淺談幾種常見的數(shù)學思想方法

　　思想是人腦對現(xiàn)實事物間接的、概括的加工形式，以內(nèi)隱或外隱的語言或動作表現(xiàn)出來。下面是小編為你帶來的淺談幾種常見的數(shù)學思想方法 ，歡迎閱讀。

　　摘要：數(shù)學思想方法以數(shù)學知識為載體，蘊涵于知識之中，是數(shù)學的精髓。文章主要介紹四種常見的數(shù)學思想方法：函數(shù)與方程思想、分類與整合的思想、數(shù)形結(jié)合的思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想。在教學過程中滲透數(shù)學思想方法，能提高教學效果，提高學生數(shù)學素養(yǎng)。

　　1對數(shù)學思想方法的認識

　　在數(shù)學教學和數(shù)學教育領(lǐng)域，數(shù)學知識、數(shù)學方法、數(shù)學思想是數(shù)學知識體系的三個層次，它們相互聯(lián)系，共同發(fā)展。數(shù)學知識是數(shù)學思想方法解決問題所依附的材料；數(shù)學方法是解決問題的手段和途徑，是數(shù)學思想發(fā)展的前提；數(shù)學思想是對數(shù)學對象的本質(zhì)認識，是從某些具體的數(shù)學內(nèi)容（概念、命題、定理）和數(shù)學認識過程中提煉出來的基本觀點和想法，是數(shù)學方法的靈魂，是解決問題的指導思想，對數(shù)學活動具有指導意義。數(shù)學思想和數(shù)學方法是緊密聯(lián)系的，數(shù)學思想方法通常從“數(shù)學思想”和“數(shù)學方法”兩個角度進行闡述。

　　數(shù)學中常用的數(shù)學思想方法，概括起來可以分為兩類。一類是科學思想在數(shù)學中的應用，如分析與綜合、分類討論、類比、化歸、歸納與演繹思想等；另一類是數(shù)學學科特有的思想方法，如集合與對應、數(shù)學建模、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、極限、概率統(tǒng)計的思想方法等。

　　2教學中主要的數(shù)學思想方法

　　數(shù)學思想方法的學習和領(lǐng)悟能幫助學生構(gòu)建知識體系，使學生所學的知識不再是零散的知識點，能提高學生數(shù)學思維能力，提高學習效果。因此，在教學過程中必須重視數(shù)學思想方法的教學。

　　數(shù)學思想方法以數(shù)學知識為載體，蘊涵于知識之中，是數(shù)學的精髓，它支撐和統(tǒng)率著數(shù)學知識。教師在講授概念、性質(zhì)、定理的過程中應不斷滲透與之相關(guān)的數(shù)學思想方法，讓學生在掌握知識的同時，又能領(lǐng)悟到數(shù)學思想，從而提升學生思維能力。在教學過程中，要引導學生主動參與結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)及推導過程，搞清知識點間的聯(lián)系及其因果關(guān)系，讓學生親身體驗蘊含在知識中的數(shù)學思想和方法。

　　2.1 分類與整合的思想分類是通過比較數(shù)學對象本質(zhì)屬性的相同點和差異點，然后根據(jù)某一種屬性將數(shù)學對象區(qū)分為不同種類的思想方法。分類討論既是是一個重要的數(shù)學方法，又一個重要的數(shù)學思想，在解題時，它能避免思維的片面性，保證不遺不漏。

　　整合就是考慮數(shù)學問題時把注意力和重點放在問題的整體結(jié)構(gòu)上，通過對其全面深刻的觀察和分析，從整體上認識問題的實質(zhì)，把中間相互緊密聯(lián)系著的量作為整體來處理的思想方法。

　　解題時，我們常常遇到這種情況，解到某一步時，被研究的問題包含了多種情況，我們不能再按照統(tǒng)一標準進行下去，這就需要把條件所給出的總區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，然后分別在各個子區(qū)域內(nèi)進行解題，當分類解決完這個問題后，再把它們整合在一起，這就是分類與整合的思想。有分有合，先分后合，不僅是分類與整合的思想解決問題的主要過程，也是這種思想方法的本質(zhì)屬性。

　　這就需要我們在學習中認識到以下幾點：什么樣的問題需要分類研究；為什么要分類；如何分類；分類后如何研究與最后如何整合等。例如：等比數(shù)列的求和公式就分為q=1和q≠1兩種情況；對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性就分為a>1，0  2.2 數(shù)形結(jié)合的思想數(shù)學研究的對象是數(shù)量關(guān)系和空間形式，即“數(shù)”與“形”兩個方面�！皵�(shù)”與“形”之間不是孤立存在的，而是有著密切的聯(lián)系。數(shù)量關(guān)系的研究可以轉(zhuǎn)化為圖形性質(zhì)的研究，反之，圖形性質(zhì)的研究可以轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的研究，這種解決數(shù)學問題過程中“數(shù)”與“形”相互轉(zhuǎn)化的思維策略，即是數(shù)形結(jié)合的思想。

