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數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計（精選5篇）
作為一名教職工，可能需要進行教學(xué)設(shè)計編寫工作，教學(xué)設(shè)計是一個系統(tǒng)化規(guī)劃教學(xué)系統(tǒng)的過程。那要怎么寫好教學(xué)設(shè)計呢？以下是小編幫大家整理的數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計（精選5篇），歡迎閱讀，希望大家能夠喜歡。
數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計1
一、教材分析
數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)證明方法，在高中數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要的地位，其中體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想方法對學(xué)生進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想至關(guān)重要。本課是數(shù)學(xué)歸納法的第一節(jié)課，前面學(xué)生對等差數(shù)列、數(shù)列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，初步掌握了由有限多個特殊事例得出一般結(jié)論的推理方法，即不完全歸納法，這是研究數(shù)學(xué)問題，猜想或發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律的重要手段。但是，由有限多個特殊事例得出的結(jié)論不一定正確，這種推理方法不能作為一種論證方法。因此，在不完全歸納法的基礎(chǔ)上，必須進一步學(xué)習(xí)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)的論證方法——數(shù)學(xué)歸納法，這是促進學(xué)生從有限思維發(fā)展到無限思維的一個重要環(huán)節(jié)，同時本節(jié)內(nèi)容又是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的推理能力、訓(xùn)練學(xué)生的抽象思維能力、體驗數(shù)學(xué)內(nèi)在美的好素材。
二、教學(xué)目標(biāo)
學(xué)生通過數(shù)列等相關(guān)知識的學(xué)習(xí)，已經(jīng)基本掌握了不完全歸納法，已經(jīng)由一定的觀察、歸納、猜想能力。
根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點和教學(xué)大綱，結(jié)合學(xué)生實際而制定以下教學(xué)目標(biāo)：
1．知識目標(biāo)
�。�1）了解由有限多個特殊事例得出的一般結(jié)論不一定正確。
�。�2）初步理解數(shù)學(xué)歸納法原理。
（3）能以遞推思想為指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題的兩個步驟一個結(jié)論。
�。�4）會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)相關(guān)的簡單的恒等式。
2．能力目標(biāo)
�。�1）通過對數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步掌握觀察、歸納、猜想、分析能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。
�。�2）在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力。
3．情感目標(biāo)
（1）通過對數(shù)學(xué)歸納法原理的探究，親歷知識的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所蘊含的數(shù)學(xué)思想和辨正唯物主義觀點。
�。�2）體驗探索中挫折的艱辛和成功的.快樂，感悟數(shù)學(xué)的內(nèi)在美，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情，使學(xué)生喜歡數(shù)學(xué)。
（3）學(xué)生通過置疑與探究，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神。
三、教學(xué)重點與難點
1．教學(xué)重點
借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)有關(guān)的簡單恒等式，特別要注意遞推步驟中歸納假設(shè)的運用和恒等變換的運用。
2．教學(xué)難點
（1）如何理解數(shù)學(xué)歸納法證題的嚴(yán)密性和有效性。
�。�2）遞推步驟中如何利用歸納假設(shè)，即如何利用假設(shè)證明當(dāng)時結(jié)論正確。
四、教學(xué)方法
本節(jié)課采用交往性教學(xué)方法，以學(xué)生及其發(fā)展為本，一切從學(xué)生出發(fā)。在教師組織啟發(fā)下，通過創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)習(xí)欲望。師生之間、學(xué)生之間共同探究多米諾骨牌倒下的原理，并類比多米諾骨牌倒下的原理，探究數(shù)學(xué)歸納法的原理、步驟；培養(yǎng)學(xué)生歸納、類比推理的能力，進而應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，證明一些與正整數(shù)n有關(guān)的簡單數(shù)學(xué)命題；提高學(xué)生的應(yīng)用能力，分析問題、解決問題的能力。既重視教師的組織引導(dǎo)，又強調(diào)學(xué)生的主體性、主動性、交流性和合作性。
五、教學(xué)過程
�。ㄒ唬﹦�(chuàng)設(shè)情境，提出問題
情境一：根據(jù)觀察某學(xué)校第一個到校的女同學(xué)，第二個到校的也是女同學(xué)，第三個到校的還是女同學(xué)，于是得出：這所學(xué)校的學(xué)生全部是女同學(xué)。
