領(lǐng)域中的對(duì)象、現(xiàn)象、關(guān)系和機(jī)制等。如果這個(gè)領(lǐng)域是由我們通常認(rèn)為的數(shù)學(xué)實(shí)體所構(gòu)成的，數(shù)學(xué)就扮演著純粹科學(xué)的角色。在這種情況下，數(shù)學(xué)以?xún)?nèi)在的自我發(fā)展和自我理解為目標(biāo)，獨(dú)立于外部世界...另一方面，如果所考慮的領(lǐng)域存在于數(shù)學(xué)之外...數(shù)學(xué)就起著用科學(xué)的作用...數(shù)學(xué)的這兩個(gè)側(cè)面之間的差異并非數(shù)學(xué)內(nèi)容本身的問(wèn)題，而是人們所關(guān)注的焦點(diǎn)不同。無(wú)論是純粹的還是應(yīng)用的，作為科學(xué)的數(shù)學(xué)有助于產(chǎn)生知識(shí)和洞察力。數(shù)學(xué)也是一個(gè)工具、產(chǎn)品以及過(guò)程構(gòu)成的系統(tǒng)，它有助于我們作出與掌握數(shù)學(xué)以外的實(shí)踐領(lǐng)域有關(guān)的決定和行動(dòng)...數(shù)學(xué)是美學(xué)的一個(gè)領(lǐng)域，能為許多醉心其中的人們提供對(duì)美感、愉悅和激動(dòng)的體驗(yàn)...作為一門(mén)學(xué)科，數(shù)學(xué)的傳播和發(fā)展都要求它能被新一代的人們所掌握。數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不會(huì)同時(shí)而自動(dòng)地進(jìn)行，需要靠人來(lái)傳授，所以，數(shù)學(xué)也是我們社會(huì)的教育體系中的一個(gè)教學(xué)科目�！�
從上所述可以看出，人們是從數(shù)學(xué)內(nèi)部（又從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式及研究過(guò)程等幾個(gè)角度）。數(shù)學(xué)與社會(huì)的關(guān)系、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的關(guān)系、數(shù)學(xué)與人的發(fā)展的關(guān)系等幾個(gè)方面來(lái)討論數(shù)學(xué)的性質(zhì)的。它們都從一個(gè)側(cè)面反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，為我們?nèi)嬲J(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的性質(zhì)提供了一個(gè)視角。
基于對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的上述認(rèn)識(shí)，人們也從不同側(cè)面討論了數(shù)學(xué)的具體特點(diǎn)。比較普遍的觀點(diǎn)是，數(shù)學(xué)有抽象性、精確性和應(yīng)用的廣泛性等特點(diǎn)，其中最本質(zhì)的特點(diǎn)是抽象性。亞歷山大洛夫說(shuō)，“甚至對(duì)數(shù)學(xué)只有很膚淺的知識(shí)就能容易地覺(jué)察到數(shù)學(xué)的這些特點(diǎn)：第一是它的抽象性，第二是精確性，或者更好他說(shuō)是邏輯的嚴(yán)格性以及它的結(jié)論的確定性，最后是它的應(yīng)用的極端廣泛、性。”王粹坤說(shuō)，“數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：內(nèi)容的抽象性、應(yīng)用的廣泛性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的明確必�！边@種看法主要從數(shù)學(xué)的內(nèi)容、表現(xiàn)形式和數(shù)學(xué)的作用等方面來(lái)理解數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，是數(shù)學(xué)特點(diǎn)的一個(gè)方面。另外，從數(shù)學(xué)研究的過(guò)程方面、數(shù)學(xué)與其它學(xué)科之間的關(guān)系方面來(lái)看，數(shù)學(xué)還有形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性、“可證偽性”的特點(diǎn)。