高一數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)典設(shè)計(jì)
引導(dǎo)語：教學(xué)設(shè)計(jì)，你懂多少呢?下面是百分網(wǎng)小編為大家推薦的高一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)范文，希望可以幫到大家。
高一數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)
課題：函數(shù)的值域與最大(小)值
一、基礎(chǔ)知識(shí)：(1)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性及互為反函數(shù)的關(guān)系。
(2)由于圖象法是認(rèn)識(shí)函數(shù)性質(zhì)的重要方法，也是記憶和掌
握函數(shù)性質(zhì)的有效工具。掌握下表內(nèi)容，有助于提高研究函數(shù)的
能力，特別是有助于數(shù)形結(jié)合思想與方法融會(huì)貫通。
二、目的要求：
(1)使學(xué)生熟練掌握二次函數(shù)的值域及最大值或最小值的求法。
(2)使學(xué)生掌握利用配方法、反函數(shù)法、判別式法、化歸法、
換元法、單調(diào)性法及數(shù)形結(jié)合法求簡單函數(shù)的值域。
(3)要求學(xué)生學(xué)會(huì)利用求函數(shù)值域的方法配合定義域及題中具
體的已知條件求簡單函數(shù)的最大值或最小值。
(4) 使學(xué)生理解函數(shù)的極值與最值是不同的概念。
(5)使學(xué)生了解數(shù)形結(jié)合法(多變量)求函數(shù)的最值。
(6)通過運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和邏輯思維能
力;通過最值解決實(shí)際問題，使學(xué)生認(rèn)識(shí)函數(shù)的最值廣泛應(yīng)用于客
觀實(shí)際，例如要使材料最省，工效最高，成本最低等等，增強(qiáng)學(xué)生
對(duì)“效率”與“節(jié)儉”的意識(shí);培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實(shí)際問題的能力
及實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。
三、 重點(diǎn)難點(diǎn)：
1. 教學(xué)重點(diǎn)
(1)在求函數(shù)的值域與最值時(shí)，大量的實(shí)際問題中的變量關(guān)系
多是采用二次函數(shù)表示之，使問題得以解決;如是復(fù)雜函數(shù)多是經(jīng)
過換元成二次函數(shù)，轉(zhuǎn)復(fù)雜為簡單來解決問題的。因此使學(xué)生熟練、
牢固掌握二次函數(shù)的定義、性質(zhì)是本節(jié)的重點(diǎn)。
(2)《教學(xué)論》中指出了教科書中現(xiàn)有理論知識(shí)，要有應(yīng)用的
技能、技巧教材的內(nèi)容、要有反映生活、建設(shè)上的實(shí)際材料。這一
準(zhǔn)則對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)尤其重要。對(duì)于學(xué)習(xí)的學(xué)生，在教學(xué)中必須結(jié)合實(shí)
際的、具體的教材，才能通過理解抽象的理論;才能通過學(xué)習(xí)獲得
應(yīng)用技能、技巧并能熟悉抽象的理論的用途和用法;特別是才能達(dá)
到思想性準(zhǔn)則的要求。
函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的基本概念之一。而函數(shù)最值問題，
它在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中有廣泛的應(yīng)用。例如，在制定生產(chǎn)計(jì)劃的時(shí)侯，
要考慮怎樣合理安排勞動(dòng)力，才能使勞動(dòng)生產(chǎn)率最高;在調(diào)運(yùn)物資
的時(shí)候，要考慮怎樣制定一個(gè)合理的方案，才能使運(yùn)輸?shù)馁M(fèi)用最省;
成品的設(shè)計(jì)要考慮到怎樣才能使所用的材料最省等。也就是說函數(shù)
最值問題是中學(xué)數(shù)學(xué)中最體現(xiàn)理論與實(shí)踐相結(jié)合的教材之一。所以，
利用二次函數(shù)性質(zhì)、反函數(shù)法、判別式法、單調(diào)性法求函數(shù)的值域
及最值是重點(diǎn)。
2.教學(xué)難點(diǎn)
(1)能充分地利用已知條件及題設(shè)中的隱條件(定義域及其
變化等)來解題，為本節(jié)的難點(diǎn)。
(2)函數(shù)最值求法甚多，各種方法都必須具備熟練的函數(shù)性質(zhì)
及其它有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)，有時(shí)還須應(yīng)用特殊方法才能使問題得以解
決。因而很容易造成學(xué)生在解題中解法不當(dāng)或束手無策。所以求函
數(shù)最值為主要難點(diǎn)。
三.解難指導(dǎo)：
為了解決難點(diǎn)，提高教學(xué)效果。教學(xué)過程中力爭做到以下幾點(diǎn)：
(1)著重注意從實(shí)際出發(fā)，從感性認(rèn)識(shí)提高到理性認(rèn)識(shí)。
(2)注重運(yùn)用對(duì)比的方法，反復(fù)比較幾個(gè)解法相近或有從屬關(guān)
系的方法的異同。
(3)堅(jiān)持結(jié)合直觀圖形或函數(shù)圖象來說明、解題的思路及結(jié)果。
(4)特別注意從已有知識(shí)出發(fā)，講清推理層次，啟發(fā)學(xué)生探索
解題的途徑，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。
四.教學(xué)用具：三角板與圓規(guī)。
五.教學(xué)過程：
開始
教師提問
六.教案：
(一)復(fù)習(xí)舊知識(shí)
1.提問：(1)二次函數(shù)圖象有哪些性質(zhì)?
