七年級數(shù)學(xué)第一章知識點講解
有理數(shù)(rational number)
讀音:(yǒu lǐ shù)
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，任何一個有理數(shù)都可以寫成分?jǐn)?shù)m/n(m，n都是整數(shù)，且n≠0)的形式。
無限不循環(huán)小數(shù)和開根開不盡的數(shù)叫無理數(shù) ,比如π，3.1415926535897932384626......
而有理數(shù)恰恰與它相反,整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)
包括整數(shù)和通常所說的分?jǐn)?shù)，此分?jǐn)?shù)亦可表示為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)。
這一定義在數(shù)的十進制和其他進位制(如二進制)下都適用。
數(shù)學(xué)上，有理數(shù)是一個整數(shù) a 和一個非零整數(shù) b 的比(ratio)，通常寫作 a/b，故又稱作分?jǐn)?shù)。希臘文稱為 λογο? ，原意為“成比例的數(shù)”(rational number)，但中文翻譯不恰當(dāng)，逐漸變成“有道理的數(shù)”。不是有理數(shù)的實數(shù)遂稱為無理數(shù)。
所有有理數(shù)的集合表示為 Q，有理數(shù)的小數(shù)部分有限或為循環(huán)。
有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)
整數(shù)又分為正整數(shù)、負整數(shù)和0
分?jǐn)?shù)又分為正分?jǐn)?shù)、負分?jǐn)?shù)
正整數(shù)和0又被稱為自然數(shù)
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理數(shù)。
全體有理數(shù)構(gòu)成一個集合，即有理數(shù)集，用粗體字母Q表示，較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書則用空心字母Q表示。
有理數(shù)集是實數(shù)集的子集。相關(guān)的內(nèi)容見數(shù)系的擴張。
有理數(shù)集是一個域，即在其中可進行四則運算(0作除數(shù)除外)，而且對于這些運算，以下的運算律成立(a、b、c等都表示任意的有理數(shù))：
�、偌臃ǖ慕粨Q律 a+b=b+a;
�、诩臃ǖ慕Y(jié)合律 a+(b+c)=(a+b)+c;
③存在數(shù)0，使 0+a=a+0=a;
④對任意有理數(shù)a，存在一個加法逆元，記作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0;
�、莩朔ǖ慕粨Q律 ab=ba;
⑥乘法的結(jié)合律 a(bc)=(ab)c;
�、叻峙渎� a(b+c)=ab+ac;
⑧存在乘法的單位元1≠0，使得對任意有理數(shù)a，1a=a1=a;
⑨對于不為0的有理數(shù)a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
�、�0a=0 文字解釋：一個數(shù)乘0還于0。
此外，有理數(shù)是一個序域，即在其上存在一個次序關(guān)系≤。
有理數(shù)還是一個阿基米德域，即對有理數(shù)a和b，a≥0，b>0，必可找到一個自然數(shù)n，使nb>a。由此不難推知，不存在最大的有理數(shù)。
值得一提的是有理數(shù)的名稱。“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費解，有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”。事實上，這似乎是一個翻譯上的失誤。有理數(shù)一詞是從西方傳來，在英語中是rational number，而rational通常的意義是“理性的”。中國在近代翻譯西方科學(xué)著作，依據(jù)日語中的翻譯方法，以訛傳訛，把它譯成了“有理數(shù)”。但是，這個詞來源于古希臘，其英文詞根為ratio，就是比率的意思(這里的詞根是英語中的，希臘語意義與之相同)。所以這個詞的意義也很顯豁，就是整數(shù)的“比”。與之相對，“無理數(shù)”就是不能精確表示為兩個整數(shù)之比的`數(shù)，而并非沒有道理。
有理數(shù)加減混合運算
1.理數(shù)加減統(tǒng)一成加法的意義：
對于加減混合運算中的減法，我們可以根據(jù)有理數(shù)減法法則將減法轉(zhuǎn)化為加法，這樣就可將混合運算統(tǒng)一為加法運算，統(tǒng)一后的式子是幾個正數(shù)或負數(shù)的和的形式，我們把這樣的式子叫做代數(shù)和。
2.有理數(shù)加減混合運算的方法和步驟：
(1)運用減法法則將有理數(shù)混合運算中的減法轉(zhuǎn)化為加法。
(2)運用加法法則，加法交換律，加法結(jié)合律簡便運算。
有理數(shù)范圍內(nèi)已有的絕對值，相反數(shù)等概念，在實數(shù)范圍內(nèi)有同樣的意義。
一般情況下，有理數(shù)是這樣分類的：
整數(shù)、分?jǐn)?shù);正數(shù)、負數(shù)和零;負有理數(shù)，非負有理數(shù)
整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù),有理數(shù)可以用a/b的形式表達，其中a、b都是整數(shù)，且互質(zhì)。我們?nèi)粘＝?jīng)常使用有理數(shù)的。比如多少錢，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表達的實數(shù)就是無理數(shù)，又叫無限不循環(huán)小數(shù)
一個困難的問題
有理數(shù)的邊界在哪里?