　　數(shù)形結(jié)合的'思想，既是一個重要的數(shù)學思想，也是一種常用的數(shù)學方法，為解決問題提供了方便，是解決問題的一個捷徑。數(shù)形結(jié)合思想一方面，能使數(shù)量關(guān)系的抽象概念和解析式通過圖形變得直觀形象；另一方面，能使一些圖形的屬性通過對數(shù)量關(guān)系的研究，更精準、更深刻地得出圖形的性質(zhì)。這種“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，不僅可以使一些題目的解決簡捷明快，同時還可大大拓寬我們的解題思路。華羅庚先生曾作過精辟的論述：“數(shù)與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難人微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事非。切莫忘，幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠聯(lián)系切莫離”。它的運用，往往展現(xiàn)出“柳暗花明又一村”般的數(shù)形和諧完美結(jié)合的境地。

　　數(shù)形結(jié)合在數(shù)學解題時應用也比較廣泛。例如：不連續(xù)函數(shù)討論增減性問題，函數(shù)求最值問題；根的分布問題及數(shù)形結(jié)合在不等式中、在數(shù)列中、在解析幾何中的應用等。這些都是數(shù)形結(jié)合的思想方法的體現(xiàn)。

　　2.3 化歸與轉(zhuǎn)化的思想化歸與轉(zhuǎn)化的思想就是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當?shù)臄?shù)學方法進行變換，化歸為在已知知識范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想方法�；瘹w與轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化。

　　化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學問題的根本思想，大部分數(shù)學問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化實現(xiàn)的。從某種意義上講，解決數(shù)學問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程，解題的過程實際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程。要想熟練運用化歸與轉(zhuǎn)化思想，就要積極主動地去挖掘問題之間的聯(lián)系，要有豐富的聯(lián)想、機敏細微的觀察，要熟練、扎實地掌握基礎知識、基本技能和基本方法。在學習中我們要對公式、定理、法則有深刻理解，并對典型例題和習題進行總結(jié)和提煉。人們常說：“抓基礎，重轉(zhuǎn)化”是學好數(shù)學的金鑰匙，學習中一定要用好這把金鑰匙。運用化歸與轉(zhuǎn)化思想的例子比比皆是，如：未知向已知的轉(zhuǎn)化，復雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，高維向低維的轉(zhuǎn)化，多元向一元的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。

　　2.4 函數(shù)與方程的思想函數(shù)的思想是用運動、變化的觀點，分析研究具體問題中的數(shù)量關(guān)系，通過函數(shù)形式把這種數(shù)量關(guān)系刻劃出來并加以研究，從而解決問題的方法。

　　方程的思想就是突出研究已知量與未知量之間的等量關(guān)系，通過設未知數(shù)、列方程或方程組，解方程或方程組等步驟，達到求值目的解題思路和策略。

　　函數(shù)與方程的思想，既是函數(shù)思想與方程思想的體現(xiàn)，也是兩種思想綜合運用的體現(xiàn)，，是對知識在更高層次上的抽象、概括與提煉，是研究變量與函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，并從函數(shù)與方程各部分的內(nèi)在聯(lián)系出發(fā)來考慮問題，研究問題和解決問題的數(shù)學思想。

　　著名數(shù)學家克萊因說：“一般受教育者在數(shù)學課上應該學會的重要事情是用變量和函數(shù)來思考”。一個學生僅僅學習了函數(shù)的知識，他在解決問題時往往是被動的，而建立了函數(shù)思想，才能主動地去思考一些問題。

　　在解題時，要學會思考這些問題：①是不是需要把字母看作變量？②是不是需要把代數(shù)式看作函數(shù)？如果是函數(shù)它具有哪些性質(zhì)？③是不是需要構(gòu)造一個函數(shù)，把表面上不是函數(shù)的問題化歸為函數(shù)問題？④能否把一個等式轉(zhuǎn)化為一個方程？等等。我們常見的運用函數(shù)思想的例子有：數(shù)列問題借助于函數(shù)思想，用函數(shù)方法來解決；遇到變量時構(gòu)造函數(shù)關(guān)系式來解題；有關(guān)的最大、最值問題，可利用函數(shù)觀點加以分析；實際應用問題，轉(zhuǎn)化成數(shù)學語言，建立數(shù)學模型和函數(shù)關(guān)系式，應用函數(shù)相關(guān)性質(zhì)來解決等。

　　參考文獻：

　　[1]錢珮玲.數(shù)學思想方法與中學數(shù)學（第2版）.北京師范大學出版社，2008.

　　[2]張順燕.數(shù)學的思想、方法和應用.北京大學出版社，2009.

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