如何在數(shù)學(xué)教學(xué)中模型思想
數(shù)學(xué)教學(xué)中的主要思想方法
1.數(shù)形結(jié)合思想
所謂數(shù)形結(jié)合,就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要思想方法。在數(shù)學(xué)教學(xué)中,由數(shù)想形,以形助數(shù)的數(shù)形結(jié)合思想,具有可以使問(wèn)題直觀呈現(xiàn)的優(yōu)點(diǎn),有利于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的識(shí)記和理解。數(shù)形結(jié)合是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法,有廣泛應(yīng)用,并對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了巨大的作用和影響,數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微。
2.分類討論思想
所謂分類討論,就是當(dāng)問(wèn)題所給的對(duì)象不能進(jìn)行統(tǒng)一研究時(shí),就需要對(duì)研究對(duì)象按某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)分類,然后對(duì)每一類分別研究得出每一類的結(jié)論,最后綜合各類結(jié)果得到整個(gè)問(wèn)題的解答。分類時(shí)要注意明確討論對(duì)象,確定對(duì)象的全體,確定分類標(biāo)準(zhǔn),正確進(jìn)行分類;逐類進(jìn)行討論,獲取階段性成果;歸納小結(jié),綜合出結(jié)論。
3.函數(shù)與方程思想
函數(shù)思想是指對(duì)一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題,構(gòu)造出一個(gè)相應(yīng)的函數(shù),用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)去分析問(wèn)題,轉(zhuǎn)化問(wèn)題,進(jìn)而解決問(wèn)題。方程思想是對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的各字母從數(shù)量關(guān)系分析入手,轉(zhuǎn)化為確定各字母的值或各字母間的相等(不等)關(guān)系,然后通過(guò)解方程(不等式),或利用方程(不等式)的有關(guān)定理性質(zhì),解決所給問(wèn)題。 函數(shù)與方程雖然是兩個(gè)不同的概念,但它們之間有著密切的聯(lián)系,方程f(x)=0的解就是函數(shù)y=f(x)的圖像與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),函數(shù)y=f(x)也可以看作二元方程f(x)-y=0,通過(guò)方程進(jìn)行研究。
4.轉(zhuǎn)化與化歸思想
轉(zhuǎn)化與化歸思想是在處理問(wèn)題時(shí)把待解決的問(wèn)題通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程歸納為一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題,最終求得原問(wèn)題的解決�；瘹w思想在數(shù)學(xué)中應(yīng)用非常廣泛,如未知向已知轉(zhuǎn)化,復(fù)雜問(wèn)題向簡(jiǎn)單問(wèn)題轉(zhuǎn)化,新知識(shí)向舊知識(shí)的轉(zhuǎn)化,命題之間的轉(zhuǎn)化,數(shù)與形的轉(zhuǎn)化,空間向平面的轉(zhuǎn)化,高維向低維轉(zhuǎn)化,多元向一元轉(zhuǎn)化,高次向低次轉(zhuǎn)化,函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等,都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn)。
將建模思想滲透到數(shù)學(xué)教學(xué)中
在教學(xué)中創(chuàng)設(shè)情境，感知數(shù)學(xué)建模思想