情境二：平面內(nèi)三角形內(nèi)角和是，四邊形內(nèi)角和是，五邊形內(nèi)角和是，于是得出：凸邊形內(nèi)角和是。
情境三：數(shù)列的通項公式為，可以求得，，，，于是猜想出數(shù)列的通項公式為。
結(jié)論：運用有限多個特殊事例得出的一般性結(jié)論，即不完全歸納法不一定正確。因此它不
能作為一種論證的方法。
提出問題：如何尋找一個科學(xué)有效的方法證明結(jié)論的正確性呢？我們本節(jié)課所要學(xué)習(xí)的數(shù)
學(xué)歸納法就是解決這一問題的方法之一。
�。ǘ⿲嶒炑菔�，探索解決問題的方法
1．幾何畫板演示動畫多米諾骨牌游戲，師生共同探討：要讓這些骨牌全部倒下，必
須具備那些條件呢？（學(xué)生可以討論，加以教師點撥）
�、俚谝粔K骨牌必須倒下。
�、趦蓧K連續(xù)的骨牌，當(dāng)前一塊倒下，后面一塊必須倒下。
（啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)符號語言：當(dāng)?shù)趬K倒下，則第塊必須倒下）
教師總結(jié)：數(shù)學(xué)歸納法的原理就如同多米諾骨牌一樣。
2．學(xué)生類比多米諾骨牌原理，探究出證明有關(guān)正整數(shù)命題的方法，從而導(dǎo)出本課的重心：數(shù)學(xué)歸納法的原理及其證明的兩個步驟。（給學(xué)生思考的時間，教師提問，學(xué)生回答，教師補充完善，對學(xué)生的回答給予肯定和鼓勵）
數(shù)學(xué)歸納法公理：（板書）
�。�1）（遞推基礎(chǔ)）當(dāng)取第一個值（例如等）結(jié)論正確；
�。�2）（遞推歸納）假設(shè)當(dāng)時結(jié)論正確；（歸納假設(shè)）
證明當(dāng)時結(jié)論也正確。（歸納證明）
那么，命題對于從開始的所有正整數(shù)都成立。
教師總結(jié)：步驟（1）是數(shù)學(xué)歸納法的基礎(chǔ)，步驟（2）建立了遞推過程，兩者缺一不
可，這就是數(shù)學(xué)歸納法。
�。ㄈ┻w移應(yīng)用，理解升華
例1：用數(shù)學(xué)歸納法證明：等差數(shù)列中，為首項，為公差，則通項公式為.①
選題意圖：讓學(xué)生注意：①數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與正整數(shù)有關(guān)的問題；
�、趦蓚�步驟，一個結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不成立；
�、墼谧C明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，必須進行恒等變換。
此時學(xué)生心中已有一個初步的證明模式，教師應(yīng)該規(guī)范板書，給學(xué)生提供一個示范。
證明：（1）當(dāng)時，等式左邊，等式右邊，等式①成立.
�。�2）假設(shè)當(dāng)時等式①成立，即有
那么，當(dāng)時，有所以當(dāng)時等式①也成立。
根據(jù)（1）和（2），可知對任何，等式①都成立。
例2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時
選題意圖：通過師生共同活動，使學(xué)生進一步熟悉數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟和一個結(jié)論。
例3：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時
選題意圖：①進一步讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的嚴(yán)密性和合理性，從而從感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識；
�、谡莆諒牡綍r等式左邊的變化情況，合理的進行添項、拆項、合并項等。
�。ㄋ模┓答伨毩�(xí)，鞏固提高
課堂練習(xí)：用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時
�。ň毩�(xí)讓學(xué)生獨立完成，上黑板板演，要求書寫工整，步驟完整，表述清楚，如果發(fā)現(xiàn)學(xué)
生證明過程中的錯誤，教師及時糾正、剖析，同時對學(xué)生板演好的方面予以肯定和鼓勵。）
教師總結(jié)：利用數(shù)學(xué)歸納法證明和正整數(shù)相關(guān)的命題時，要注意以下三句話：遞推基礎(chǔ)不
可少，歸納假設(shè)要用到，結(jié)論寫明莫忘掉。
�。ㄎ澹┓此伎偨Y(jié)
學(xué)生思考后，教師提問，讓同學(xué)相互補充完善，教師最后總結(jié)，這一環(huán)節(jié)可以培養(yǎng)學(xué)
生抽象、歸納、概括、總結(jié)的能力，同時教師也可以及時了解學(xué)生的掌握情況，以便彌補和及時調(diào)整下節(jié)課的教學(xué)方向。
小結(jié)：（1）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分完全歸納法和不完全歸納法兩種，
而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進行嚴(yán)格證明；
（2）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，用于證明一些與正整數(shù)n有關(guān)數(shù)學(xué)命題，它的基本思想是遞推思想，它的證明過程必須是兩步，最后還有結(jié)論，缺一不可；
�。�3）遞推歸納時從到，必須用到歸納假設(shè)，并進行適當(dāng)?shù)暮愕茸儞Q。
�。┳鳂I(yè)布置
選修2－2習(xí)題2.3第1題第2題
數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計2
一、關(guān)于教學(xué)目標(biāo)設(shè)計：
根據(jù)本節(jié)內(nèi)容的作用、地位以及學(xué)生的具體情況，我把這節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)分為以下三個子目標(biāo)：
知識目標(biāo)： 理解數(shù)學(xué)歸納法的原理和本質(zhì)；掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟；會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的恒等式。
