關(guān)于奧數(shù)專題之一筆畫問(wèn)題
歐拉的一筆畫原理是：
(1)一筆畫必須是連通的(圖形的各部分之間連接在一起)；
(2)沒(méi)有奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時(shí)可以以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后仍回到這點(diǎn)；
(3)只有兩個(gè)奇點(diǎn)的連通圖形是一筆畫，畫時(shí)必須以一個(gè)奇點(diǎn)為起點(diǎn)，以另一個(gè)奇點(diǎn)為終點(diǎn)；
(4)奇點(diǎn)個(gè)數(shù)超過(guò)兩個(gè)的圖形不是一筆畫。
利用一筆畫原理，七橋問(wèn)題很容易解決。因?yàn)閳D中A，B，C，D都是奇點(diǎn)，有四個(gè)奇點(diǎn)的圖形不是一筆畫，所以一個(gè)散步者不可能不重復(fù)地一次走遍這七座橋。
順便補(bǔ)充兩點(diǎn)：
(1)一個(gè)圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。
因?yàn)閳D形中的每條線都有兩個(gè)端點(diǎn)，所以圖形中所有端點(diǎn)的總數(shù)必然是偶數(shù)。如果一個(gè)圖形中奇點(diǎn)的數(shù)目是奇數(shù)，那么這個(gè)圖形中與奇點(diǎn)相連接的'端點(diǎn)數(shù)之和是奇數(shù)(奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和是奇數(shù))，與偶點(diǎn)相連的線的端點(diǎn)數(shù)之和是偶數(shù)(任意個(gè)偶數(shù)之和是偶數(shù))，于是得到所有端點(diǎn)的總數(shù)是奇數(shù)，這與前面的結(jié)論矛盾。所以一個(gè)圖形的奇點(diǎn)數(shù)目一定是偶數(shù)。
(2)有K個(gè)奇點(diǎn)的圖形要K÷2筆才能畫成。
例如：下頁(yè)左上圖中的房子共有B，E，F(xiàn)，G，I，J六個(gè)奇點(diǎn)，所以不是一筆畫。如果我們將其中的兩個(gè)奇點(diǎn)間的連線去掉一條，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)都變成了偶點(diǎn)，如果能去掉兩條這樣的連線，使圖中的六個(gè)奇點(diǎn)變成兩個(gè)，那么新圖形就是一筆畫了。將線段GF和BJ去掉，剩下I和E兩個(gè)奇點(diǎn)(見(jiàn)右下圖)，這個(gè)圖形是一筆畫，再添上線段GF和BJ，共需三筆，即(6÷2)筆畫成。
一個(gè)K(K＞1)筆畫最少要添加幾條連線才能變成一筆畫呢？我們知道K筆畫有2K個(gè)奇點(diǎn)，如果在任意兩個(gè)奇點(diǎn)之間添加一條連線，那么這兩個(gè)奇點(diǎn)同時(shí)變成了偶點(diǎn)。如左下圖中的B，C兩個(gè)奇點(diǎn)在右下圖中都變成了偶點(diǎn)。所以只要在K筆畫的2K個(gè)奇點(diǎn)間添加(K-1)筆就可以使奇點(diǎn)數(shù)目減少為2個(gè)，從而變成一筆畫。
到現(xiàn)在為止，我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了如何判斷一筆畫和多筆畫，以及怎樣添加連線將多筆畫變成一筆畫。
1.下列圖形分別是幾筆畫？怎樣畫？
2.能否用剪刀從左下圖中一次連續(xù)剪下三個(gè)正方形和兩個(gè)三角形？
3.從A點(diǎn)出發(fā)，走遍右上圖中所有的線段，再回到A點(diǎn)，怎樣走才能使重復(fù)走的路程最短？
4.如下圖所示，兩條河流的交匯處有兩個(gè)島，有七座橋連接這兩個(gè)島及河岸。問(wèn)：一個(gè)散步者能否一次不重復(fù)地走遍這七座橋？
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