關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法研究的對象與范圍
一、數(shù)學(xué)思想方法的歷史演進(jìn)
對數(shù)學(xué)思想方法作為歷史的考察，并分析其演變、發(fā)展的規(guī)律是數(shù)學(xué)思想方法研究的首要內(nèi)容。其具體可分為兩大類：第一，數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)進(jìn)化，即從整體上進(jìn)行研究。比如，從古至今，數(shù)學(xué)思想方法發(fā)生了多少次重大轉(zhuǎn)折，每一次轉(zhuǎn)折如從算術(shù)到代數(shù)、從綜合幾何到幾何代數(shù)化、從常量數(shù)學(xué)到變量數(shù)學(xué)、從必然數(shù)學(xué)到或然數(shù)學(xué)、從明晰數(shù)學(xué)到模糊數(shù)學(xué)以及從手工證明到機(jī)器證明等，都是怎樣孕育和產(chǎn)生的，其要點和作用是什么，均屬于這一類。第二，數(shù)學(xué)思想方法的個體發(fā)育，主要是研究每一個數(shù)學(xué)思想產(chǎn)生、演變和發(fā)展的規(guī)律，以及本身的特征，在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用和方法論價值等。廣義一點講，從思想方法角度來研究概念、運(yùn)算、公式、定理乃至學(xué)科產(chǎn)生發(fā)展的歷史，也可看成是此類研究的范圍。
二、數(shù)學(xué)的思維方式與數(shù)學(xué)研究的基本方法
數(shù)學(xué)的主要思維方式是什么?這是數(shù)學(xué)家們歷來關(guān)注的一個重要問題。本世紀(jì)初以來，圍繞什么是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)問題的討論，逐步形成了三個不同的學(xué)派，即邏輯派，直黨派與形式公理派。如果從思維方式上看數(shù)學(xué)基礎(chǔ)問題的討論，可以說，在邏輯主義學(xué)派看來，數(shù)學(xué)的主要思維方式是邏輯思維；在直覺主義學(xué)派看來，數(shù)學(xué)的主要思維方式是直覺（或靈感）思維；在形式主義學(xué)派看來，數(shù)學(xué)的主要思維方式是以符號為特征的純粹的抽象思維。到底什么是數(shù)學(xué)的主要思維方式?辯證思維在數(shù)學(xué)尤其是高等數(shù)學(xué)中占有怎樣的.地位?仍是一些尚待解決的問題。
數(shù)學(xué)中的一些常用方法，諸如公理法、模型法、構(gòu)造法、解析法、遞歸法、極限法、逐次逼近法、統(tǒng)計法、對偶法、關(guān)系映射反演法、數(shù)學(xué)歸納法、反證法等，這是大家所熟悉的。那么，數(shù)學(xué)中到底有哪些基本方法?每個方法又是怎樣產(chǎn)生和發(fā)展的，其特征和作用如何?這是一些具有重要方法論價值且至今沒有很好解決的研究課題。
三、數(shù)學(xué)家的思想方法
數(shù)學(xué)家是在數(shù)學(xué)研究中做出貢獻(xiàn)的人，而數(shù)學(xué)家之所以取得成果做出貢獻(xiàn)，又往往與他在思想方法上實行某種變革有關(guān)，因此，考察與剖析數(shù)學(xué)家特別是著名數(shù)學(xué)家的思想方法，是把握數(shù)學(xué)思想方法的重要方面，也是探討數(shù)學(xué)創(chuàng)造規(guī)律，加強(qiáng)數(shù)學(xué)人才培養(yǎng)不可缺少的研究內(nèi)容。眾所周知，古今中外有許多著名數(shù)學(xué)家，如歐幾里得、劉徽、祖沖之、笛卡兒、牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯、羅巴切夫斯基、伽羅華、康托爾、希爾伯特、彭加勒、維納、馮·諾伊曼、魯濱遜、札德、托姆、華羅庚等，不僅在數(shù)學(xué)研究中取得重大成果，而且在思想方法上也都有獨到之處，甚至是實行了革命性的變革。遺憾的是，以往對他們的成果記載比較詳盡，而對他們的思想方法卻考究很少，這不能不說是過去數(shù)學(xué)史研究中的一大缺陷。通過對數(shù)學(xué)家思想方法的挖掘與評論，可以使人們樹立起“作出成果是貢獻(xiàn)，創(chuàng)造思想方法是更大貢獻(xiàn)”的觀念，并將其作為評價數(shù)學(xué)家的重要方面之一。