對(duì)數(shù)學(xué)特點(diǎn)的認(rèn)識(shí)也是有時(shí)代特征的，例如，關(guān)于數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，在各個(gè)數(shù)學(xué)歷史發(fā)展時(shí)期有不同的標(biāo)準(zhǔn)，從歐氏幾何到羅巴切夫斯基幾何再到希爾伯特公理體系，關(guān)于嚴(yán)謹(jǐn)性的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)有很大差異，尤其是哥德?tīng)柼岢霾⒆C明了“不完備性定理…以后，人們發(fā)現(xiàn)即使是公理化這一曾經(jīng)被極度推崇的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)方法也是有缺陷的。因此，數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性是在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史中表現(xiàn)出來(lái)的，具有相對(duì)性。關(guān)于數(shù)學(xué)的似真性，波利亞在他的《數(shù)學(xué)與猜想》中指出，“數(shù)學(xué)被人看作是一門(mén)論證科學(xué)。然而這僅僅是它的一個(gè)方面，以最后確定的形式出現(xiàn)的定型的數(shù)學(xué)，好像是僅含證明的純論證性的材料，然而，數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過(guò)程是與任何其它知識(shí)的創(chuàng)造過(guò)程一樣的，在證明一個(gè)數(shù)學(xué)定理之前，你先得猜測(cè)這個(gè)定理的內(nèi)容，在你完全作出詳細(xì)證明之前，你先得推測(cè)證明的思路，你先得把觀察到的結(jié)果加以綜合然后加以類(lèi)比，你得一次又一次地進(jìn)行嘗試。數(shù)學(xué)家的創(chuàng)造性工作成果是論證推理，即證明；但是這個(gè)證明是通過(guò)合情推理，通過(guò)猜想而發(fā)現(xiàn)的。只要數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程稍能反映出數(shù)學(xué)的發(fā)明過(guò)程的話，那么就應(yīng)當(dāng)讓猜測(cè)、合情推理占有適當(dāng)?shù)奈恢��！闭菑倪@個(gè)角度，我們說(shuō)數(shù)學(xué)的確定性是相對(duì)的，有條件的，對(duì)數(shù)學(xué)的形象性、似真性、擬經(jīng)驗(yàn)性�！翱勺C偽性”特點(diǎn)的強(qiáng)調(diào)，實(shí)際上是突出了數(shù)學(xué)研究中觀察、實(shí)驗(yàn)、分析。比較、類(lèi)比、歸納、聯(lián)想等思維過(guò)程的重要性。
綜上所述，對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的認(rèn)識(shí)是發(fā)展的、變化的，用歷史的、發(fā)展的觀點(diǎn)來(lái)看待數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，恩格斯的“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系”的論斷并不過(guò)時(shí)，對(duì)初等數(shù)學(xué)來(lái)說(shuō)就更是如此。當(dāng)然，對(duì)“空間形式和數(shù)量關(guān)系”的內(nèi)涵，我們應(yīng)當(dāng)作適當(dāng)?shù)耐卣购蜕罨ｍ槺阒赋�，�?duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)特征的討論中，采取現(xiàn)象與本質(zhì)并重、過(guò)程與結(jié)果并重、形式與內(nèi)容并重的觀點(diǎn)，這對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)具有重要的指導(dǎo)意義。
數(shù)學(xué)的由來(lái)和發(fā)展
數(shù)學(xué)是研究事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的一門(mén)科學(xué)。
數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展始終圍繞著數(shù)和形這兩個(gè)基本概念不斷地深化和演變。大體上說(shuō)，凡是研究數(shù)和它的關(guān)系的部分，劃為代數(shù)學(xué)的范疇；凡是研究形和它的關(guān)系的部分，劃為幾何學(xué)的范疇。但同時(shí)數(shù)和形也是相互聯(lián)系的有機(jī)整體。
數(shù)學(xué)是一門(mén)高度概括性的科學(xué)，具有自己的特征。抽象性是它的第一個(gè)特征；數(shù)學(xué)思維的正確性表現(xiàn)在邏輯的嚴(yán)密上，所以精確性是它的第二個(gè)特征；應(yīng)用的廣泛性是它的第三個(gè)特征。