數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，又服務(wù)于生活，因此，將現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)生的與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有關(guān)的素材及時(shí)引入課堂，要將教材上的內(nèi)容通過(guò)生活中熟悉的事例，以情境的方式在課堂上展示給學(xué)生。情景的創(chuàng)設(shè)要與社會(huì)生活實(shí)際等與數(shù)學(xué)問(wèn)題有關(guān)的各種因素相結(jié)合，讓學(xué)生感到真實(shí)、新奇、有趣、可操作，滿足學(xué)生好奇好動(dòng)的心理要求。這樣很容易激發(fā)學(xué)生的興趣，并在學(xué)生的頭腦中激活已有的生活經(jīng)驗(yàn)，也容易使學(xué)生用積累的經(jīng)驗(yàn)來(lái)感受其中隱含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，從而將抽象的數(shù)學(xué)思想轉(zhuǎn)化為具象的生活實(shí)例，更準(zhǔn)確地感知數(shù)學(xué)模型的存在。
教師在《軸對(duì)稱圖形》一課教學(xué)中創(chuàng)設(shè)這樣的情境：讓學(xué)生欣賞“對(duì)稱圖案”。(配樂(lè)出示各種對(duì)稱的如：向日葵、蜻蜓、雪花、松樹(shù)、埃菲爾鐵塔、故宮、趙洲橋、倫敦塔橋、京劇臉譜、剪紙作品等方面的圖案)然后問(wèn)學(xué)生，欣賞完最想說(shuō)些什么?你發(fā)現(xiàn)什么了嗎?生活中你還能舉些對(duì)稱的例子嗎? 這樣設(shè)計(jì)讓學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活中的軸對(duì)稱圖形入手，通過(guò)欣賞大量的圖片初步感知軸對(duì)稱圖形的無(wú)處不在，在享受對(duì)稱圖形同時(shí)不知不覺(jué)中拉近了新知與學(xué)生已有生活經(jīng)驗(yàn)的聯(lián)系，激發(fā)了學(xué)生求知的欲望和主動(dòng)積極探究新知的欲望。由此可見(jiàn)，情境的創(chuàng)設(shè)可以激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，從而在具體的問(wèn)題情境中抽出軸對(duì)稱圖形的概念的過(guò)程就是一次建模的過(guò)程。
參與探究，主動(dòng)建構(gòu)數(shù)學(xué)模型
實(shí)現(xiàn)通過(guò)生活向抽象數(shù)學(xué)模型的有效過(guò)渡，是數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)之一。具體生動(dòng)的情境問(wèn)題只是為學(xué)生數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)提供了可能，如果忽視從具體到抽象的探究過(guò)程的有效組織，那就不能稱為建模。因此，本環(huán)節(jié)重點(diǎn)是學(xué)生在老師的鼓勵(lì)和指導(dǎo)下自主探究解決實(shí)際問(wèn)題的途徑，進(jìn)行自主探索學(xué)習(xí)，把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)化，自主構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。
例如在教學(xué)“平行與相交”時(shí)，如果只是讓學(xué)生感知火車鐵軌、跑道線、雙杠、五線譜等具體的素材，而沒(méi)有透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)的過(guò)程，當(dāng)學(xué)生提取“平行線”的模型時(shí)，呈現(xiàn)出來(lái)的一定是形態(tài)各異的具體事物，而不是具有一般意義的“數(shù)學(xué)模型”。而“平行”的數(shù)學(xué)本質(zhì)是“同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變”，教師應(yīng)將學(xué)生關(guān)注的目標(biāo)從具體上升為兩條直線及直線間的寬度(距離)。
數(shù)學(xué)教學(xué)中融入數(shù)學(xué)模型思想
從認(rèn)知過(guò)程方面。從初等數(shù)學(xué)進(jìn)入到高等數(shù)學(xué)的高職生
不論從知識(shí)結(jié)構(gòu)方面，還是從思維方式上都要來(lái)一個(gè)大的轉(zhuǎn)變，為了更好地實(shí)現(xiàn)這個(gè)轉(zhuǎn)變，就要求教師必須把所教的知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行必要的加工，按照實(shí)際情況，逐漸引導(dǎo)學(xué)生走上正確的分析思維、抽象概念與解決問(wèn)題的道路。誠(chéng)然，高等數(shù)學(xué)的概念與理論的形成都是從現(xiàn)實(shí)中具有代表性的實(shí)例中抽象出來(lái)的，例如，由變速直線運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度、曲線在某一點(diǎn)處切線的斜率等提出了導(dǎo)數(shù)問(wèn)題，由曲邊圖形的面積、體積等提出了積分問(wèn)題，要講清這些問(wèn)題必須要搞清極限的概念，由此可見(jiàn)，理解并掌握極限的概念實(shí)屬必要。
