小學(xué)奧數(shù)高難度棋盤問題解析
先說(shuō)明一下，雖然陳述本題時(shí)使用棋盤及棋子加以說(shuō)明，實(shí)際你只須用1張方格紙、1支筆，還有有關(guān)國(guó)際象棋走法的基本知識(shí)就可以開始著手走棋了。
車的走法
車只可向前、后、左、右移動(dòng)，可經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格一次再回到出發(fā)點(diǎn)，而形成一循環(huán)回路。圖1、圖2為符合此條件的兩條路徑。
請(qǐng)問當(dāng)形成循環(huán)回路時(shí)最少的方向改變數(shù)為多少次?
如果車經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格一次而不需再回到原出發(fā)點(diǎn)以形成一非循環(huán)回路，此時(shí)最少的方向改變數(shù)為14。你能發(fā)現(xiàn)此一路徑嗎?
有沒有可能車從棋盤上的一個(gè)角落出發(fā)，經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格一次而在對(duì)角的角落上停下來(lái)呢?
王后的走法
王后的走法是既可對(duì)角移動(dòng)，也可像車一樣前、后、左、右移動(dòng)，所以她的變化較多。圖3顯示王后走法的一個(gè)例子。該路徑為一對(duì)稱形態(tài)，且在一角落上開始而終止于另一角落。圖4所顯示的路徑為一循環(huán)回路，但不對(duì)稱。
想想看，王后有沒有可能形成對(duì)稱的'循環(huán)回路呢?
如果王后可經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格多次，則可能在棋盤上形成一條通過(guò)每一格的循環(huán)回路，且只需13次改變方向。你能發(fā)現(xiàn)此一路徑嗎?
圖5顯示的王后路徑有一個(gè)很誘人的性質(zhì)，也就是如果將王后走過(guò)的每一方格加以連續(xù)編號(hào)，圖中標(biāo)示S的方格為1，則這些數(shù)字將組成一魔術(shù)方塊。有興趣的話可以試試看。
象的走法
象的走法是對(duì)角移動(dòng)，如果他從圖中黑色方格出發(fā)的話，也只能移動(dòng)到另一黑色方格，他沒有辦法在不重復(fù)進(jìn)入一方格的條件下經(jīng)過(guò)圖中所有黑色方格。為什么呢?
圖6的路徑中遺漏了6個(gè)黑方格。你能找出更好的路徑嗎?
如果象可重復(fù)進(jìn)入一方格的話，那就有可能從棋盤上的一個(gè)角落出發(fā)，終止于對(duì)角的方格上。該如何走呢?
解答與分析
走一條一循環(huán)回路至少需改變15次方向，請(qǐng)參見圖1。走一非循環(huán)回路至少需改變14次方向才可完成，參見圖2。
不可能使得車從棋盤上的一個(gè)角落出發(fā)，經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格一次而在對(duì)角的角落上停下。將一車從左上角移到右上角，必須向右及向上各移7格。所以總共移動(dòng)了14格。任一路徑其向左移動(dòng)的格數(shù)必定與向右移動(dòng)的格數(shù)相平衡，而向上移動(dòng)的格數(shù)也必定與向下移動(dòng)的格數(shù)相平衡，因此要移到右上角的方格時(shí)，所走過(guò)的方格數(shù)必須為偶數(shù)，但是完成該項(xiàng)路徑時(shí)，只需移動(dòng)63步。由此可知兩項(xiàng)推論相矛盾，所以不可能產(chǎn)生此條路徑。
如果車從棋盤上的左下角出發(fā)，然后經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格一次，那它可能在哪一個(gè)方塊上停下來(lái)呢?
車所能執(zhí)行的任何路徑，王后也必定能達(dá)到，所以在此我們感興趣的是含有對(duì)角移動(dòng)的路徑。對(duì)稱循環(huán)回路較好的例子為王后的魔術(shù)路徑，圖3為四重轉(zhuǎn)動(dòng)對(duì)稱的循環(huán)回路。
圖4為王后可經(jīng)過(guò)棋盤上的每一格多次，且在棋盤上形成一條通過(guò)每一格的循環(huán)回路，其中只有13次的方向改變。
象的走法
如果象從圖中黑色方塊出發(fā)的話，能走過(guò)所有黑色方塊的路徑，必定以黑色方塊為起點(diǎn)及終點(diǎn)。
假設(shè)此種路徑由圖5中標(biāo)示1的方塊開始，隨后象走到方塊2，此后他只能在方塊3及4之中做一選擇。假設(shè)象走到方塊3，那么整個(gè)路徑必定終止于方塊4，因?yàn)榉綁K4對(duì)外連接的路徑只有一條——經(jīng)過(guò)方塊5，所以進(jìn)入之后就無(wú)法再出來(lái)了。但是本題的要求是終止于對(duì)角的方塊上，因此由上面的推論可知不可能產(chǎn)生這樣一條的路徑。
如果象不可重復(fù)進(jìn)入一方塊的話，那最多可走過(guò)29個(gè)黑色方塊。你再怎么試總是有3個(gè)黑色方塊無(wú)法進(jìn)入。圖6顯示其中的一組解。
在可重復(fù)進(jìn)入一方塊的條件下，走過(guò)所有方塊的最有效路徑中。
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