(2)求函數(shù)值域有哪些方法?
2.回顧：
例1 求函數(shù)y=x–√1–2x的值域。
(換元法)令√1–2x =t (t≥0)，
222則 [√1–2x ] =t， ∴ x=(1-t)/2，
22∴ y=f(t)=(1-t)/2-t=-1/2(t+1)+1。
∵ t≥0， 如左圖所示
函數(shù)y=f(t)在[0，+∞)上單調(diào)遞減，
∴ 在[0，+∞)上，t=0時(shí)，函數(shù)y有最大值，
2又 f(0)=-1/2×(0+1)+1=1/2
∴ 函數(shù)值域?yàn)?y≤1/2 。
3.小結(jié)：
(二)引入新課：
1.在解題中遇到求復(fù)合函數(shù)(或復(fù)雜函數(shù))的值域時(shí)，我們
可用換元法使之化為簡單、熟悉的函數(shù)后再求之。一般地說，多
是化為二次函數(shù)。
復(fù)合函數(shù)的`值域：
可先由函數(shù)y=f[η(x)]的定義域H求出內(nèi)函數(shù)t=η(x)的值
域C，再由t∈C和外函數(shù)y=f(t)的解析式可求出函數(shù)y=f(t)的
值域D，即為求復(fù)合函數(shù)的值域。
2 例2 求函數(shù)y=lg(x+4)值域。
2 [分析] 本題可看出函數(shù)y=lg(x+4)是由函數(shù)y=lgt和函數(shù)
22 t= x+4復(fù)合而成的。首先，由函數(shù)y=lg(x+4)定義域和函數(shù)
2 t= x+4的值域求出它們的交集確定為t的取值范圍;再由t的
取值范圍和函數(shù)y=lgt的單調(diào)性即可。
[注意] 考慮函數(shù)y=lgt
2 解：要使式子lg(x+4)有意義，2 必須 x+4>0
∵ 當(dāng)x為任意實(shí)數(shù)時(shí)
22 x≥0; x+4>2 ∴ 函數(shù)y=lg(x+4)的
定義域?yàn)?x∈R，
2 ∵ 二次函數(shù)t= x+4的圖象 為(0，4) (如右圖)
2 ∴ 函數(shù)t= x+4的值域?yàn)?t≥4，
2 ∵ 函數(shù)y=lg(x+4)的定義域?yàn)?x∈R，
∴ t的取值范圍為 t≥4，
又 在[4，+∞)上函數(shù)y=lgt是單調(diào)遞增，
∴ y≥lg4 (應(yīng)說明理由)
2 即 函數(shù)y=lg(x+4)的值域是 {y∣y≥lg4}。
注： 應(yīng)使學(xué)生理解利用換元法變換的原理，并熟悉基本函數(shù)(二次
函數(shù)為主)的圖象，才能借助它們?nèi)パ芯磕承⿵?fù)雜函數(shù)的有關(guān)問題;
才能得心應(yīng)手地解決復(fù)雜函數(shù)的有關(guān)問題。
在上題解題過程中出現(xiàn)過這樣的一個(gè)命題(因果關(guān)系)：
又 在[4，+∞)上函數(shù)y=lgt
∴ y≥lg4
此命題成立的理由(已講)中內(nèi)含著一個(gè)新內(nèi)容，它就是函數(shù)的最大
值和最小值
2.函數(shù)的的最大值和最小值，簡稱為最值。
(1)函數(shù)的極值與最值是不同的概念。函數(shù)的極值是局部概念。
對(duì)于函數(shù)定義域而言，極大值或極小值都可能不止一個(gè)。而最大值或
最小值是整體概念，在整個(gè)定義域內(nèi)，最大值或最小值都至多有一個(gè)。
有的函數(shù)存在極值卻不存在最值。
(2)函數(shù)的最值廣泛應(yīng)用于客觀實(shí)際，例如要使材料最省，工效最
高，成本最低等等。所以它是中學(xué)數(shù)學(xué)中，最理論結(jié)合實(shí)際教材之一。
故要求學(xué)生學(xué)會(huì)利用求函數(shù)值域的方法配合定義域及題中具體的已知
條件求簡單函數(shù)的最大值或最小值。以培養(yǎng)學(xué)生解決有關(guān)實(shí)際問題的
能力及實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。
例3 AB是半徑為R的半圓的直徑，ABCD是半圓的內(nèi)接梯形。試
問其中周長最大的梯形是怎樣的?