同時(shí)，在對(duì)一些問(wèn)題的處理上，數(shù)學(xué)中采用了用有限的構(gòu)造來(lái)解決本質(zhì)上屬于無(wú)窮的概念，如在“定積分的應(yīng)用”一章中，是從舊知識(shí)的結(jié)構(gòu)不定積分的概念出發(fā)，分析總結(jié)出“以直代曲”、“以不變代變”的思想，從而形成了解決問(wèn)題的分割、近似、求和、取極限的`方法，然后就實(shí)際問(wèn)題中的求面積、體積、弧長(zhǎng)、功、壓力等問(wèn)題展開(kāi)討論，得出公式并進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證。這樣，就讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)無(wú)處不在，生活中只要有問(wèn)題存在就能數(shù)學(xué)知識(shí)解決，并逐步培養(yǎng)了學(xué)生用數(shù)學(xué)解決實(shí)際生活問(wèn)題的能力。在實(shí)踐過(guò)程中，數(shù)學(xué)知識(shí)的應(yīng)用往往不是直接的，需要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。這種能力恰恰就是數(shù)學(xué)模型思想的體現(xiàn)，并且也是高職生必備的能力。另外，在教學(xué)中適當(dāng)講授數(shù)學(xué)理論知識(shí)的背景起源和發(fā)展過(guò)程，可以消除數(shù)學(xué)本身的神秘感，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念和數(shù)學(xué)理論不是空穴來(lái)風(fēng)，而是直接或間接來(lái)源于生產(chǎn)實(shí)踐。這就實(shí)現(xiàn)了從模型→理論→實(shí)際的過(guò)渡而獲得知識(shí)，同樣也可提高學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力。
從數(shù)學(xué)思維角度方面。
科學(xué)研究實(shí)際上是對(duì)直觀認(rèn)識(shí)中獲得的大量感性材料進(jìn)行加工整理，經(jīng)過(guò)一系列的分析判斷、抽象概括，達(dá)到對(duì)客觀事物本質(zhì)與規(guī)律的認(rèn)識(shí)。數(shù)學(xué)思維是動(dòng)的思維，而數(shù)學(xué)知識(shí)本身是靜的數(shù)學(xué)，這兩者是辯證統(tǒng)一的。數(shù)學(xué)思維能力的強(qiáng)弱直接影響著人們掌握和發(fā)現(xiàn)知識(shí)的廣狹、深淺，發(fā)展各種思維成為教學(xué)的一個(gè)重要方面，因此，要注重多種思維方式、方法的培養(yǎng)，如形象思維、邏輯思維、收斂性和發(fā)散性思維等，關(guān)鍵要在教學(xué)系統(tǒng)中體現(xiàn)出來(lái)。
基于這種要求，在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中貫穿數(shù)學(xué)模型思想就顯得尤為重要了，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型思想本身是從現(xiàn)實(shí)中提煉出來(lái)的，形成過(guò)程符合人類的思維規(guī)律。它的一般步驟為：模型準(zhǔn)備→模型假設(shè)→模型構(gòu)成→模型求解→模型分析→模型檢驗(yàn)→模型應(yīng)用。這一過(guò)程充分反映了一個(gè)嚴(yán)密的思維過(guò)程。如何從現(xiàn)實(shí)到模型，再?gòu)哪Ｐ偷浆F(xiàn)實(shí)是我們數(shù)學(xué)教學(xué)中要完成的重要任務(wù)。因此，要求教師必須采取靈活多樣的教學(xué)方法，如啟發(fā)式、自學(xué)輔導(dǎo)、布疑設(shè)障、制造懸念等方法調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，掌握數(shù)學(xué)模型的精髓。
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