能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、論證能力，進一步發(fā)展學(xué)生的抽象思維能力和創(chuàng)新能力。
情感目標(biāo)：創(chuàng)設(shè)一種愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣和課堂效率，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能。
在情感目標(biāo)的設(shè)計上我頗費一番心思。因為情感目標(biāo)是無法定量評價的，對情感目標(biāo)的考察是一個綜合多方面情況的長期的過程。究竟一堂課是否達(dá)到了它應(yīng)給予的情感體驗，別說評價者，就是作為教學(xué)對象的學(xué)生本身，也不會像學(xué)會公式、定理的應(yīng)用那樣，明確自己所得。所以，情感目標(biāo)就很容易變成一種擺設(shè)，甚至只是教案上的一種點綴，在教學(xué)過程中被置于從屬或可有可無的地位。然而，當(dāng)前我國的教改的實踐主要是素質(zhì)教育，究其本質(zhì)是對完整健全人格的追求與培養(yǎng)，即強調(diào)教育的人文精神，凸現(xiàn)教育主體的人格特征。我們的教學(xué)對象不僅是一個被動的認(rèn)知體，更重要、更本質(zhì)的是活生生的生命體。因此我們在課堂教學(xué)中必須確立這種人文觀，明確情感目標(biāo)確立的重要性，由傳授知識向情感培養(yǎng)延伸。
數(shù)學(xué)歸納法的知識內(nèi)容有其獨特性，我通過講小故事、學(xué)生動手?jǐn)[多米諾骨牌游戲、做評判者為別人糾錯等手段創(chuàng)設(shè)一種愉悅情境，使學(xué)生處于積極思考、大膽質(zhì)疑氛圍，力爭做到提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)潛能。
二、關(guān)于學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析及教學(xué)重、難點的設(shè)計
學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，已經(jīng)學(xué)習(xí)了用歸納法推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式，但其正確性還有待用數(shù)學(xué)歸納法加以證明，因此數(shù)學(xué)歸納法學(xué)習(xí)是數(shù)列知識的深入與擴展。它既是高中代數(shù)中的一個重點和難點內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)列求通項時，也已經(jīng)具備一定的歸納、猜測能力，多數(shù)同學(xué)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)有相當(dāng)?shù)呐d趣和積極性。但在探究問題的能力、合作交流的意識等方面發(fā)展不夠均衡，尚有侍加強。為了避免機械套用數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟，造成學(xué)生思維的墮性及僵化，因而我把分析數(shù)學(xué)歸納法的原理和實質(zhì)作為本節(jié)課的重點，考慮學(xué)生對第二步中的遞推思想感到困難，因此把正確理解第二步中的遞推思想作為難點。
三、教學(xué)過程反思：
1) 課開始，情趣生；
數(shù)學(xué)歸納法是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重點和難點之一，新課引入之前，為讓學(xué)生懂得不完全歸納法的不完備性，明確學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法的重要性及喚起學(xué)習(xí)的熱情，我先講了一則民間小故事：地主兒子識字。大意是：地主花重金請了一名先生教兒子識字，第一天學(xué)了“一”，第二
天學(xué)了“二”，之后，地主兒子想：“一”是一橫，“二”是二橫，那“三”肯定是三橫，第三天果不其然是三橫，于是地主兒子對地主說：不必學(xué)了，很簡單，已經(jīng)全會了。地主大喜，為吹噓兒子聰明，大擺宴席。席間，一鄉(xiāng)紳想討好地主，就說讓地主兒子給他寫個名帖，沒想到這讓地主兒子出盡了洋相，因為那位鄉(xiāng)紳的名字叫“萬百千”。講到這里學(xué)生大笑，笑聲中明確了，不完全歸納法是不可靠的，同時激起對“數(shù)學(xué)歸納法”的廬山真面目的好奇，渴望一探究竟。教師通過故事渲染氣氛，激發(fā)學(xué)生的求知欲望，消除潛在的心理負(fù)擔(dān)，使教與學(xué)有良好的匹配。
2) 課進行，情趣濃；
新課是從讓學(xué)生玩多米諾骨牌游戲開始的。我準(zhǔn)備了一些軍棋子，讓學(xué)生動手?jǐn)[放，并完成游戲。然后提出問題：多米諾骨牌游戲成功對骨牌的擺放與操作有什么要求？學(xué)生思考討論，得出多米諾骨牌游戲成功依賴兩個條件
第一步：第一張牌被推倒，
第二步：假若前一張牌被推倒，則后一張牌被推倒。
其中第二步用到的就是遞推關(guān)系，如此通過動手、動腦，及動畫演示等形象展示遞推關(guān)系，為教學(xué)難點突破提供直觀的的參照物，作感性上的突變，從而分解數(shù)學(xué)歸納法的一個難點。然后適時給出數(shù)學(xué)歸納法的定義及步驟。由于學(xué)生始終走在一條充滿輕松、愉悅的學(xué)習(xí)道路上，歸納原理很容易被學(xué)生所接受。
例題的證明過程中，在第二題等差數(shù)列的通項公式的證明中，學(xué)生在證n=k+1命題成立這步時出現(xiàn)利用結(jié)論證結(jié)論，不用歸納假設(shè)的問題。這也是數(shù)學(xué)歸納法中最常見的問題。于是，我再一次結(jié)合多米諾骨牌游戲，明確第k+1張骨牌是要被第k張骨牌推倒，才是符合游戲規(guī)則的。因而在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明中，一定做到讓歸納假設(shè)“粉墨登場”，有它的參與證得的n=k+1時的成立才建立了遞推關(guān)系即邏輯推理鏈，實現(xiàn)了在驗證命題n=n0正確的基礎(chǔ)上, 利用命題本身具有傳遞性，運用“有限”的手段來解決“無限”的問題。
緊接著，我設(shè)計了兩個糾錯的題，
a) 小明認(rèn)為下面的一個結(jié)論是正確的,且給出了證明,你認(rèn)為這里有無錯誤呢?