一切科學(xué)、技術(shù)的發(fā)展都需要數(shù)學(xué)，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)的抽象，使外表完全不同的問(wèn)題之間有了深刻的聯(lián)系。因此數(shù)學(xué)是自然科學(xué)中最基礎(chǔ)的學(xué)科，因此常被譽(yù)為科學(xué)的皇后。
數(shù)學(xué)在提出問(wèn)題和解答問(wèn)題方面，已經(jīng)形成了一門(mén)特殊的科學(xué)。在數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，有很多的例子可以說(shuō)明，數(shù)學(xué)問(wèn)題是數(shù)學(xué)發(fā)展的主要源泉。數(shù)學(xué)家門(mén)為了解答這些問(wèn)題，要花費(fèi)較大力量和時(shí)間。盡管還有一些問(wèn)題仍然沒(méi)有得到解答，然而在這個(gè)過(guò)程中，他們創(chuàng)立了不少的新概念、新理論、新方法，這些才是數(shù)學(xué)中最有價(jià)值的東西。
數(shù)學(xué)概覽
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，就是研究數(shù)和形的科學(xué)。
由于生活和勞動(dòng)上的需求，即使是最原始的民族，也知道簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)，并由用手指或?qū)嵨镉?jì)數(shù)發(fā)展到用數(shù)字計(jì)數(shù)。在中國(guó)，最遲在商代，即已出現(xiàn)用十進(jìn)制數(shù)字表示大數(shù)的方法；至秦漢之際，即已出現(xiàn)完滿的十進(jìn)位制。在 不晚于公元一世紀(jì)的《九章算術(shù)》中，已載了只有位值制才有可能進(jìn)行的開(kāi)平方、開(kāi)立方的計(jì)算法則，并載有分?jǐn)?shù)的各種運(yùn)算以及解線性聯(lián)立方程組的方法，還引入了負(fù)數(shù)概念。
劉徽在他注解的《九章算術(shù)》中，還提出過(guò)用十進(jìn)制小數(shù)表示無(wú)理數(shù)平方根的奇零部分，但直至唐宋時(shí)期(歐洲則在16世紀(jì)斯蒂文以后)十進(jìn)制小數(shù)才獲通用。在這本著作中，劉徽又用圓內(nèi)接正多邊形的周長(zhǎng)逼近圓周長(zhǎng)，成為后世求圓周率 的一般方法。
雖然中國(guó)從來(lái)沒(méi)有過(guò)無(wú)理數(shù)或?qū)崝?shù)的一般概念，但在實(shí)質(zhì)上，那時(shí)中國(guó)已完成了實(shí)數(shù)系統(tǒng)的一切運(yùn)算法則與方法，這不僅在應(yīng)用上不可缺，也為數(shù)學(xué)初期教育所不可少。至于繼承了巴比倫、埃及、希臘文化的歐洲地區(qū)，則偏重于數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)間的邏輯關(guān)系的研究。
早在歐幾里得的《幾何原本》中，即有素?cái)?shù)的概念和素?cái)?shù)個(gè)數(shù)無(wú)窮及整數(shù)惟一分解等論斷。古希臘發(fā)現(xiàn)了有非分?jǐn)?shù)的數(shù)，即現(xiàn)稱(chēng)的無(wú)理數(shù)。16世紀(jì)以來(lái)，由于解高次方程又出現(xiàn)了復(fù)數(shù)。在近代，數(shù)的概念更進(jìn)一步抽象化，并依據(jù)數(shù)的不同運(yùn)算規(guī)律，對(duì)一般的數(shù)系統(tǒng)進(jìn)行了獨(dú)立的理論探討，形成數(shù)學(xué)中的若干不同分支。
開(kāi)平方和開(kāi)立方是解最簡(jiǎn)單的高次方程所必須用到的運(yùn)算。在《九章算術(shù)》中，已出現(xiàn)解某種特殊形式的二次方程。發(fā)展至宋元時(shí)代，引進(jìn)了“天元”(即未知數(shù))的明確觀念，出現(xiàn)了求高次方程數(shù)值解與求多至四個(gè)未知數(shù)的高次代數(shù)聯(lián)立方程組的解的方法，通稱(chēng)為天元術(shù)與四元術(shù)。與之相伴出現(xiàn)的多項(xiàng)式的表達(dá)、運(yùn)算法則以及消去方法，已接近于近世的代數(shù)學(xué)。