四、數(shù)學(xué)學(xué)派的思想方法
如果說某一數(shù)學(xué)家的思想方法較為隱蔽，難以考證，不易作出準(zhǔn)確的分析，那么數(shù)學(xué)學(xué)派卻不然，因為它本身往往就是通過某一特殊的思想方法把大家聯(lián)系在一起的，或者說，是因為思想方法不同而劃分成不同派的，因而，它的思想方法是較為明顯，容易作出判斷的。比如，前面提到的本世紀(jì)初以來形成的邏輯派、直覺派與形式公理派，其思想方法十分鮮明。本世紀(jì)30年代，在法國出現(xiàn)的布爾巴基學(xué)派，其思想方法也是非常明確的。他們認(rèn)為，數(shù)學(xué)是以數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)作為研究對象的科學(xué)，主張用數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)）概括全部數(shù)學(xué)，所謂數(shù)學(xué)的理論發(fā)展，無非是各種結(jié)構(gòu)的建成、改進(jìn)與擴(kuò)充而已。一句話，他們的數(shù)學(xué)思想方法就是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義。在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義指導(dǎo)下，經(jīng)30多年的努力，到1973年共出版《數(shù)學(xué)原本》36卷，為數(shù)學(xué)發(fā)展作出了巨大貢獻(xiàn)。不僅如此，他們治學(xué)的思想方法，也有許多獨到之處，像學(xué)術(shù)討論上的“無情批判”，組織成員上的“自由流動”，撰寫論著上的“分工合作”等，都是很成功的，值得認(rèn)真總結(jié)。當(dāng)然，要完整、準(zhǔn)確地概括某一學(xué)派的思想方法的實質(zhì)、特點、歷史與作用，也是相當(dāng)困難的。
五、數(shù)學(xué)的潛形態(tài)及其向顯形態(tài)轉(zhuǎn)化的機(jī)制
所謂“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”有兩個含義：第一，從科學(xué)認(rèn)識角度看，任何數(shù)學(xué)成果都有一個由孕育到成熟、由潛到顯的過程，存在一個孕育階段，我們就把孕育階段的數(shù)學(xué)思想稱之為“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”，如數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)猜想、數(shù)學(xué)悖論等；第二，從數(shù)學(xué)發(fā)展的曲折性看，它指的是“處于待顯階段的數(shù)學(xué)成果”，因為一個數(shù)學(xué)成果取得后，并非都立即得到數(shù)學(xué)界的承認(rèn)，而由于種種原因，往往被忽視、排斥、壓制、埋沒、拋棄、扼殺，有一個蒙難的歷程，我們就把雖然在認(rèn)識上已達(dá)到顯階段，但并沒有被人們確認(rèn)的，仍然處于“潛在階段”的數(shù)學(xué)成果，也叫做“數(shù)學(xué)潛形態(tài)”。這里，主要是研究數(shù)學(xué)潛形態(tài)的產(chǎn)生、演變、特征、作用及其向數(shù)學(xué)顯形態(tài)的轉(zhuǎn)化機(jī)制等。
【數(shù)學(xué)思想方法研究的對象與范圍】相關(guān)文章：
數(shù)學(xué)思想方法研究的歷史與現(xiàn)狀01-26
數(shù)學(xué)思想方法05-13
小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)思想方法05-14
數(shù)學(xué)思想方法的突破05-11
關(guān)于數(shù)學(xué)的思想方法05-09
數(shù)學(xué)思想方法的滲透05-05