1+3+5+……+(2n-1)=n2 +1 （n∈N ）
證明:假設(shè)n=k(k∈N ,k≥1)時等式成立,即：
1+3+5+……+(2k-1)=k2 +1，
當(dāng)n=k+1時由假設(shè)得：
1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1)= k2+1+2k+1=(k+1)2 +1，
所以當(dāng)n=k+1時等式也成立。可知，對n∈N ，原等式都成立。
b) 用數(shù)學(xué)歸納法證明 :
1+3+5+……+(2n-1)=n2 （n∈N ）.
下面是小強同學(xué)的證法, 你認(rèn)為他做得對嗎? 請說明理由.
證明：①當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。
�、诩僭O(shè)n=k(k∈N ,k≥1)時等式成立,即：
1+3+5+……+(2k-1)=k2，
當(dāng)n=k+1時由等差數(shù)列前項和公式得：
1+3+5+……+(2k-1)+(2k+1) = =(k+1)2，
所以當(dāng)n=k+1時等式也成立。
由①和②可知，對n∈N ，原等式都成立。
這樣安排的目的是讓學(xué)生進一步領(lǐng)會數(shù)學(xué)歸納法的原理和實質(zhì)
3）課結(jié)束，情趣存
這節(jié)課的小結(jié)是以“提出問題”的方式進行的，我設(shè)計以下問題并和學(xué)生共同討論回答。 I. 數(shù)學(xué)歸納法是怎樣運作的？
�。ㄔ隍炞C命題n=n0正確的基礎(chǔ)上,證明命題據(jù)有傳遞性,形成了邏輯推理鏈，以一次邏輯的推理代替了無限的驗證過程.）
II. 數(shù)學(xué)歸納法適用于證明什么樣的的命題? （數(shù)學(xué)歸納法適用于證明：和正整數(shù)有關(guān)的.命題。）
III. 數(shù)學(xué)歸納法基本思想是什么？
�。ㄔ诳煽康幕A(chǔ)上利用命題本身具有傳遞性,運用“有限”的手段來解決“無限”的問題。） IV. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題所依據(jù)的自然數(shù)的性質(zhì)是什么？
�。ㄗ匀粩�(shù)集的任一非空子集都有最小數(shù)。）
V. 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時要注意什么？
�。ㄟf推基礎(chǔ)要打牢, 遞推依據(jù)不能少, 歸納假設(shè)要用到。）
由于這些問題都是關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法實質(zhì)及原理的內(nèi)容，對初次接觸數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)生來說，回答起來比較困難。為此我在課件的處理上運用了漫畫的手法，設(shè)計這樣一個場景：將這些問題由一名兒童提出來的，旁邊坐著他的老師，他在向老師求教。這樣，就把我的學(xué)生置身于旁觀者的角度，減輕了因接受提問所帶來的壓力。而畫面上又是一個小孩子在向長者求教，這使得學(xué)生潛意識里增強一種自信，認(rèn)為小孩子的問題終歸會知道一二的。于是熱情并渴望表現(xiàn)的學(xué)生們便積極展示觀點、暢所欲言。
我這樣做的目的是希望了解學(xué)生經(jīng)過這堂課的學(xué)習(xí)，對數(shù)學(xué)歸納法原理和實質(zhì)究竟有怎樣的認(rèn)識，哪些是正確的，哪些是錯誤的，還有哪些是需要接下來課程中補足的。對錯誤的認(rèn)識，我會立即幫助糾正。而對正確的，即便現(xiàn)在還很朦朧我也并不急于點破主題，讓學(xué)生在接下來的“數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用”的課上再加深認(rèn)識，進行自我完善。我相信：已經(jīng)除去雜草的莊稼，必定會茁壯成長的。
然而，從這堂課的實踐結(jié)果上看，這個環(huán)節(jié)并不是想象中這樣理想，原因有兩方面，一個使我有些急，怕時間不夠而沒有放開讓學(xué)生發(fā)表意見，越俎代庖。另外一個就是學(xué)生也拘泥于是一堂錄像課，吃不準(zhǔn)的觀點便不像平時那樣毫無顧忌的說出來。這也是促使我著急的一個原因。沒想到，最后還剩余了一點時間，只好做做練習(xí)。總之，在這點上我還需要再進一步研究并改善。
數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計3
一、引入新課
師：四邊形、五邊形、六邊形分別有多少條對角線?你是怎樣考慮的?