在中國(guó)以外，九世紀(jì)阿拉伯的花拉米子的著作闡述了二次方程的解法，通常被視為代數(shù)學(xué)的鼻祖，其解法實(shí)質(zhì)上與中國(guó)古代依賴(lài)于切割術(shù)的幾何方法具有同一風(fēng)格。中國(guó)古代數(shù)學(xué)致力于方程的具體求解，而源于古希臘、埃及傳統(tǒng)的歐洲數(shù)學(xué)則不同，一般致力于探究方程解的性質(zhì)。
16世紀(jì)時(shí)，韋達(dá)以文字代替方程系數(shù)，引入了代數(shù)的符號(hào)演算。對(duì)代數(shù)方程解的性質(zhì)進(jìn)行探討，是從線性方程組引出的行列式、矩陣、線性空間、線性變換等概念與理論的出現(xiàn)；從代數(shù)方程導(dǎo)致復(fù)數(shù)、對(duì)稱(chēng)函數(shù)等概念的引入以至伽羅華理論與群論的創(chuàng)立。而近代極為活躍的代數(shù)幾何，則無(wú)非是高次聯(lián)立代數(shù)方程組解所構(gòu)成的集合的理論研究。
形的研究屬于幾何學(xué)的范疇。古代民族都具有形的簡(jiǎn)單概念，并往往以圖畫(huà)來(lái)表示，而圖形之所以成為數(shù)學(xué)對(duì)象是由于工具的制作與測(cè)量的要求所促成的。規(guī)矩以作圓方，中國(guó)古代夏禹泊水時(shí)即已有規(guī)、矩、準(zhǔn)、繩等測(cè)量工具。
《墨經(jīng)》中對(duì)一系列的幾何概念，有抽象概括，作出了科學(xué)的定義�！吨荀滤憬�(jīng)》與劉徽的《海島算經(jīng)》給出了用矩觀測(cè)天地的一般方法與具體公式。在《九章算術(shù)》及劉徽注解的《九章算術(shù)》中，除勾股定理外，還提出了若干一般原理以解決多種問(wèn)題。例如求任意多邊形面積的出入相補(bǔ)原理；求多面體的體積的陽(yáng)馬鱉需的二比一原理(劉徽原理)；5世紀(jì)祖(日恒)提出的用以求曲形體積特別是球的體積的“冪勢(shì)既同則積不容異”的原理；還有以?xún)?nèi)接正多邊形逼近圓周長(zhǎng)的極限方法(割圓術(shù))。但自五代(約10世紀(jì))以后，中國(guó)在幾何學(xué)方面的建樹(shù)不多。
中國(guó)幾何學(xué)以測(cè)量和計(jì)算面積、體積的量度為中心任務(wù)，而古希臘的傳統(tǒng)則是重視形的性質(zhì)與各種性質(zhì)間的相互關(guān)系。歐幾里得的《幾何原本》，建立了用定義、公理、定理、證明構(gòu)成的演繹體系，成為近代數(shù)學(xué)公理化的楷模，影響遍及于整個(gè)數(shù)學(xué)的發(fā)展。特別是平行公理的研究，導(dǎo)致了19世紀(jì)非歐幾何的產(chǎn)生。
歐洲自文藝復(fù)興時(shí)期起通過(guò)對(duì)繪畫(huà)的透視關(guān)系的研究，出現(xiàn)了射影幾何。18世紀(jì)，蒙日應(yīng)用分析方法對(duì)形進(jìn)行研究，開(kāi)微分幾何學(xué)的先河。高斯的曲面論與黎曼的流形理論開(kāi)創(chuàng)了脫離周?chē)臻g以形作為獨(dú)立對(duì)象的研究方法；19世紀(jì)克萊因以群的觀點(diǎn)對(duì)幾何學(xué)進(jìn)行統(tǒng)一處理。此外，如康托爾的點(diǎn)集理論，擴(kuò)大了形的范圍；龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，使形的連續(xù)性成為幾何研究的對(duì)象。這些都使幾何學(xué)面目一新。
在現(xiàn)實(shí)世界中，數(shù)與形，如影之隨形，難以分割。中國(guó)的古代數(shù)學(xué)反映了這一客觀實(shí)際，數(shù)與形從來(lái)就是相輔相成，并行發(fā)展的。例如勾股測(cè)量提出了開(kāi)平方的要求，而開(kāi)平方、開(kāi)立方的方法又奠基于幾何圖形的考慮。二次、三次方程的產(chǎn)生，也大都來(lái)自幾何與實(shí)際問(wèn)題。至宋元時(shí)代，由于天元概念與相當(dāng)于多項(xiàng)式概念的引入，出現(xiàn)了幾何代數(shù)化。
在天文與地理中的星表與地圖的繪制，已用數(shù)來(lái)表示地點(diǎn)，不過(guò)并未發(fā)展到坐標(biāo)幾何的地步。在歐洲，十四世紀(jì)奧爾斯姆的著作中已有關(guān)于經(jīng)緯度與函數(shù)圖形表示的萌芽。十七世紀(jì)笛卡爾提出了系統(tǒng)的把幾何事物用代數(shù)表示的方法及其應(yīng)用。在其啟迪之下，經(jīng)萊布尼茨、牛頓等的工作，發(fā)展成了現(xiàn)代形式的坐標(biāo)制解析幾何學(xué)，使數(shù)與形的統(tǒng)一更臻完美，不僅改變了幾何證題過(guò)去遵循歐幾里得幾何的老方法，還引起了導(dǎo)數(shù)的產(chǎn)生，成為微積分學(xué)產(chǎn)生的根源。這是數(shù)學(xué)史上的一件大事。