[分析] 本題首要問題是利用已知條件，先建立周長S與某一變
量x(定義域的確定)之間的關(guān)系式;再由其函數(shù)的性質(zhì)以求解決問題。
由于圓內(nèi)接梯形必是等腰梯形，因?yàn)锳B是直徑，只要連DB就可
得Rt△ABD;再作高線DE，即可由射影定理(或相似三角形)求得腰
AD與AE的關(guān)系，便可假設(shè)兩變量之一為x，最后利用等腰梯形的性質(zhì)
不難得到用x和半徑R來表示周長S的函數(shù)式。
解： 連BD，作DE⊥АБ交АБ于E
∵ АБ是直徑， ∴ ∠АDB=Rt∠
在Rt△ABD中， ∵ DE⊥АБ
22 由射影定理可得： AD=AE·AB， 即AE=AD∕AB，
∵ ABCD是圓內(nèi)接梯形，
∴ ABCD是等腰梯形
設(shè)： 梯形腰AD=BC=x，(0
2 則： AE=x∕2R，
由等腰梯形性質(zhì)易得：
2 DC=2(R-AE)=2(R-x∕2R)，
22 ∴ 梯形周長S=2R+2x+2(R-x∕2R)=-1/R·x+2x+4R
2 =-1/R·(x-R)+5R (0
∵ -1/R<0， 圖象開口向下，
∴ 在定義域內(nèi)取x=R時(shí)，S有最大值，
2 ∴ AD=BC=R DC=2(R-x∕2R)=R
答：周長最大的梯形是下底等于直徑，腰長與上底均等于半徑的半圓內(nèi)接梯形。
3.學(xué)生練習(xí) (練習(xí)題：第四大題)
某生產(chǎn)隊(duì)要辦一個(gè)養(yǎng)雞場，準(zhǔn)備用籬笆圍成一個(gè)矩形的場地。現(xiàn)
在有可以圍60米長籬笆的材料，場地的長和寬應(yīng)當(dāng)各是多少米，才
能使場地的面積為最大?
[簡解] 設(shè)：場地的長為x米， 則：場地的寬為(30-x)米。
22 ∴場地的面積S=x(30-x)=-x+30x=-(x-15)+225
∵ a=-1<0， ∴拋物線開口向下
∴ 當(dāng)x=15時(shí)，S有最大值，S最大值=225。
且這時(shí)，場地的寬=(30-15)=15。
答：場地應(yīng)當(dāng)是邊長等于15米的正方形，才能使場地的面積為最大。
4.備用例題(以時(shí)間而定)
2 例4. 當(dāng)1≤x≤1000時(shí)，求 y=(lgx)-2lgx+3的最大值與最小值。
[分析] 本題明顯可看出，函數(shù)y可視為以lgx為變量的二次函
數(shù)形式，只要通過換元，再利用二次函數(shù)性質(zhì)可求得。但是，在解題
的過程中必須考慮到對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及新函數(shù)的值域和定義域的變
化，這也是此類題型的要點(diǎn)與難點(diǎn)。
解：設(shè)t=lgx 則 y=t-2t+3=(t-1)+2，
∵ t=lgx在[1，1000] 且 lg1=0; lg1000=3
∴ 0≤t≤ 如右圖所示，在區(qū)間0≤t≤3上， 圖象中A點(diǎn)最高，B點(diǎn)最低。
2 ∵ 當(dāng)t=3時(shí)，y=(3-1)+2=6
當(dāng)t=1時(shí)，y=2
∴ 當(dāng)t=3時(shí)，y最大值為6;當(dāng)t=1時(shí)，y最小值為2。 又 當(dāng)t=3時(shí)，lgx=3 ∴ x=1000
當(dāng)t=1時(shí)，lgx=1 ∴ x=10
即當(dāng)x=1000時(shí)，y最大值=6; 當(dāng)x=10時(shí)，y最小值=2。
5.課堂小結(jié)
本節(jié)課主要介紹了，求函數(shù)的值域與最值的各種方法，講述
了最值與極值的不同概念及求復(fù)合函數(shù)值域的祥細(xì)的步驟。教學(xué)
宗旨希望學(xué)生通過學(xué)習(xí)，能熟練掌握及綜合運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)，
進(jìn)一步掌握函數(shù)的值域與最值的求法。以培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐第一等觀點(diǎn)。
6.布置作業(yè)：練習(xí)題 五(1)(2)(3)(4)六(1)(2)
22
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