小學(xué)奧數(shù)之整除問題
我們知道，2、4、6、8、10、……都是能被2整除的整數(shù).如果在這些數(shù)之間作和運算或差運算：
2+4=6，4+6=10，6+8=14，
2+6=8，4+8=12，6+10=16，
2+8=10，4+10=14，…………
2+10=12，…………
…………
2+4+6=12，
2+4+6+8=20，
2+4+6+8+10=30，
…………
4-2=2，6-4=2，8-6=2，
6-2=4，8-4=4，10-6=4，
8-2=6，10-4=6，…………
10-2=8，
…………
我們發(fā)現(xiàn)，它們之間的和或差也都能被2整除.因此，我們有理由猜想：能被2整除的數(shù)之間的和或差也能被2整除.
我們還知道，3、6、9、12、15、……都是能被3整除的數(shù).如果在這些數(shù)之間作和運算或者差運算：
3+6=9，6+9=15，9+12=21，
3+9=12，6+12=18，9+15=24，
3+12=15，6+15=21，………
3+15=18，…………
………
3+6+9=18，
3+6+9+12=30，
3+6+9+12+18=48，
………
6-3=3，9-6=3，12-9=3，
9-3=6，12-6=6，15-9=6，
12-3=9，15-6=9，………
15-3=12，………
………
這些運算的結(jié)果也都能被3整除.因此，我們又有理由猜想：能被3整除的數(shù)之間的和或差也能被3整除.
有了前面的兩點猜想，我們似乎可以作更大膽的猜想：如果有一些數(shù)能被某個數(shù)整除，那么，這些數(shù)之間的.和或差也一定能被某個數(shù)整除.
令人不放心的是，關(guān)于這個猜想，我們還僅只是考察了“某數(shù)”是2和3的部分情形.是不是對所有的情形都正確呢？解決這個問題的辦法有兩個：一是再接著逐個去驗證考察。但這是一件永遠(yuǎn)也辦不完的麻煩事情！另一個辦法是用符號（這個發(fā)明用符號來表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系的前輩確實是一個偉大的天才！）表示出“猜想”中的數(shù)學(xué)關(guān)系，然后，去想方設(shè)法說清它正確的道理.親愛的讀者，你能完成這項工作嗎？
【規(guī)律】
如果有整數(shù)A、B、C、……都能被整數(shù)m整除，那么，就有A±B±C±……
的結(jié)果也能被m整除.
事實上，整數(shù)A、B、C、……都能被整數(shù)m整除，那么，這些整數(shù)就可以分別寫成m的倍數(shù)形式：
A=a?m，B=b?m，C=c?m，……
�。ㄆ渲衋、b、c仍為整數(shù)）.這樣
A±B±C±……
=a?m±b?m±c?m±……
=（a±b±c±……）?m.
顯然，后面的結(jié)果是m的倍數(shù)，能被m整除.這就說明了原式
A±B±C±……
也能被m整除.猜想是正確的.
【練習(xí)】
運用上面的規(guī)律你能判斷出下面哪些算式的得數(shù)能被2、3或5整除.
（1）123456789×1991+987654321；
（2）987654321×1992-123456789；
�。�3）2+4+6+……+1998+2000；
�。�4）5000-4998+4996-4994+……+4-2；
�。�5）1×2+3×4+5×6+……+99×100；
�。�6）1×2×3+4×5×6+7×8×9+……+97×98×99；
�。�7）1×2×3×4×5+6×7×8×9×10+11×12×13×14×15+……+96×97×98×99×100；
�。�8）19921+19922+19923+……+19922000.
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