在十七世紀(jì)中，由于科學(xué)與技術(shù)上的要求促使數(shù)學(xué)家們研究運(yùn)動(dòng)與變化，包括量的變化與形的變換(如投影)，還產(chǎn)生了函數(shù)概念和無(wú)窮小分析即現(xiàn)在的微積分，使數(shù)學(xué)從此進(jìn)入了一個(gè)研究變量的新時(shí)代。
十八世紀(jì)以來(lái)，以解析幾何與微積分這兩個(gè)有力工具的創(chuàng)立為契機(jī)，數(shù)學(xué)以空前的規(guī)模迅猛發(fā)展，出現(xiàn)了無(wú)數(shù)分支。由于自然界的客觀規(guī)律大多是以微分方程的形式表現(xiàn)的，所以微分方程的研究一開(kāi)始就受到很大的重視。
微分幾何基本上與微積分同時(shí)誕生，高斯與黎曼的工作又產(chǎn)生了現(xiàn)代的微分幾何。19、20世紀(jì)之交，龐加萊創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)，開(kāi)辟了對(duì)連續(xù)現(xiàn)象進(jìn)行定性與整體研究的途徑。對(duì)客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析，產(chǎn)生了概率論。第二次世界大戰(zhàn)軍事上的需要，以及大工業(yè)與管理的復(fù)雜化產(chǎn)生了運(yùn)籌學(xué)、系統(tǒng)論、控制論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科。實(shí)際問(wèn)題要求具體的數(shù)值解答，產(chǎn)生了計(jì)算數(shù)學(xué)。選擇最優(yōu)途徑的要求又產(chǎn)生了各種優(yōu)化的理論、方法。
力學(xué)、物理學(xué)同數(shù)學(xué)的發(fā)展始終是互相影響互相促進(jìn)的，特別是相對(duì)論與量子力學(xué)推動(dòng)了微分幾何與泛函分析的成長(zhǎng)。此外在19世紀(jì)還只用到一次方程的化學(xué)和幾乎與數(shù)學(xué)無(wú)緣的生物學(xué)，都已要用到最前沿的一些數(shù)學(xué)知識(shí)。
十九世紀(jì)后期，出現(xiàn)了集合論，還進(jìn)入了一個(gè)批判性的時(shí)代，由此推動(dòng)了數(shù)理邏輯的形成與發(fā)展，也產(chǎn)生了把數(shù)學(xué)看作是一個(gè)整體的各種思潮和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)派。特別是1900年，德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特在第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上的關(guān)于當(dāng)代數(shù)學(xué)重要問(wèn)題的演講，以及三十年代開(kāi)拓的，以結(jié)構(gòu)概念統(tǒng)觀數(shù)學(xué)的法國(guó)布爾巴基學(xué)派的興起，對(duì)二十世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了巨大、深遠(yuǎn)的影響，科學(xué)的數(shù)學(xué)化一語(yǔ)也開(kāi)始為人們所樂(lè)道。
數(shù)學(xué)的外圍向自然科學(xué)、工程技術(shù)甚至社會(huì)科學(xué)不斷滲透擴(kuò)大并從中吸取營(yíng)養(yǎng)，出現(xiàn)了一些邊緣數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)本身的內(nèi)部需要也孽生了不少新的理論與分支。同時(shí)其核心部分也在不斷鞏固提高并有時(shí)作適當(dāng)調(diào)整以適應(yīng)外部需要�？傊�，數(shù)學(xué)這棵大樹(shù)茁壯成長(zhǎng)，既枝葉繁茂又根深蒂固。
在數(shù)學(xué)的蓬勃發(fā)展過(guò)程中，數(shù)與形的概念不斷擴(kuò)大且日趨抽象化，以至于不再有任何原始計(jì)數(shù)與簡(jiǎn)單圖形的蹤影。雖然如此，在新的數(shù)學(xué)分支中仍有著一些對(duì)象和運(yùn)算關(guān)系借助于幾何術(shù)語(yǔ)來(lái)表示。如把函數(shù)看成是某種空間的一個(gè)點(diǎn)之類(lèi)。這種做法之所以行之有效，歸根結(jié)底還是因?yàn)閿?shù)學(xué)家們已經(jīng)熟悉了那種簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)運(yùn)算與圖形關(guān)系，而后者又有著長(zhǎng)期深厚的現(xiàn)實(shí)基礎(chǔ)。而且，即使是最原始的數(shù)字如1、2、3、4，以及幾何形象如點(diǎn)與直線，也已經(jīng)是經(jīng)過(guò)人們高度抽象化了的概念。因此如果把數(shù)與形作為廣義的抽象概念來(lái)理解，則前面提到的把數(shù)學(xué)作為研究數(shù)與形的科學(xué)這一定義，對(duì)于現(xiàn)階段的近代數(shù)學(xué)，也是適用的。