[提出問題，讓學(xué)生在解答的過程中發(fā)現(xiàn)規(guī)律.]
生：四邊形、五邊形、六邊形分別有兩條對角線，五條對角線和九條對角線，以六邊形為例，每個頂點可引3條對角線，六個頂點可引18條對角線，但因每條對角線都計算了兩次，所以六邊形實際有9條對角線.
師：n邊形(n≥4)有多少條對角線?為什么?
[由特例到一般問題的提出，符合由特殊到一般，由具體到抽象的認(rèn)識過程.]
生：n邊形有條對角線，因為每個頂點可引n-3條對角線，所以n個頂點可引n(n-3)條，但每條對角線都計算了兩次，故n邊形實際有條對角線.
師：這一公式適合四邊形、五邊形、六邊形嗎?
[由一般再回到特殊，特例的正確性提高了學(xué)生探索問題的積極性，增強了猜想的信心.]
生：適合.
師：觀察等差數(shù)列的前幾項：
a1=a1+0d
a2=a1+1d
a3=a1+2d
a4=a1+3d
你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?試用a1，n和d表示an.
生：an=a1+(n-1)d
師：像這種由一系列特殊事例得到一般結(jié)論的推理方法，叫做歸納法，用歸納法可以幫助我們從特殊事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律，但是，由歸納法得出的一般結(jié)論并不一定可靠.例如，一個數(shù)列的通項公式是an=(n2-5n+5)2請算出a1，a2，a3，a4你能得到什么結(jié)論?
生：由a1=1，a2=1，a3=1，a4=1可知an=1
師：由an=(n2-5n+5)2計算a5.
[由a5=25≠1，否定了學(xué)生的猜想，舉出反例是否定命題正確性的簡單而基本的方法.]
師：由歸納法得到的一般結(jié)論是不一定可靠的.法國數(shù)學(xué)家費爾馬曾由n=0，1，2，3，4得到+1均為質(zhì)數(shù)而推測：n為非負(fù)整數(shù)時，+1都是質(zhì)數(shù)，但這一結(jié)論是錯誤的.因為數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)，n=5時+1是一個合數(shù)：+1=4294967297=641×6700417.
[數(shù)學(xué)史例使學(xué)生興趣盎然，學(xué)習(xí)積極性大為提高，至此，歸納法作為一種發(fā)現(xiàn)規(guī)律的推理方法的數(shù)學(xué)已告結(jié)束.]
師：既然由歸納法得到的結(jié)論不一定可靠，那么，就必須想辦法對所得到的結(jié)論進行證明，對于由歸納法得到的某些與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)，能否通過一一驗證的辦法來加以證明呢?
生：不能.因為這類命題中所涉及的自然數(shù)有無限多個，所以無法一個一個加以驗證.
[新問題引導(dǎo)學(xué)生思考：既然對于P(n0)、P(n0+1)、P(n0+2)……的正確性無法一一驗證，那么如何證明P(n)(n≥n0)的正確性呢?至此，數(shù)學(xué)歸納法的引入水到渠成.]
二、新課
師：我們將采用遞推的辦法解決這個問題.同學(xué)們在電視中可能看到過“多米諾”骨牌的游戲，由于骨牌之間特殊的排列方法，只要推到第一塊骨牌，第二塊就會自己倒下，接著第三塊就會倒下，第四塊也會倒下……如此傳遞下去，所有的骨牌都會倒下，這種傳遞相推的方法，就是遞推.
從一個袋子里第一次摸出的是一個白球，接著，如果我們有這樣的一個保證：“當(dāng)你第一次摸出的`是白球，則下一次摸出的一定也是白球”，能否斷定這個袋子里裝的全是白球?
生：能斷定.
[為數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟提供具體生動的模型，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì).]
師：要研究關(guān)于自然數(shù)的命題P(n)，我們先來看自然數(shù)有什么性質(zhì)，自然數(shù)數(shù)列本身具有遞推性質(zhì)：第一個數(shù)是1，如果知道了一個數(shù)，就可以知道下一個數(shù).有了這兩條，所有自然數(shù)盡管無限多，但我們就可全部知道了.類似地，我們可采用下面的方法來證明有關(guān)連續(xù)自然數(shù)的命題P(n)，先驗證n取第一個值n0時命題正確;再證明如果n=k(k≥n0)時命題正確，則n=k+1時命題正確，只要有了這兩條，就可斷定對從n0開始的所有自然數(shù)，命題正確，這就是數(shù)學(xué)歸納法的基本思想.