根據(jù)定義，無限循環(huán)小數(shù)和有限小數(shù)(整數(shù)可認為是小數(shù)點后是0的小數(shù))，統(tǒng)稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)。
但人類不可能寫出一個位數(shù)最多的有理數(shù)，對全地球人類，或比地球人更智慧的生物來說是有理數(shù)的數(shù)，對每個地球人來說，可能是無法知道它是有理數(shù)還是無理數(shù)了。因此有理數(shù)和無理數(shù)的邊界，竟然緊靠無理數(shù)，任何兩個十分接近的無理數(shù)中間，都可以加入無窮多的有理數(shù)，反之也成立。
竟然沒有人知道有理數(shù)的邊界，或者說有理數(shù)的邊界是無限接近無理數(shù)的。
定理：位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù)是不可能被寫出的，盡管它的定義是有有限位，但它是無限趨近于無理數(shù)的，以致于沒有手段進行判斷。
證明：假設(shè)位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù)被寫出，我們在這個數(shù)的最后再加一位，這個數(shù)還是有限位有理數(shù)，但位數(shù)比已寫出有理數(shù)多一位，證明原來寫出的不是位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù)。所以位數(shù)最多的非無限循環(huán)有理數(shù)是不可能被寫出的。
關(guān)于無理數(shù)與有理數(shù)無法比較的說明：
對于定義無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，無理數(shù)之外為有理數(shù)。則無理數(shù)很難被證實，而每一個無理數(shù)，無論認識多少位，都有有理數(shù)對應(yīng)，而位數(shù)較短的有理數(shù)，都沒有無理數(shù)對應(yīng)，因此有理數(shù)多。
對于定義為有限位小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)為有理數(shù)，無限不循環(huán)數(shù)為無理數(shù)。對于很多位數(shù)多的無法分辨的數(shù)沒有明確歸屬，而認為大于特定有限位的數(shù)都是無理數(shù)的人，才能證明無理數(shù)比有理數(shù)多，但那明顯是將很多很多有理數(shù)歸為無理數(shù)的結(jié)果。在這個定義下，由于界限不明，無法進行比較，除非有人能有力的證明。
無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，如：
0.10100100010000100000......
0.1200000012000012000000120000......
π
等是無限不循環(huán)小數(shù)，所以不是有理數(shù)
循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)的方法
0.777777......
有一個數(shù)循環(huán)，分母是一個9，循環(huán)數(shù)是7.化分?jǐn)?shù)后是7/9
0.535353......
有兩個數(shù)循環(huán)，分母是兩個9，循環(huán)數(shù)是53.化分?jǐn)?shù)后是53/99
我們可以在數(shù)軸上表示有理數(shù).注意畫數(shù)軸的三要素(原點,正方向,單位長度).
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