由于數(shù)學(xué)研究對(duì)象的數(shù)量關(guān)系與空間形式都來(lái)自現(xiàn)實(shí)世界，因而數(shù)學(xué)盡管在形式上具有高度的抽象性，而實(shí)質(zhì)上總是扎根于現(xiàn)實(shí)世界的。生活實(shí)踐與技術(shù)需要始終是數(shù)學(xué)的真正源泉，反過(guò)來(lái)，數(shù)學(xué)對(duì)改造世界的實(shí)踐又起著重要的、關(guān)鍵性的作用。理論上的豐富提高與應(yīng)用的廣泛深入在數(shù)學(xué)史上始終是相伴相生，相互促進(jìn)的。
但由于各民族各地區(qū)的客觀條件不同，數(shù)學(xué)的具體發(fā)展過(guò)程是有差異的。大體說(shuō)來(lái)，古代中華民族以竹為籌，以籌運(yùn)算，自然地導(dǎo)致十進(jìn)位值制的產(chǎn)生。計(jì)算方法的優(yōu)越有助于對(duì)實(shí)際問(wèn)題的具體解決。由此發(fā)展起來(lái)的數(shù)學(xué)形成了一個(gè)以構(gòu)造性、計(jì)算性、程序化與機(jī)械化為其特色，以從問(wèn)題出發(fā)進(jìn)而解決問(wèn)題為主要目標(biāo)的獨(dú)特體系。而在古希臘則著重思維，追求對(duì)宇宙的了解。由此發(fā)展成以抽象了的數(shù)學(xué)概念與性質(zhì)及其相互間的邏輯依存關(guān)系為研究對(duì)象的公理化演繹體系。
中國(guó)的數(shù)學(xué)體系在宋元時(shí)期達(dá)到高峰以后，陷于停頓且?guī)字料�。而在歐洲，經(jīng)過(guò)文藝復(fù)興、宗教革命、資產(chǎn)階級(jí)革命等一系列的變革，導(dǎo)致了工業(yè)革命與技術(shù)革命。機(jī)器的使用，不論中外都由來(lái)已久。但在中國(guó)，則由于明初被帝王斥為奇技淫巧而受阻抑。
在歐洲，則由于工商業(yè)的發(fā)展與航海的刺激而得到發(fā)展，機(jī)器使人們從繁重的體力勞動(dòng)中解放出來(lái)，并引導(dǎo)到理論力學(xué)和一般的運(yùn)動(dòng)和變化的科學(xué)研究。當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家都積極參與了這些變革以及相應(yīng)數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，產(chǎn)生了積極的效果。解析幾何與微積分的誕生，成為數(shù)學(xué)發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。17世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)的飛躍，大體上可以看成是這些成果的延續(xù)與發(fā)展。
20世紀(jì)出現(xiàn)各種嶄新的技術(shù)，產(chǎn)生了新的技術(shù)革命，特別是計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使數(shù)學(xué)又面臨一個(gè)新時(shí)代。這一時(shí)代的特點(diǎn)之一就是部分腦力勞動(dòng)的逐步機(jī)械化。與17世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)之以圍繞連續(xù)、極限等概念為主導(dǎo)思想與方法不同，由于計(jì)算機(jī)研制與應(yīng)用的需要，離散數(shù)學(xué)與組和數(shù)學(xué)開(kāi)始受到重視。
計(jì)算機(jī)對(duì)數(shù)學(xué)的作用已不限于數(shù)值計(jì)算，符號(hào)運(yùn)算的重要性日趨明顯(包括機(jī)器證明等數(shù)學(xué)研究)。計(jì)算機(jī)還廣泛應(yīng)用于科學(xué)實(shí)驗(yàn)。為了與計(jì)算機(jī)更好地配合，數(shù)學(xué)對(duì)于構(gòu)造性、計(jì)算性、程序化與機(jī)械化的要求也顯得頗為突出。代數(shù)幾何是一門(mén)高度抽象化的數(shù)學(xué)，最近出現(xiàn)的計(jì)算性代數(shù)幾何與構(gòu)造性代數(shù)幾何的提法，即其端倪之一�？傊�，數(shù)學(xué)正隨著新的技術(shù)革命而不斷發(fā)展。
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