[先通俗了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想，對深刻理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì)至關(guān)重要.]
師：用數(shù)學(xué)歸納法證明一個與自然數(shù)有關(guān)的命題P(n)的步驟是：
(1)證明當(dāng)n取第一個值n0(如n0=1或n0=2等)時結(jié)論成立，即驗證P(n0)正確;
(2)假設(shè)n=k(k∈N，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明n=k+1時結(jié)論正確，即由P(k)正確P(k+1)正確由(1)和(2)，就可斷定命題對于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確.
這兩步實質(zhì)上是證明P(n)的正確具有遞推性.(1)是遞推的始點(2)是遞推的依據(jù).
步驟(1)是一次驗證，步驟(2)是以一次邏輯推理代替了無限次驗證過程.步驟(2)用的是演繹推理.
由(1)與(2)可知，遞推的過程是：
上述無窮“鏈條”一環(huán)扣一環(huán)，形象地說明了用數(shù)學(xué)歸納法證明P(n)正確性的過程.
[先明確步驟，然后在運用中加深理解數(shù)學(xué)歸納法的實質(zhì).]
師：用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列通項公式an=a1+(n-1)d對一切n∈N都成立.
(證明由學(xué)生完成，并得出)
師：至此，對等差數(shù)列通項公式的“觀察——猜想——證明”的研究結(jié)束，觀察特例，歸納一般結(jié)論，用數(shù)學(xué)歸納法證明，這是解答有關(guān)連續(xù)自然數(shù)命題的有效途徑.
師：下面，我們來看教材中的例題：證明1+3+5+……+(2n-1)=n2
請同學(xué)們自己完成，然后將自己的證明與教材中的證明對照，如發(fā)現(xiàn)錯誤，找出錯誤的原因.
師：用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+……+(2n-1)=n2如采用下面的證法，對嗎?
數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計4
教學(xué)目標(biāo)
1、了解歸納法的意義，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、發(fā)現(xiàn)的能力。
2、了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能以遞推思想作指導(dǎo)，理解數(shù)學(xué)歸納法的操作步驟。
3、抽象思維和概括能力進一步得到提高。
教學(xué)重點與難點
重點：借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納的基本思想，掌握它的基本步驟，運用它證明一些與正整數(shù)n（n取無限多個值）有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
難點：
�。�1）學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納的思想實質(zhì)，具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用，不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明；
�。�2）運用數(shù)學(xué)歸納法時，在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情景，提示課題。
1、諺語“天下烏鴉一般黑”的由來
2、對于數(shù)列，已知，通過對n=1，2，3，4前4項的歸納，猜想其通項公式為。這個猜想是否正確需要證明。
二、研探新知
了解多米諾骨牌游戲，可得，只要滿足以下兩條件，所有多米諾骨牌就都能倒下：
�。�1）第一塊骨牌倒下；
�。�2）任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下。
思考：你認(rèn)為條件（2）的作用是什么？
可以看出，條件（2）事實上給出了一個遞推關(guān)系：
當(dāng)?shù)趉塊倒下時，相鄰的第k+1塊也倒下。
這樣，要使所有的骨牌全部倒下，只要保證（1）（2）成立。
2、用多米諾骨牌原理解決數(shù)學(xué)問題。
思考：你認(rèn)為證明數(shù)列的通過公式是這個猜想與上述多米諾骨牌游戲有相似性嗎？你能類比多米諾骨牌游戲解決這個問題嗎？
分析：
多米諾骨牌游戲原理
通項公式的'證明方法
�。�1）第一塊骨牌倒下。
�。�1）當(dāng)n=1時，猜想成立
（2）若第k塊倒下時，則相鄰的第k+1塊也倒下。
�。�2）若當(dāng)n=k時猜想成立，即，則當(dāng)n=k+1時猜想也成立，即。
根據(jù)（1）和（2），可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。
根據(jù)（1）和（2），可知對任意的正整數(shù)n，猜想都成立。
3、數(shù)學(xué)歸納法的原理
一般地，證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：
（1）（歸納奠基）證明當(dāng)n取第一個值n0時命題成立；
�。�2）（歸納遞推）假設(shè)n=k（）時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立。
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立。
上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法
注意：
�。�1）這兩步步驟缺一不可，只完成步驟（1）而缺少步驟（2），就作出判斷可能得出不正確的結(jié)論。因為單靠步驟（1），無法遞推上去，即n取n0以后的數(shù)時命題是否正確，我們無法判定。同樣，只有步驟（2）而缺少步驟（1），也可能得出不正確的結(jié)論。缺少步驟（1）這個基礎(chǔ)，假設(shè)就失去了成立的前提，步驟（2）也就沒有意義了。
�。�2）用數(shù)學(xué)歸納法證明命題時，難點和關(guān)鍵都在第二步，而在這一步主要在于合理運用歸納假設(shè)，結(jié)合已知條件和其他數(shù)學(xué)知識，證明“當(dāng)n=k+1時命題成立”，而不是直接代入，否則n=k+1時也成假設(shè)了，命題并沒有得到證明。
�。�3）用數(shù)學(xué)歸納法可證明有關(guān)的正整數(shù)問題，但并不是所有的正整數(shù)問題都用數(shù)學(xué)歸納法證明，學(xué)習(xí)時要具體問題具體分析。
三、例題講解
例1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果{an}是一個等差數(shù)列，則an=a1+（n—1）d對于一切n∈N 都成立。
例2、用數(shù)學(xué)歸納法證明1+3+5+…+（2n—1）=n2
證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=1，右邊=1，等式成立。
�。�2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，就是1+3+5+…+（2k－1）=k2，
那么1+3+5+…+（2k－1）+［2（k+1）－1］=k2+［2（k+1）－1］=k2+2k+1=（k+1）2。
∴n=k+1時也成立、
由（1）和（2），可知等式對任何n∈N 都成立
四、課堂練習(xí)：
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明：1+2+3+…+n=。
2、1+2+22+…+2n—1=2n—1
3、首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的通項公式是：an=a1qn－1。
五、小結(jié)：
�。�1）中心內(nèi)容是歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；（2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結(jié)論不具有可靠性，必須用數(shù)學(xué)歸納法進行嚴(yán)格證明；（3）數(shù)學(xué)歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推（遞歸）思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結(jié)；（4）本節(jié)課所涉及到的數(shù)學(xué)思想方法有：遞推思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想
數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)設(shè)計5
一、 準(zhǔn)備階段
1. 學(xué)習(xí)需要分析
教是為了學(xué)，學(xué)習(xí)需要就是我們的教學(xué)需要。在教學(xué)中的學(xué)習(xí)需要是指學(xué)生學(xué)習(xí)的“目前狀況與所期望達(dá)到的狀況之間的差距”，即學(xué)習(xí)需要是學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀與教學(xué)目標(biāo)(或標(biāo)準(zhǔn))之間的差距。
(1)學(xué)生起點分析:
◆知識準(zhǔn)備狀態(tài):學(xué)生對等差(比)數(shù)列、數(shù)列求和、二項式定理等知識有較全面的把握和較深入的理解，同時也具備一定的從特殊到一般的歸納能力，但對歸納的概念是模糊的。
◆能力儲備狀態(tài):對數(shù)學(xué)語言的抽象性的理解和把握高于低年級的學(xué)生，思維方法向理性層次躍進，并逐步形成了辨證思維體系，但層次參差不齊。
(2)學(xué)生目標(biāo)分析:
◆知識目標(biāo):理解“歸納法”和“數(shù)學(xué)歸納法”的含義和本質(zhì);掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的三個步驟;會用“數(shù)學(xué)歸納法”證明簡單的恒等式。
◆能力目標(biāo):初步掌握歸納與推理的能力;在學(xué)習(xí)中培養(yǎng)大膽猜想，小心求證的辨證思維素質(zhì)以及發(fā)現(xiàn)問題，提出問題的意識和數(shù)學(xué)交流的能力。
◆情感目標(biāo):通過對問題的探究活動，親歷知識的構(gòu)建過程，領(lǐng)悟其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和辨證唯物主義觀點;體驗探索中挫折的艱辛和成功的快樂，感悟“數(shù)學(xué)美”，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，初步形成正確的數(shù)學(xué)觀，創(chuàng)新意識和科學(xué)精神。
2. 分析教材
“數(shù)學(xué)歸納法”既是高中代數(shù)中的一個重點和難點內(nèi)容，也是一種重要的數(shù)學(xué)方法。
本節(jié)課有兩大難點:使學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法證題的有效性;遞推步驟中歸納假設(shè)的利用。
3.教學(xué)環(huán)境描述
本節(jié)課采用多媒體網(wǎng)絡(luò)教學(xué)，通過老師與學(xué)生、學(xué)生與學(xué)生的交流與合作逐步往前推進，使教學(xué)在一種更為平等、民主，合作的環(huán)境下進行，真正體現(xiàn)教學(xué)相長。
4.確定教法
根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實際水平，我采用了引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法和感性體驗法進行教學(xué)。
5、選擇學(xué)法
在學(xué)生明確本堂課的學(xué)習(xí)目標(biāo)的基礎(chǔ)上，伴隨著課堂進程的推進，學(xué)生除了掌握相應(yīng)學(xué)習(xí)內(nèi)容，還要檢查、分析自己的學(xué)習(xí)過程，對如何學(xué)、如何鞏固，進行自我檢查、自我校正、自我評價。
二、 實施階段
1. 設(shè)計問題情境
問題情境一:(意圖:引出不完全歸納法概念)
(1)、大球中有5個小球，如何證明它們都是綠色的'?
答:從大球中取出的5個小球，發(fā)現(xiàn)全是綠色的。
問:若大球中有n(n>5)個小球，能否由前5個小球都是綠色的，就判斷后面的小球都是綠色的。答案顯然是不能成立的。
從而引出不完全歸納法概念:考察部分對象，得到一般結(jié)論的方法，叫不完全歸納法。
問:不完全歸納法得到的結(jié)論正確嗎?(不一定正確)
問題情境二:(意圖:加深學(xué)生對不完全歸納法得到的結(jié)論是不正確的)
數(shù)學(xué)家費馬運用不完全歸納法得出錯誤結(jié)論的事例。
利用數(shù)學(xué)典故來加深學(xué)生對不完全歸納法的缺憾。由此引入本節(jié)課主要內(nèi)容--數(shù)學(xué)歸納法。
問題情境三:在多米諾骨牌中，如何保證眾多的骨牌一塊接一塊地倒下?
與學(xué)生共同分析總結(jié):能夠使游戲一直連續(xù)運行的條件是什么?
(1)第一張骨牌必須能倒下;
(2)假期第k(k≥2)張能倒下時一定能壓倒緊挨著它的第k+1張。
以上第(1)點是能開始游戲的基礎(chǔ);第(2)點游戲能繼續(xù)的條件。
問:如果我們把關(guān)于自然數(shù)n的命題看作多米諾骨牌，產(chǎn)生一種符合運行條件的方法，應(yīng)具有哪幾個步驟?
(1)驗證第一個命題成立;
(2)假設(shè)第k個命題成立時，能推導(dǎo)出緊挨著它的第k+1個命題也成立。
從而導(dǎo)出本節(jié)課的重心:數(shù)學(xué)歸納法概念及其證明的兩個步驟。
2. 深入探索，學(xué)以致用
例1:(意圖:讓學(xué)生注意:①數(shù)學(xué)歸納法是一種完全歸納的證明方法，它適用于與自然數(shù)有關(guān)問題;②兩個步驟、一個結(jié)論缺一不可，否則結(jié)論不成立;③在證明遞推步驟時，必須使用歸納假設(shè)，必須進行恒等變換)
已知數(shù)列{an}，其通項公式為an=2n-1，試猜想該數(shù)列的前n項和公式Sn，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論。
答:1 + 3 + 5 + …… + (2n ? 1) = n2
問:如果同學(xué)們相信前n個奇數(shù)之和，剛好等于n2，(即一個正方形)，那么當(dāng)我們再加上第n+1奇數(shù)時，結(jié)果又會怎樣?
答:仍是一個正方形。(注:第n+1個奇數(shù)應(yīng)該等于2n+1)
3.反饋練習(xí)
設(shè)計方法及意圖:這里我共設(shè)計了三組練習(xí)題，分為選擇題、填空題和解答題，難度由淺入深，要求學(xué)生根據(jù)個人需要及個人水平自主選題，且配套提供了詳細(xì)的解答，充分體現(xiàn)了網(wǎng)絡(luò)教學(xué)的優(yōu)越性。
這樣的設(shè)計，體現(xiàn)了分層教學(xué)的思想，達(dá)到因材施教的目的。基礎(chǔ)題的設(shè)計，目的在于通過練習(xí)反饋學(xué)生對于數(shù)學(xué)歸納法步驟的掌握情況，進一步解決存在的問題。提高題部分，既要求掌握數(shù)學(xué)歸納法的基本步驟，又要求初步具備猜想的能力。
4.小結(jié)
三、反思總結(jié)階段
1. 豐富情境，指導(dǎo)學(xué)生自行發(fā)現(xiàn)、主動建構(gòu)知識
2. 幾個轉(zhuǎn)化
(一)、從注重知識傳授轉(zhuǎn)向注重學(xué)生的全面發(fā)展
(二)、從“以教師為中心”轉(zhuǎn)向“以學(xué)生為中心”
(三)、從注重教學(xué)的結(jié)果轉(zhuǎn)向注重教學(xué)的過程
(四)、從統(tǒng)一規(guī)格的教學(xué)模式轉(zhuǎn)向個性化教學(xué)模式
(五)、從操練式學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)向有效學(xué)習(xí)
3. 不足之處
在具體的實施過程，依舊碰到了許多困難，如:
(一)、學(xué)生的個體差異該怎樣得到更及時的，更全面的關(guān)注?
(二)、教學(xué)的個體化該如何得以加強?
(三)、弱勢學(xué)生群體的獨立性、自主性的培養(yǎng)和發(fā)展，需要什么樣的教育環(huán)境?
(四)、如何才能實現(xiàn)“不同的人學(xué)習(xí)不同的數(shù)學(xué)”的課程目標(biāo)?
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